Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы
 Скачать 3 Mb.
|
|
578. Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел a 1 , a 2 , a 3 , . . . , для всех членов которых, начиная с треть его, выполнено a n = a n−1 + a n−2 НОД(a n−1 , a n−2 ) . (С.Волчёнков) 579. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, BC ив точках K, L и M соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL, CLM и AKM, проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника Докажите, что эти касательные пересекаются водной точке. (М.Сонкин) 580. В квадрате n × n клеток бесконечной шахматной доски расположены фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через 3 ходов. (С.Токарев) 581. Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n? (А.Голованов) 582. В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и касается прямой AB и пересекает первую окружностьв точке K, K = Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO — прямой. (С.Берлов) 583. Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство. Докажите, что x 3 + y 3 2. (С.Злобин) 584. В некоторой группе из 12 человек среди каждых 9 найдутся 5 попарно знакомых. Докажите, что в этой группе найдутся 6 попарно знако- мых. (В.Дольников) 11 класс. Существуют ли 19 попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр таких, что их сумма равна 1999? (О.Подлипский) 586. Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа. Докажите, что найдется такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине. (С.Берлов) 587. Окружность, вписанная в четырехугольник ABCD, касается его сторон DA, AB, BC, CD в точках K, L, M, N соответственно. Пусть УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС, S 2 , S 3 , S 4 — соответственно окружности, вписанные в треугольники, BLM, CMN, DNK. К окружностями, и S 3 , и S 4 , S 4 и S 1 проведены общие внешние касательные, отличные от сторон четырехугольника. Докажите, что четырехугольник, образованный этими четырьмя касательными, — ромб. (М.Сонкин) 588. См. задачу 580. 589. Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся. Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой. (С.Берлов) 590. Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделитьот двух других прямой (те. существует прямая такая, что этот многоугольники два остальных лежат по ее разные стороны). (В.Дольников) 591. Через вершину A тетраэдра ABCD проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней ABC, ACD и ABD образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда AB ·CD = AC ·BD = AD ·BC. (Д.Терёшин) 592. В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) заход режет один провода Петя — либо два, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре? (Д.Карпов) 1999–2000 г класс. Различные числа a, b и c таковы, что уравнения x 2 + ax + 1 = и+ bx + c = имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения x 2 + x + a = и x 2 + cx + b = Найдите сумму a + b + c. (Н.Агаханов) 594. Таня задумала натуральное число X 100, а Саша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел M и N, меньших 100, и задает вопрос: Чему равен наибольший общий делитель X + M и Докажите, что Саша может угадатьТанино число, задав 7 таких вопросов. (А.Голованов) 595. Пусть O — центр описанной окружности ω остроугольного треугольника. Окружность с центром K проходит через точки A, ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ, C и пересекает стороны AB ив точках M и N. Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой MN. Докажите, что BL ⊥ AC. (М.Сонкин) 596. В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы 3 дороги. Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3. (Д.Карпов) 597. На доску последовательно выписываются числа a 1 = 1 , a 2 , a 3 , . . последующим правилам a n+1 = a n −2, если число a n −2 — натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае a n+1 = a n + 3 . Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу. (Н.Агаханов) 598. В некоторых клетках доски 2n × 2n стоят черные и белые фишки. С доски сначала снимаются все черные фишки, которые стоят водной вертикали с какой-то белой, а затем все белые фишки, стоящие водной горизонтали с какой-нибудьиз оставшихся черных. Докажите, что либо черных, либо белых фишек на доске осталосьне более n 2 (С.Берлов) 599. На медиане CD треугольника ABC отмечена точка E. Окружность, проходящая через E и касающаяся прямой AB в точке A, пересекает сторону AC в точке M. Окружность S 2 , проходящая через и касающаяся прямой AB в точке B, пересекает сторону BC в точке Докажите, что описанная окружностьтреугольника CMN касается S 1 и S 2 (М.Сонкин) 600. По окружности расставлено 100 натуральных чисел, взаимно простых в совокупности. Разрешается прибавлятьк любому числу наибольший общий делительего соседей. Докажите, что при помощи таких операций можно сделатьвсе числа попарно взаимно простыми. (С.Берлов) 10 класс. Найдите сумму 3 + 2 3 + 2 2 3 + 2 3 3 + . . . + 2 1000 3 . (А.Голованов) 602. Пусть −1 < x 1 < x 2 < . . . < x n < и 1 + x 13 2 + . . . + x 13 n = x 1 + x 2 + . . . + Докажите, что если y 1 < y 2 < . . . < то 1 y 1 + x 13 2 y 2 + . . . + x 13 n y n < x 1 y 1 + x 2 y 2 + . . . + x n y n . (О.Мусин) 603. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC биссектриса острого угла между высотами и пересекает стороны ив точках P и Q соответственно. Биссектриса угла B пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр треугольника ABC с серединой стороны УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС, в точке R. Докажите, что точки P , B, Q и R лежат на одной окруж- ности. (С.Берлов) 604. Имеются пятьвнешне одинаковых гирьс попарно различными массами. Разрешается выбратьлюбые три из них A, B и C и спросить, верно ли, что m(A) < m(B) < m(C) (через m(x) обозначена масса гири. При этом дается ответ Да или Нет ). Можно ли за девятьвопросов гарантированно узнать, в каком порядке идут веса гирь? (О.Подлипский) 605. Пусть M — конечное множество чисел. Известно, что среди любых трех его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M. Какое наибольшее число элементов может быть в M? (Е.Черепанов) 606. Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9. (Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, отличных от самого числа, например = 1 + 2 + 3 .) (А.