Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы

• Название: Окружной и финальный этапы
• Дата: 31.01.2023
• Размер: 3 Mb.
• Имя файла: Агаханов Х.В.pdf
• Тип: Книга; #913918
• страница: 8 из 64

408. Число N, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трех целых чисел, делящихся на 3. Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трех целых чисел, не делящихся на 3.
(П.Козлов)
10 класс. Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств. Докажите, что водном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.
(М.Мурашкин)
410. Назовем раскраску доски 8 × 8 в три цвета хорошей, если в любом уголке из пяти клеток присутствуют клетки всех трех цветов. (Уголок из

ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
пяти клеток — это фигура, получающаяся из квадрата 3 × 3 вырезанием квадрата 2×2.) Докажите, что количество хороших раскрасок не меньше,
чем 6 8
(О.Подлипский)
411. См. задачу 404.
412. Даны n > 1 приведенных квадратных трехчленов x
2
− a
1
x + b
1
,
. . . , x
2
− a
n
x + b
n
, причем все 2n чисел a
1
, . . . , a
n
, b
1
, . . . , b
n
различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел a
1
, . . . , a
n
, b
1
, . . . , является корнем одного из этих трехчленов?
(А.Бадзян)
413. Докажите, что для каждого x такого, что sin x = 0, найдется такое натуральное n, что | sin nx| 
√
3 2
(И.Богданов, А.Храбров)
414. Через точку пересечения высот остроугольного треугольника проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходно- му.
(Л.Емельянов)
415. При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, ноне целые числа a и b, что оба числа a + b и a
n
+ b
n
— целые?
(В.Сендеров)
416. У выпуклого многогранника 2n граней (n  3), и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может бытьу такого многогранника?
(А.Гарбер)
11 класс. См. задачу 409.
418. Произведение квадратных трехчленов x
2
+ a
1
x + b
1
, x
2
+ a
2
x + b
2
,
. . . , x
2
+ a
n
x + равно многочлену P (x) = x
2n
+ c
1
x
2n−1
+ c
2
x
2n−2
+. . .
. . . + c
2n−1
x + c
2n
, где коэффициенты c
1
, c
2
, . . . , положительны. Докажите, что для некоторого k (1
k
n) коэффициенты и положи- тельны.
(В.Сендеров)
419. В гоночном турнире 12 этапов и n участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места k получают баллы числа натуральны и a
1
> a
2
> . . . > a
n
). При каком наименьшем n
устроительтурнира может выбратьчисла a
1
, . . . , так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занятьпервое место.
(М.Мурашкин)
420. Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках и C
1
, а описанную окружностьэтого треугольника в точках и соответственно. Прямые и пересекаются в точке P . Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.
(Л.Емельянов)

УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. См. задачу 413.
422. В тетраэдре ABCD из вершины A опустили перпендикуляры AB

,
AC

, на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах CD, пополам. Докажите, что плоскость (параллельна плоскости
(BCD)
(А.Бадзян)
423. Докажите, что если натуральное число N представляется в виде суммы трех квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трех квадратов целых чисел, не делящихся на 3.
(П.Козлов)
424. Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300 × 300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?
(И.Богданов, О.Подлипский)

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
З
АКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ г класс. Натуральное число n таково, что числа 2n + 1 и 3n + 1 являются квадратами. Может ли при этом число 5n + 3 бытьпростым?
(Е.Гладкова)
426. Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O, причем = 60
◦
. Докажите, что AC + BD  1.
(С.Берлов)
427. Квадратный трехчлен f(x) разрешается заменитьна один из трехчленов+ или (x − 1)
2
f

1
x − 1

. Можно лис помощью таких операций из квадратного трехчлена x
2
+ 4x + 3
получитьтрехчлен x
2
+
+ 10x + 9
?
(А.Перлин)
428. В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека в центре стоит мужчина, слева от мужчины его сына справа — его брат. Какое наименьшее количество различных людей может бытьизображено на этих фотографиях, если известно, что все десятьмужчин, стоящих в центре, различны?
(С.Конягин)
429. Целые числа x, y и z таковы, что y)(y − z)(z − x) = x + y + Докажите, что число x + y + z делится на 27.
(Н.Агаханов)
C
2
B
1
B
2
A
1
A
2
D
1
D
2
C
1
Рис. 13
430. Внутри окружности расположен выпуклый четырехугольник, продолжения сторон которого пересекают ее в точках A
1
, A
2
,
B
1
, B
2
, C
1
, C
2
, и см. рис. 13). Докажите, что если A
1
B
2
= B
1
C
2
= C
1
D
2
=
= D
1
A
2
, то четырехугольник, образованный прямыми A
1
A
2
, B
1
B
2
, C
1
C
2
, D
1
D
2
, можно вписатьв окружность.
(Д.Терёшин)
431. Какое наибольшее число фишек можно поставитьна клетки шахматной доски так,
чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали находилосьчетное число фишек?
(С.Зайцев)
432. На доске написано n выражений вида ∗x
2
+
∗x+∗ = 0 (n — нечетное число. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. Заход разрешается заменитьодну из звездочек числом, неравным нулю. Через ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится кто- му, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не име-

