Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы
 Скачать 3 Mb.
|
|
690. Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K, внешних углов B ив точке L, внешних углов C ив точке M, внешних углов D ив точке N. Пусть K 1 , L 1 , M 1 , N 1 — точки пересечения высот треугольников, BCL, CDM, DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник параллелограмм. (Л.Емельянов) 691. На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков — белые, и их количество четно. Разрешается указатьна любые две коробочки испросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определитькакие-нибудьдве коробочки, в которых лежат белые шарики? (Жюри) 692. Даны натуральное число n > 3 и положительные числа x 1 , x 2 , . . . x n , произведение которых равно 1. Докажите неравенство ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 1 + x 1 + x 1 x 2 + 1 1 + x 2 + x 2 x 3 + . . . + 1 1 + x n + x n x 1 > 1. (С.Берлов) 693. Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p , q, что m + n = p + q и + 3 √ n = √ p + 3 √ q > 2004 ? (И.Богданов) 694. В кабинете президента стоят 2004 телефона, любые два из которых соединены проводом одного из четырех цветов. Известно, что провода всех четырех цветов присутствуют. Всегда ли можно выбратьнесколько телефонов так, чтобы среди соединяющих их проводов встречалисьпро- вода ровно трех цветов? (О.Подлипский) 695. Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть? (С.Берлов) 696. Пусть O — центр описанной окружности остроугольного треугольника центр описанной окружности треугольника AOC, M середина AC. На сторонах AB и BC выбраны точки D и E соответственно так, что ∠BDM = ∠BEM = ∠ABC. Докажите, что BT ⊥ DE. (А.Смирнов) 10 класс. См. задачу 689. 698. На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков — белые, и их количество четно. Разрешается указатьна любые две коробочки и спросить, естьли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определитькакую-нибудькоробочку, в которой лежит белый шарик? (Жюри) 699. Четырехугольник ABCD является одновременно и вписанными описанным, причем вписанная в ABCD окружностькасается его сторон, BC, CD ив точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырехугольника пересекаются в точке K , внешних углов B ив точке L , внешних углов C ив точке M , внешних углов D ив точке N . Докажите, что прямые KK , LL , и проходят через одну точку. (С.Берлов, Л.Емельянов, А.Смирнов) 700. См. задачу 692. 701. Последовательность неотрицательных рациональных чисел, a 2 , a 3 , . . удовлетворяет соотношению a m + a n = при любых натуральных. Докажите, что не все ее члены различны. (А.Протопопов) 702. В стране 1001 город, любые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог, в УЧЕБНЫЙ ГОД, 11 КЛАСС 91 каждый город входит ровно 500 дорог. От страны отделиласьнезависи- мая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из любого города этой республики можно доехатьдо любого другого ее города, не выезжая за пределы республики. (Д.Карпов, А.Смирнов) 703. Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симмет- ричного многоугольника M. Треугольник получается из треугольника центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника лежит внутри или на границе многоугольника M. (В.Дольников) 704. Существует ли такое натуральное число n > 10 1000 , не делящееся на 10, что в его десятичной записи можно переставитьдве различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось (iЕ.Чернышов, И.Богданов) 11 класс. См. задачу 689. 706. Пусть и I B — центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и CA треугольника ABC соответственно, а P — точка на окружности, описанной около этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников I A CP и I B CP , совпадает с центром окружности Ω. (А.Акопян, Л.Емельянов) 707. Даны многочлены P (x), Q(x). Известно, что для некоторого многочлена) выполняется равенство P (x) − P (y) = R(x, y)(Q(x) − − Q(y)). Докажите, что существует многочлен S(x) такой, что P (x) = = S(Q(x)) (А.Быстриков) 708. В прямоугольной таблице 9 строки столбца. В ее клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое — по 9 раз. При этом в любом столбце числа различаются не более, чем на 3. Найдите минимальную возможную сумму чисел впервой строке. (И.Богданов, Г.