Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы

• Название: Окружной и финальный этапы
• Дата: 31.01.2023
• Размер: 3 Mb.
• Имя файла: Агаханов Х.В.pdf
• Тип: Книга; #913918
• страница: 12 из 64

634. См. задачу 627.
635. На плоскости даны два таких конечных набора и выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку ив каждом из двух наборов и P
2
естьпара непересе- кающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.
(В.Дольников)
636. Участникам тестовой олимпиады было предложено n вопросов.
Жюри определяет сложностькаждого из вопросов целое положительное

УЧЕБНЫЙ ГОД, 9
КЛАСС
83
количество баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участником баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими ответами, оказалось, что жюри так может определитьсложностьво- просов, чтобы места между участниками распределилисьлюбым наперед заданным образом. При каком наибольшем числе участников это могло быть?
(С.Токарев)
637. Приведенные квадратные трехчлены f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах. Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.
(С.Берлов, О.Подлипский)
638. a и b — различные натуральные числа такие, что ab(a + b) делится на a
2
+ ab + b
2
. Докажите, что |a − b| >
3
√
ab
(С.Берлов)
639. В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города,
соединенного дорогами со всеми остальными. Назовем множество городов доминирующим, если любой не входящий в D город соединен дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в любом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на 2001 − k республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.
(В.Дольников)
640. Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра проходит через вершины A, B и C и вторично пересекает ребра SA, SB ив точках A
1
, и соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A
1
, и C
1
, пересекаются в точке O. Докажите, что O — центр сферы, описанной около тетраэдра SA
1
B
1
C
1
(Л.Емельянов)
2001–2002 г класс. Можно ли в клетках таблицы 2002 × 2002 расставитьнатуральные числа от 1 до 2002 так, чтобы для любой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбратьтройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?
(Н.Агаханов)
642. На одной стороне угла с вершиной O взята точка A, а на другой точки B итак, что B лежит между O и C. Проведена окружностьс центром O
1
, вписанная в треугольники окружностьс центром касающаяся стороны AC и продолжений сторон OA, OC треугольника

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Докажите, что если O
1
A = O
2
A
, то треугольник ABC — равно- бедренный.
(Л.Емельянов)
643. На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.
(Ю.Лифшиц)
644. Гидры состоят из голов и шей (любая шея соединяет ровно две головы. Одним ударом меча можно снести все шеи, выходящие из какой-то головы A гидры. Но при этом из головы A мгновенно вырастает по одной шее вовсе головы, с которыми A не была соединена. Геракл побеждает гидру, если ему удастся разрубитьее на две несвязанные шеями части.
Найдите наименьшее N, при котором Геракл сможет победитьлюбую сто- шеюю гидру, нанеся не более, чем N ударов.
(Ю.Лифшиц)
645. На шахматной доске стоят 8 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых.
(Расстояние между ладьями — это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)
(Д.Кузнецов)
646. Имеются одна красная и k (k > 1) синих ячеек, а также колода из
2n
карт, занумерованных числами от 1 до 2n. Первоначально вся колода лежит в произвольном порядке в красной ячейке. Из любой ячейки можно взятьверхнюю карту и переложитьее либо впустую ячейку, либо поверх карты с номером, большим на единицу. При каком наибольшем n можно такими операциями переложитьвсю колоду в одну из синих ячеек?
(А.Белов)
647. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно таким образом,
что 2∠MON = ∠AOC. Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.
(С.Берлов)
648. Из промежутка (2 2n
, 2 выбрано 2 2n−1
+ нечетное число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат каждого из которых не делится на другое.
(С.Берлов)
10 класс. Многочлены P , Q и R с действительными коэффициентами, среди которых естьмногочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству+ Q
2
= Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени — дей- ствительные.
(А.Голованов)

УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. Дан четырехугольник ABCD, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведенная через A, пересекает продолжение стороны заточку в точке K, а касательная к ω, проведенная через B, пересекает продолжение стороны AD заточку в точке M. Известно, что AM =
= и BK = BC. Докажите, что ABCD — трапеция.
(С.Берлов)
651. Докажите, что для любого натурального числа n > 10 000 найдется такое натуральное число m, представимое в виде суммы двух квадратов,
что 0 < m − n < 3 4
√
n
(А.Голованов)
652. В некотором государстве было 2002 города, соединенных дорогами так, что если запретитьпроезд через любой из городов, то из любого из оставшихся городов можно добраться до любого другого. Каждый год ко- рольвыбирает некоторый несамопересекающийся циклический маршрут и приказывает построитьновый город, соединитьего дорогами со всеми городами выбранного маршрута, а все дороги этого маршрута закрытьза ненадобностью. Через несколько лет в стране не осталосьни одного неса- мопересекающегося циклического маршрута, проходящего по ее городам.
Докажите, что в этот момент количество городов, из которых выходит ровно одна дорога, не меньше 2002.
(А.Пастор)
653. Сумма положительных чисел a, b, c равна 3. Докажите, что +
+
√
b +
√
c
 ab + bc + ac.
(С.Злобин)
654. См. задачу 646.
655. Пусть A

— точка касания вневписанной окружности треугольника
ABC
со стороной BC. Прямая a проходит через точку и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что a, b и c пересекаются водной точке.
(Л.Емельянов)
656. На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через любую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.
(В.Дольников, И.Богданов)
11 класс. См. задачу 649.
658. На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (те. перпендикулярные оси и общий масштаб, в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.
(С.Берлов)
659. Докажите, что для всех x ∈ при n > m, где n, m — натуральные, справедливо неравенство sin
n
x
− cos
n
x
|
3| sin
m
x
− cos
m
x
|;
(В.Сендеров)

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. В городе несколько площадей. Некоторые пары площадей соединены улицами с односторонним движением так, что с каждой площади можно выехатьровно по двум улицам. Докажите, что город можно раз- делитьна 1014 районов так, чтобы улицами соединялисьтолько площади из разных районов, и для любых двух районов все соединяющие их улицы были направлены одинаково (либо все из первого района во второй, либо наоборот).
(А.Пастор)
661. Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр ив виде суммы натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.
(С.Токарев)
662. Пусть ABCD — вписанный четырехугольник. O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Пустьокружности, описанные около треугольников и COD, пересекаются в точке K. Точка L такова, что треугольники BLC и AKD соответственно подобны. Докажите, что если четырехугольник BLCK выпуклый, то он является описанным.
(С.Берлов)
663. См. задачу 656.
664. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для которых числительнесократимой дроби, равной 1 +
1 2
+ . . . +
1
n
, не является степенью простого числа с натуральным показателем.
(Ф.Петров)
2002–2003 г класс. Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для любых двух различных элементов a, b из M число a
2
+ рационально. Докажите, что для любого a из M число a
√
2
рационально.
(Н.Агаханов)
666. Окружности и с центрами и соответственно пересекаются в точках A и B. Касательные к ив точке A пересекают отрезки
BO
2
и в точках K и L соответственно. Докажите, что KL O
1
O
2
(С.Берлов)
667. На прямой расположены 2k − 1 белый и 2k − 1 черный отрезок.
Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k черными,
а любой черный — хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.
(В.Дольников)
668. Последовательность {a
n
} строится следующим образом a
1
= p
— простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, a
n+1
— период десятичной дроби 1/a
n
, умноженный на 2. Найдите число a
2003
(И.Богданов, А.Храбров)

УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. В стране N городов. Между любыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один рази вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбратьгород, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придется поменять вид транспорта не более одного раза.
(О.Подлипский)
670. Пусть a, b, c — положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство 1
− a
+
1 1
− b
+
1 1
− c