УЧЕБНЫЙ ГОД, 10
КЛАСС
57
ющих корней, может получитьпервый игрок независимо от игры второго?
(И.Рубанов)
10 класс. Длины сторон треугольника — простые числа. Докажите, что его площадьне может бытьцелым числом.
(Д.Митькин)
434. Из центра симметрии двух равных пересекающихся окружностей проведены два луча, пересекающие окружности в четырех точках, не лежащих на одной прямой. Докажите, что эти точки лежат на одной окруж- ности.
(Л.Купцов)
435. См. задачу 427.
436. За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают:


Кто Ваш сосед справа — умный или дурак?

В ответ умный говорит правду, а дурак может сказатькак правду, таки ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F . При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указатьна умного человека в этой компании?
(О.Ляшко)
437. См. задачу 429.
438. Верно ли, что любые два прямоугольника равной площади можно расположитьна плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет пересекатьи второй, причем по отрезку той же длины?
(Д.Терёшин)
439. Квадратная доска разделена сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на клеток со стороной 1. При каком наибольшем n можно отметить n клеток так, чтобы любой прямоугольник площади не менее со сторонами, идущими по линиям сетки, содержал хотя бы одну отмеченную клетку?
(Д.Фон-дер-Флаас)
440. Назовем усреднением последовательности {a
k
} действительных чисел последовательность {a

k
} с общим членом a

k
=
a
k
+ a
k+1 2
. Рассмотрим последовательности {a
k
}, {a

k
} — ее усреднение, {a

k
} — усреднение последовательности {a

k
}, и т. д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность {a
k
}
— хорошая. Докажите, что если последовательность {x
k
} — хорошая,
то последовательность {x
2
k
} — тоже хорошая.
(Д.Тамаркин)
11 класс. См. задачу 425.
442. Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так,
что их медианы, проведенные к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.
(К.Фельдман)
443. Найдите все функции f(x), определенные при всех положительных, принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных x и y равенству f(x
y
) = f (x)
f (y)
(С.Токарев)
444. Докажите, что существует такое натуральное число n, что если правильный треугольник со стороной n разбитьпрямыми, параллельными его сторонам, на правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (необязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).
(С.Августинович, Д.Фон-дер-Флаас)
445. Найдите все четверки действительных чисел, в каждой из которых любое число равно произведению каких-либо двух других чисел.
(Д.Митькин)
446. В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до. Над строкой производится следующая операция если на первом месте стоит число k, то первые k чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте обязательно окажется число 1.
(Д.Терёшин)
447. В турнире по теннису n участников хотят провести парные (двое надвое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно водном матче. При каких n возможен такой турнир?
(С.Токарев)
448. Докажите, что если два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объемы, то их можно расположитьв пространстве так, что любая горизонтальная плоскость, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причем по многоугольнику той же площади.
(Д.Терёшин)
1993–1994 г класс. Докажите, что если (x +
√
x
2
+ 1)(y +

y
2
+ 1) = 1
, то x + y = 0.
(А.Галочкин)
450. Окружности и касаются внешним образом в точке F . Прямая
l
касается ив точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l, касается в точке C и пересекает в двух точках. Докажите,
что точки A, F и C лежат на одной прямой.
(А.Калинин)
451. На столе лежат три кучки спичек. Впервой кучке находится спичек, во второй — 200, а в третьей — 300. Двое играют в такую игру