Челноков) 709. Пусть M = {x 1 , . . . , x 30 } — множество, состоящее из 30 различных положительных чисел A n (1 n 30) — сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M. Докажите, что если, то A 1 > 1 (В.Сендеров) 710. Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N (N > 3) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами) для любых N векторов этого множества найдется еще такой N − вектор из этого множества, что сумма всех 2N − 1 векторов равна нулю ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ) для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю. (О.Подлипский) 711. В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями, принадлежащими k авиакомпаниям. Известно, что любые две линии одной авиакомпании имеют общий конец. Докажите, что все города можно разбитьна k + 2 группы так, что никакие два города из одной группы не соединены авиалинией. (В.Дольников) 712. В прямоугольном параллелепипеде проведено сечение, являющееся шестиугольником. Известно, что этот шестиугольник можно поместить в некоторый прямоугольник Π. Докажите, что в прямоугольник Π можно поместитьодну из граней параллелепипеда. (С.Волчёнков) 2004–2005 г класс. Дан параллелограмм ABCD (AB < BC). Докажите, что окружности, описанные около треугольников AP Q, для всевозможных точек и Q, выбранных на сторонах BC и CD соответственно так, что CP = имеют общую точку, отличную от A. (Т.Емельянова) 714. Леша поставил в клетки таблицы 22 × 22 натуральные числа от до 22 2 . Верно ли, что Олег может выбратьтакие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4? (О.Подлипский) 715. Сумма чисел a 1 , a 2 , a 3 , каждое из которых больше единицы, равна, причем 1 > для любого i = 1, 2, 3. Докажите, что+ a 2 + 1 a 2 + a 3 + 1 a 3 + a 1 > 1. (С.Берлов) 716. На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль Вася может выбратьтри карточки и попроситьПетю положитьих слева направо так, чтобы числа на карточках располагалисьв порядке возрастания. Может ли Вася, потратив рублей, с гарантией выложитьвсе 365 карточек на стол слева направо так, чтобы числа на них располагалисьв порядке возрастания? (М.Гарбер) 717. Десятьпопарно различных ненулевых чисел таковы, что для любых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение — рациональное число. Докажите, что квадраты всех чисел рациональны. (О.Подлипский) УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. Сколькими способами числа 2 0 , 2 1 , 2 2 , . . . , 2 можно разбитьна два непустых множества A итак, чтобы уравнение x 2 −S(A)x+S(B) = = 0 , где S(M) — сумма чисел множества M, имело целый корень? (Н.Агаханов, И.Богданов) 719. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты и На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка. Пустьпрямые и BD пересекаются в точке P , а прямые BB и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая проходит через середину отрезка P Q. (А.Акопян) 720. За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбитьна две группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и каждый человек находился водной группе не более чем с одним своим соседом. (С.Берлов) 10 класс. Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде 2 b 2 c − 2 d , где a, b, c, d — натуральные числа. (В.Сендеров) 722. В таблице 2 × n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1. Докажите, что можно вы- черкнутьпо одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила + 1 4 (Е.Куликов) 723. На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному. За один вопрос разрешается указатьна любые три карточки и узнатьмножество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке? (И.Богданов) 724. Окружности ω B , ω C — вневписанные для треугольника ABC т. е. ω B и касаются соответственно сторон AC и AB и продолжений двух других сторон. Окружность симметрична относительно середины стороны AC, окружность симметрична относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей и ω C , делит периметр треугольника ABC пополам. (П.Кожевников) 725. В некоторые 16 клеток доски 8 × 8 поставили по ладье. Какое наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться. См. задачу 719. 727. Натуральные числа x и y таковы, что 2x 2 − 1 = y 15 . Докажите, что если x > 1, то x делится на 5. (В.