Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы

• Название: Окружной и финальный этапы
• Дата: 31.01.2023
• Размер: 3 Mb.
• Имя файла: Агаханов Х.В.pdf
• Тип: Книга; #913918
• страница: 9 из 64

468. В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещатьпараллель- но линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры,
при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.
(И.Соловьёв)
469. Дана последовательностьнатуральных чисел a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . , в которой не делится на 5 и для всякого n имеет место равенство a
n
+ где b
n
— последняя цифра числа a
n
. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
(Н.Агаханов)
470. См. задачу 462.
471. Высоты AA
1
, BB
1
, и тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A
1
B
1
C
1
D
1
. Докажите, что тетраэдр правильный. (Высотой тетраэдра называется отрезок перпендикуляра, проведенного из его вершины к противоположной грани, заключенный между этой вершиной и плоскостью этой грани).
(Д.Терёшин)
472. Игроки A и B по очереди ходят конем на шахматной доске 1994 ×
× 1994. Игрок A может делать только горизонтальные ходы, те. такие,
при которых коньперемещается на соседнюю горизонталь. Игроку B разрешены только вертикальные ходы, при которых коньперемещается на соседнюю вертикаль. Игрок A ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом каждому игроку запрещено ставить коня на тополе, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока A существует выигрышная стратегия.
(А.Перлин)

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ г класс. Товарный поезд, отправившисьиз Москвы в x часов y минут, прибыл в Саратов в y часов z минут. Время в пути составило z часов x минут.
Найдите всевозможные значения x.
(С.Токарев)
474. Хорда CD окружности с центром O перпендикулярна ее диаметру, а хорда AE делит пополам радиус OC. Докажите, что хорда DE делит пополам хорду BC.
(В.Гордон)
475. Известно, что f(x), g(x) и h(x) — квадратные трехчлены. Может ли уравнение f(g(h(x))) = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
(С.Токарев)
476. Можно ли в клетки таблицы 9 × 9 записатьнатуральные числа от до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 3 × 3 была одна и та же?
(С.Токарев)
477. Назовем натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного итого же набора цифр (например, для набора цифр 1,
1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, такие, что сумма двух из них равна третьему.
(С.Дворянинов)
478. Точки A
2
, и C
2
— середины высот AA
1
, и остроугольного треугольника ABC. Найдите сумму углов B
2
A
1
C
2
, C
2
B
1
A
2
и
A
2
C
1
B
2
(Д.Терёшин)
479. Имеется три кучи камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. За каждое перетаскивание он получает от Зевса количество монет,
равное разности числа камней в куче, в которую он кладет камень, и числа камней в куче, из которой он берет камень(сам перетаскиваемый камень при этом не учитывается. Если указанная разностьотрицательна, то Сизиф возвращает Зевсу соответствующую сумму. (Если Сизиф не может расплатиться, то великодушный Зевс позволяет ему совершатьперетас- кивание в долг.)
В некоторый момент оказалось, что все камни лежат в тех же кучах, в которых лежали первоначально. Каков наибольший суммарный заработок Сизифа на этот момент?
(И.Изместьев)
480. В клетках таблицы 2000 × 2000 записаны числа 1 и −1. Известно,
что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся строки столбцов таблицы таких, что сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.
(Д.Карпов)

УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС класс. Решите уравнение cos cos cos cos x = sin sin sin sin x.
(В.Сендеров, Л.Ященко)
482. См. задачу 474.
483. Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один рази при этом для любого. сумма первых k членов последовательности делится на k?
(А.Шаповалов)
484. Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны,
то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних сними сторон.
(А.Берзиньш, О.Мусин)
485. Последовательность натуральных чисел {a
i
} такова, что
НОД(a
i
, a
j
) =
НОД(i, j) для всех i = j. Докажите, что a
i
= для всех i ∈ N. (Через (m, n) обозначен наибольший общий делительнату- ральных чисел m и n.)
(А.Голованов)
486. Даны полуокружностьс диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая полуокружностьв точках C и D, а прямую AB — в точке M
(MB < MA, MD < MC). Пусть K — вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AOC и DOB. Докажите, что угол KO
прямой.
(Л.Купцов)
487. См. задачу 480.
488. Даны непостоянные многочлены P (x) и Q(x), у которых старшие коэффициенты равны 1. Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена P (x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов и Q(x).
(А.Галочкин, О.Ляшко)
11 класс. Могут ли все числа 1, 2, 3, . . . , 100 быть членами 12 геометрических прогрессий?
(А.Голованов)
490. Докажите, что любую функцию, определенную на всей оси, можно представитьв виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет осьсимметрии.
(Д.Терёшин)
491. На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается,
измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружностьс центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки — точки пересечения построенных линий.
ПустьЦ(n) — наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получитьдве отмеченные точки на расстоянии n, n —