УЧЕБНЫЙ ГОД, 10
КЛАСС
59
Ходят по очереди, за один ход игрок должен убратьодну из кучек, а любую из оставшихся разделитьна две непустые части. Проигравшим считается тот, кто не может сделатьход. Кто выигрывает при правильной игре начинающий или его партнер?
(К.Кохась)
452. На прямой отмечены n различных синих точек и n различных красных точек. Докажите, что сумма попарных расстояний между точками одного цвета не превосходит суммы попарных расстояний между точками разного цвета.
(О.Мусин)
453. Докажите тождество+ a
2
)
+
a
2
a
3
(a
2
+ a
3
)
+ . . . +
a
n
a
1
(a
n
+ a
1
)
=
=
a
2
a
1
(a
1
+ a
2
)
+
a
3
a
2
(a
2
+ a
3
)
+ . . . +
a
1
a
n
(a
n
+ a
1
)
.
(Р.Женодаров)
454. Натуральные числа от 1 до 1000 по одному выписали на карточки,
а затем накрыли этими карточками какие-то 1000 клеток прямоугольника. Если соседняя справа от карточки с числом n клетка свободна, то за один ход ее разрешается накрытькарточкой с числом n + 1. Докажите,
что нельзя сделать более полумиллиона таких ходов.
(Д.Карпов)
455. Трапеция ABCD (AB CD) такова, что на ее сторонах AD и
BC
существуют точки P и Q соответственно, удовлетворяющие условиям. Докажите, что точки P и равноудалены от точки пересечения диагоналей трапеции.
(М.Смуров)
456. Плоскостьразбита двумя семействами параллельных прямых на единичные квадратики. Назовем каемкой квадрата n × n, состоящего из квадратиков разбиения, объединение тех квадратиков, которые хотя бы одной из своих сторон примыкают изнутри к его границе. Докажите, что существует ровно один способ покрытия квадрата 100 × 100, состоящего из квадратиков разбиения, неперекрывающимися каемками пятидесяти квадратов. (Каемки могут и не содержаться в квадрате 100 × 100.)
(А.Перлин)
10 класс. Даны три квадратных трехчлена P
1
(x) = x
2
+ p
1
x + q
1
, P
2
(x) =
= и P
3
(x) = x
2
+p
3
x+q
3
. Докажите, что уравнение |P
1
(x)
|+
+
|P
2
(x)
| = |P
3
(x)
| имеет не более восьми корней.
(А.Голованов)
458. См. задачу 451.
459. Пусть a, b и c — длины сторон треугольника, m
a
, и m
c
— длины медиан, проведенных к этим сторонам, D — диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что+ b
2
m
c
+
b
2
+ c
2
m
a
+
c
2
+ a
2
m
b

6D.
(Д.Терёшин)

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. В правильном (6n + угольнике K вершин покрашено в красный цвета остальные — в синий. Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
(Д.Тамаркин)
461. Докажите, что для натуральных чисел k, m и n справедливо неравенство, n]
2
(здесьчерез [x, y, . . .] обозначено наименьшее общее кратное чисел, y, . . .
).
(А.Голованов)
462. Функции f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар (x, y), для которых f(x) = g(y), через n — число пар, для которых f(x) = f(y), а через k — число пар, для которых g(x) = g(y). Докажите, что 2m
n +
+ k
(А.Белов)
A
B
C
A
1
B
1
C
1
Рис. 14
463. Каждая из окружностей, и касается внешним образом окружности в точках A
1
, B
1
и
C
1
соответственно) и двух сторон треугольника см. рис. 14). Докажите, что прямые AA
1
, и пересекаются водной точке.
(Д.Терёшин)
464. В классе 30 учеников, и у каждого из них одинаковое число друзей среди одноклассников. Каково наибольшее возможное число учеников, которые учатся лучше большинства своих друзей (Про любых двух учеников в классе можно сказать, кто из них учится лучше если A учится лучше B, а тот лучше C, то A учится лучше C.)
(С.Токарев)
11 класс. Даны натуральные числа a и b такие, что число + 1
b
+
b + является целым. Докажите, что наибольший общий делитель чисел a и b не превосходит числа + b
(А.Голованов, Е.Малинникова)
466. Внутри выпуклого стоугольника выбрано k точек, 2
k
50. Докажите, что можно отметить 2k вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказалисьвнутри угольника с отмеченными вершина- ми.
(С.Берлов)

УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. Две окружности и касаются внешним образом в точке F . Их общая касательная касается ив точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности в точке C и пересекает окружность в точках D и Докажите, что общая хорда окружностей, описанных около треугольников и BDE, проходит через точку F .
(А.Калинин)