Сендеров) ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в черный цвет так, что у каждой черной клетки четное число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно покраситьв красный или зеленый цвет так, чтобы у каждой черной клетки стало поровну красных и зеленых клеток, соседних с ней по стороне. (А.Глебов, Д.Фон-дер-Флаас) 11 класс. Какое наибольшее конечное число корней может иметьуравнение |x − a 1 | + . . . + |x − a 50 | = |x − b 1 | + . . . + |x − где a 1 , a 2 , . . . , a 50 , b 1 , b 2 , . . . , b 50 — различные числа? (И.Рубанов) 730. См. задачу 723. 731. Пусть A , и C — точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A B C , и пересекают второй раз описанную окружностьтреугольника ABC в точках C 1 , и B 1 соответственно. Докажите, что треугольник подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника ABC сего сто- ронами. (Л.Емельянов) 732. Натуральные числа x, y, z (x > 2, y > 1) таковы, что x y + 1 = = z 2 . Обозначим через p количество различных простых делителей числа, через q — количество различных простых делителей числа y. Докажите, что p q + 2. (В.Сендеров) 733. Существует ли ограниченная функция f: R → R такая, что f(1) > > и f(x) удовлетворяет при всех x, y ∈ R неравенству + y) f 2 (x) + 2f (xy) + f 2 (y)? (Н.Агаханов) 734. Можно ли расположитьв пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов, ребра которых параллельны координатным осям Ox, Oy, Oz так, чтобы пересекался (те. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме и P 3 , пересекался с каждым из оставшихся, кроме и P 4 , и т. д, пересекался с каждым из оставшихся, кроме и P 1 , пересекался с каждым из оставшихся, кроме P 12 и P 2 ? (Поверхностьпараллелепипеда принадлежит ему.) (А.Акопян) 735. Четырехугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром O. Докажите, что точка O совпадает сточкой пересечения средних линий четырехугольника ABCD тогда и только тогда, когда OA · OC = OB · OD. (А.Заславский, М.Исаев, Д.Цветов) 736. За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой. Докажите, что их можно разбитьна 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой УЧЕБНЫЙ ГОД, 9 КЛАСС 95 страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом. (С.Берлов) 2005–2006 г класс. Дана доска 15 × 15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получиласьзамкнутая несамопере- секающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200. (С.Берлов, И.Богданов) 738. Докажите, что найдутся 4 таких целых числа a, b, c, d, по модулю больших 1 000 000, что 1 a + 1 b + 1 c + 1 d = 1 abcd . (С.Берлов) 739. Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных на окружности, в цветов. Затем Коля проводит хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих точек (в том числе и общих концов. При этом Коля хочет провести как можно больше хорда Петя старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля? (С.Берлов) 740. Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а также пересекает сторону BC. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T . Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной из точки B к ω. (Д.Скробот) 741. Пусть a 1 , a 2 , . . . , a 10 — натуральные числа, a 1 < a 2 < . . . < Пусть b k — наибольший делитель такой, что b k < a k . Оказалось , что b 2 > . . . > b 10 . Докажите, что a 10 > 500 (М.Мурашкин) 742. На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки P , Q , R соответственно таким образом, что AP = CQ и четырехугольник BQ — вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника в точках A и C пересекают прямые RP ив точках X и соответственно. Докажите, что RX = RY . (С.Берлов) 743. Клетчатый квадрат 100×100 разрезан на доминошки: прямоугольники. Двое играют в игру. Каждым ходом игрок склеивает две соседних по стороне клетки, между которыми был проведен разрез. Игрок проигрывает, если после его хода фигура получиласьсвязной, те. весь квадрат можно поднятьсо стола, держа егоза одну клетку. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его соперник? (И.Богданов) ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Дан квадратный трехчлен f(x) = x 2 + ax + b . Уравнение f(f(x)) = = имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна −1. Докажите, что b − 1 4 (С.Берлов) 10 класс. См. задачу 737. 746. Сумма кубов трех последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трех чисел делится на 4. (В.Сендеров) |