Храбров) 607. Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке Хорды BA и BC внешней окружности касаются внутренней в точках и M соответственно. Пусть Q и P — середины дуги, не содержащих точку N. Окружности, описанные около треугольников BQK и M , пересекаются второй разв точке B 1 . Докажите, что BP B 1 Q — параллелограмм. (Т.Емельянова) 608. На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты n различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рас- смотретьлюбые n квадратов различных цветов, то какие-нибудьдва из них можно прибитьк столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета можно прибитьк столу 2n − 2 гвоздями. (В.Дольников) 11 класс. Найдите все функции f: R → R, которые для всех x, y, z ∈ R удовлетворяют неравенству f(x + y) + f(y + z) + f(z + x) 3f(x + 2y + 3z). (Н.Агаханов, О.Подлипский) A A 1 B B 1 C C 1 D D 1 E E 1 Рис. 19 610. Докажите, что можно разбитьвсе множество натуральных чисел на непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке a, b, c такой, что a + 99b = c, на- шлисьдва числа из одного подмножества. (Д.Джукич, Ф.Петров, И.Богданов, С.Берлов) 611. На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 (см. рис. 19) естьхотя бы одна целая точка. (В.Дольников, И.Богданов) 612. Дана последовательность неотрицательных чисел a 1 , a 2 , . . . , Для любого k от 1 до n обозначим через величину max l=1,2,...,k a k−l+1 + a k−l+2 + . . . + Докажите, что при любом α > 0 число тех k, для которых m k > α , мень ше, чем a 1 + a 2 + · · · + a n α . (В.Дольников) 613. Докажите неравенство sin n 2x + (sin n x − cos n x) 2 1. (А.Храбров) 614. Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49. (Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, отличных от самого числа, например = 1 + 2 + 3 .) (А.Храбров) 615. Четырехугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD, окружность касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K, L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой. (П.Кожевников) 616. Клетки таблицы 100 × 100 окрашены в 4 цвета так, что в любой строке ив любом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета. Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета. (С.Берлов) 2000–2001 г класс. Числа от 1 до 999 999 разбиты на две группы в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечетного числа, во вторую — числа, для которых ближайшими являются квадраты четных чисел. В какой из групп сумма чисел больше? (Н.Агаханов) 618. Два многочлена P (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + и Q(x) = x 2 + px + + принимают отрицательные значения на некотором интервале I длины более 2, а вне I — неотрицательны. Докажите, что найдется такая точка, что P (x 0 ) < Q(x 0 ) (Н.Агаханов) УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. Внутри параллелограмма ABCD с тупым углом A выбрана точка K таким образом, что середина отрезка AD равноудалена от точек K и а середина отрезка CD равноудалена от точек K и A. Точка N — середина отрезка BK. Докажите, что углы NAK и NCK равны. (С.Берлов) 620. Дан выпуклый угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются водной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника необязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольни- ка.) (Ю.Лифшиц) 621. Юра выложил вряд монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры могло бытьтрехкопеечных монет? (Ю.Лифшиц) 622. В компании из 2n + 1 человек для любых n человек найдется отличный от них человек, знакомый с каждым из них. Докажите, что в этой компании естьчеловек, знающий всех. (С.Берлов) 623. На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезками пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Докажите, что центр O описанной около треугольника ABC окружности лежит на окружности, описанной около треугольника KBM. (С.Берлов) 624. Найдите все нечетные натуральные n (n > 1) такие, что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число a + b − 1 также является делителем n. (Д.Джукич) 10 класс. См. задачу 617. 626. На прямой выбрано 100 множеств A 1 ,A 2 ,. . . ,A 100 , каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A 1 ,A 2 ,. . . является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком). (Р.Карасёв) 627. Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке Касательная к внутренней окружности, проведенная в точке K, пересекает внешнюю окружностьв точках A и B. Пусть M — середина дуги не содержащей точку N. Докажите, что радиус окружности, описанной ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ около треугольника BMK, не зависит от выбора точки K на внутренней окружности. (Т.Емельянова) 628. В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причем между любыми двумя городами существует единственный несамопересекающийся путьпо дорогам. Известно, что в стране ровно городов, из которых выходит по одной дороге. Докажите, что можно построить новых дорог так, что после этого даже при закрытии любой дороги можно будет из любого города попастьв любой другой. (Д.Карпов) 629. Многочлен P (x) = x 3 + ax 2 + bx + имеет три различных действительных корня, а многочлен P (Q(x)), где Q(x) = x 2 + x + 2001 , действительных корней не имеет. Докажите, что P (2001) > 1 64 (Д.Терёшин) 630. В магическом квадрате n × n, составленном из чисел 1, 2, . . . , центры любых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.) (И.Богданов) 631. На высотах (ноне на продолжениях высот) остроугольного треугольника взяты точки A 1 , B 1 , C 1 , отличные от точки пересечения высот H, такие, что сумма площадей треугольников ABC 1 , BCA 1 , равна площади треугольника ABC. Докажите, что окружность, описанная около треугольника A 1 B 1 C 1 , проходит через H. (С.Берлов) 632. Найдите все натуральные числа n такие, что для любых двух его взаимно простых делителей a и b число a + b − 1 также является делителем n. (Д.Джукич) 11 класс. Пусть 2S — суммарный вес некоторого набора гирек. Назовем натуральное число k средним, если в наборе можно выбрать k гирек, суммарный вес которых равен S. Какое наибольшее количество средних чисел может иметьнабор из 100 гирек? (Д.Кузнецов) |