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
натуральное. ЛЦ(n) — тоже, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность Ц(n)/ЛЦ(n) неограничена.
(А.Белов)
492. См. задачу 484.
493. Докажите, что для любого натурального числа a
1
> существует возрастающая последовательность натуральных чисел a
1
, a
2
, a
3
, . . . такая, что a
2 1
+ a
2 2
+ . . . + делится на a
1
+ a
2
+ . . . + при всех k  1.
(А.Голованов)
494. На карусели с n сиденьями мальчик катался n сеансов подряд. После каждого сеанса он вставали, двигаясьпо часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и тона которое он садится, назовем длиной перехода. При каких n за n сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех n − 1 переходов различны и меньше
n
?
(В.Ню)
495. Высоты тетраэдра пересекаются водной точке. Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.
(Д.Терёшин)
496. См. задачу 488.
1995–1996 г класс. Каких чисел больше среди натуральных чисел от 1 до 1 000 включительно представимых в виде суммы точного квадрата и точного куба или не представимых в таком виде?
(А.Голованов)
O
1
O
2
O
3
Рис. 15
498. Центры O
1
, O
2
и
O
3
трех непересекающих- ся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треуголь- ника.
Из точек O
1
, и проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в

УЧЕБНЫЙ ГОД, 10
КЛАСС
65
красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.
(Д.Терёшин)
499. Пустьнатуральные числа x, y, p, n и k таковы, что+ y
n
= Докажите, что если число n (n > 1) нечетное, а число p нечетное простое,
то n является степенью числа p с натуральным показателем).
(А.Ковальджи, В.Сендеров)
500. В Думе 1600 депутатов, которые образовали 16000 комитетов по человек в каждом. Докажите, что найдутся два комитета, имеющие не менее четырех общих членов.
(А.Скопенков)
501. Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом,
равным 1, и разностью, равной 729, найдется бесконечно много членов,
являющихся степенью числа 10.
(Л.Купцов)
502. В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) точка O центр описанной окружности, точка I — центр вписанной окружности, а точка D на стороне BC такова, что прямые OD и BI перпендикулярны.
Докажите, что прямые ID и AC параллельны.
(М.Сонкин)
503. На столе лежат две кучки монет. Известно, что суммарный вес монет из первой кучки равен суммарному весу монет из второй кучки, а для каждого натурального числа k, не превосходящего числа монет как впервой, таки во второй кучке, суммарный вес k самых тяжелых монет из первой кучки не больше суммарного веса k самых тяжелых монет из второй кучки. Докажите, что если заменитькаждую монету, вес которой не меньше, на монету веса x в обеих кучках, то первая кучка монет окажется не легче второй, каково бы ни было положительное число x.
(Д.Фон-дер-Флаас)
504. Можно ли прямоугольник 5 × 7 покрытьуголками из трех клеток
(т. е. фигурками, которые получаются из квадрата 2 × 2 удалением одной клетки, не выходящими за его пределы, в несколько слоев так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток,
принадлежащих уголкам?
(М.Евдокимов)
10 класс. На стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки
E
и F точка E ближе к точке B, чем точка F ). Известно, что ∠BAE =
=
∠CDF и ∠EAF = ∠F DE. Докажите, что ∠F AC = ∠EDB.
(М.Смуров)
506. На координатной плоскости расположены четыре фишки, центры которых имеют целочисленные координаты. Разрешается сдвинутьлю- бую фишку на вектор, соединяющий центры любых двух из остальных