2 1 + a
+
2 1 + b
+
2 1 + c
.
(С.Берлов)
671. Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставитьна- туральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных m, n >
> сумма чисел в любом прямоугольнике m × n клеток делиласьна
m + n
?
(С.Берлов)
672. На сторонах AP и P D остроугольного треугольника AP D выбраны соответственно точки B и C. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке Q. Точки и являются ортоцентрами треугольников и BP C соответственно. Докажите, что если прямая проходит через точку X пересечения описанных окружностей треугольников и CDQ, то она проходит и через точку Y пересечения описанных окружностей треугольников BQC и AQD. (X = Q, Y = Q.)
(С.Берлов, Л.Емельянов)
10 класс. Числовое множество M, содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a, b, из M число a
2
+ рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное, что для любого a из M число a
√
n
рационально.
(Н.Агаханов)
674. Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть и S
2
— соответственно окружности, описанные около треугольников ABO и CDO, O и K — точки пересечения окружностей и S
2
. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямыми CD, вторично пересекают ив точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P итак, что : P L = M Q : QO
. Докажите, что точки O, K, P , Q лежат на одной окружности.
(С.Берлов)
675. Дано дерево с n вершинами, n  2 (те. граф с n вершинами и ребром, в котором из любой вершины в любую можно пройти по ребрами нет циклического маршрута, проходящего по ребрам. В его вершинах расставлены числа x
1
, x
2
, . . . , x
n
, а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра. Обозначим через S сумму чисел

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
на всех ребрах. Докажите, что 1(x
2 1
+ x
2 2
+ . . . + x
2
n
)
 2S.
(В.Дольников)
676. На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник. Известно, что любое подмножество множества X, состоящее из не более 9 точек, можно покрытьдвумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .
(В.Дольников, Р.Карасёв)
677. См. задачу 669.
678. Последовательность натуральных чисел строится следующим образом a
0
— некоторое натуральное число a
n+1
=
a
n
5
, если делится на 5; a
n+1
= [
√
5a
n
]
, если не делится на 5 (через [x] обозначена целая частьот x, те. наибольшее целое число, не превосходящее x). Докажите,
что начиная с некоторого члена последовательность a
n
возрастает.
(А.Храбров)
679. В треугольнике ABC через O, I обозначены центры соответственно описанной и вписанной окружностей. Вневписанная окружность касается продолжений сторон AB и AC соответственно в точках K и а стороны BC — в точке N. Известно, что середина P отрезка KM лежит на описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки O, и I лежат на одной прямой.
(П.Кожевников)
680. Найдите наибольшее натуральное число N такое, что для произвольной расстановки различных натуральных чисел от 1 до 400 в клетках квадратной таблицы 20 × 20 найдутся два числа, стоящих водной строке или одном столбце, разностькоторых будет не меньше N.
(Д.Храмцов)
11 класс. Пусть α, β, γ, τ — такие положительные числа, что при всех x
sin αx + sin βx = sin γx + sin τ Докажите, что α = γ или α = τ.
(Н.Агаханов, А.Голованов, В.Сендеров)
682. См. задачу 674.
683. Даны многочлены f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами наибольший коэффициент многочлена f. Известно, что для некоторых натуральных чисел a < b имеют место равенства f(a) =
= и f(b) = g(b). Докажите, что если b > m, то многочлены f и g
совпадают.
(А.Храбров)
684. У Ани и Бори было подлинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой — Б. Каждую минуту один из них (необязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной

УЧЕБНЫЙ ГОД, 9
КЛАСС
89
полосы можно будет разрезатьна 2 части и переставитьих местами так,
что получится тоже слово, записанное в обратном порядке.
(Е.Черепанов)
685. Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами. Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.
(Н.Агаханов)
686. См. задачу 671.
687. В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Для любых четырех городов существуют хотя бы две дороги между ними. Известно, что не существует маршрута, проходящего по каждому городу ровно один раз. Докажите, что можно выбратьдва города таким образом, чтобы любой из оставшихся городов был соединен дорогой хотя бы с одним из двух выбранных городов.
(И.Иванов)
688. Вписанная в тетраэдр ABCD сфера касается его граней ABC,
ABD
, ACD ив точках D
1
, C
1
, и соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки A и плоскости и три другие аналогично построенные плоскости. Докажите, что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы,
что и тетраэдр ABCD.
(Ф.Бахарев)
2003–2004 г класс. Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
(С.Берлов)