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
фишек. Докажите, что несколькими такими перемещениями можно сов- меститьлюбые две наперед заданные фишки.
(Р.Садыков)
507. Найдите все такие натуральные n, что при некоторых взаимно простых и y и натуральном k, k > 1, выполняется равенство 3
n
= x
k
+ y
k
(А.Ковальджи, В.Сендеров)
508. Докажите, что если числа a
1
, a
2
, . . . , отличны от нуля и для любого целого k = 0, 1, . . . , n (n < m − 1)
a
1
+ a
2
· 2
k
+ a
3
· 3
k
+ . . . + a
m
· m
k
= тов последовательности a
1
, a
2
, . . . , a
m
естьпо крайней мере n + 1 пара соседних чисел, имеющих разные знаки.
(О.Мусин)
509. В вершинах куба записали восемьразличных натуральных чисел,
а на каждом его ребре — наибольший общий делитель двух чисел, записанных на концах этого ребра. Могла ли сумма всех чисел, записанных в вершинах, оказаться равной сумме всех чисел, записанных на ребрах?
(А.Шаповалов)
510. Во взводе служат три сержанта и несколько солдат. Сержанты по очереди дежурят по взводу. Командир издал такой приказ) За каждое дежурство должен бытьдан хотя бы один наряд вне очереди) Никакой солдатне должен иметьболее двух нарядов и получатьбо- лее одного наряда заодно дежурство) Списки получивших наряды низа какие два дежурства не должны совпадать) Сержант, первым нарушивший одно из изложенных выше правил,
наказывается гауптвахтой.
Сможет ли хотя бы один из сержантов, не сговариваясьс другими, да- ватьнаряды так, чтобы не попастьна гауптвахту?
(М.Куликов)
511. Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удаленной от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна 180
◦
(М.Смуров)
512. Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает еще чисел, причем все 20 чисел должны бытьположительными и различными. Могли Знайка написатьтакие числа, чтобы потом гарантированно суметьсоставить10 квадратных трехчленов вида x
2
+ px + q
, среди коэффициентов и q которых встречалисьбы все записанные числа, и действительные корни этих трехчленов принимали ровно 11 различных значений?
(И.Рубанов)

УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС класс. Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до n (n > 1), одинаково читаться слева направо и справа налево?
(Н.Агаханов)
514. Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.
(А.Шаповалов)
515. Докажите, что при n  5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный угольник, не может являться правильным (n + 1)- угольником.
(Н.Агаханов, Д.Терёшин)
516. См. задачу 508.
517. Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?
(А.Голованов)
518. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса. Прямая, перпендикулярная CD и проходящая через центр описанной около треугольника ABC окружности, пересекает BC в точке. Прямая, проходящая через точку E параллельно CD, пересекает в точке F . Докажите, что BE = F D.
(М.Сонкин)
519. Существует ли такое конечное множество M ненулевых действительных чисел, что для любого натурального n найдется многочлен степени не меньше n с коэффициентами из множества M, все корни которого действительны и также принадлежат M?
(Е.Малинникова)
520. В строку в неизвестном порядке записаны все целые числа от 1 до. За один вопрос про любые 50 чисел можно узнать, в каком порядке относительно друг друга записаны эти 50 чисел. За какое наименьшее число вопросов наверняка можно узнать, в каком порядке записаны все чисел?
(С.Токарев)
1996–1997 г класс. Пусть P (x) — квадратный трехчлен с неотрицательными коэффициентами. Докажите, что для любых действительных чисел x и y справедливо неравенство (xy))
2

P (x
2
)
· P (y
2
).
(Е.Малинникова)

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол. Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным, один из которых содержит M, а другой содержится в M.
(А.Храбров)
523. Боковая поверхностьпрямоугольного параллелепипеда с основанием и высотой c (a, b и c — натуральные числа) оклеена


по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными ребрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из четного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибатьпрямо- угольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если нечетно, то число способов оклейки четно.
(Д.Карпов, С.Рукшин, Д.Фон-дер-Флаас)
524. Переаттестация Совета Мудрецов происходит так корольвыстра- ивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого или черного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Разв минуту один из мудрецов должен выкрикнутьодин из двух цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз. После окончания этого процесса корольказнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака.
Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизироватьчисло казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежатьказни?
(Фольклор)
525. Существуют ли действительные числа b и c такие, что каждое из уравнений x
2
+ bx + c = и 2x
2
+ (b + 1)x + c + 1 = имеет по два целых корня?
(Н.Агаханов)
526. В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников. Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.
(А.Шаповалов)