Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы
 Скачать 3 Mb.
|
|
157. Решите уравнение {(x + 1) 3 } = x 3 , где {z} — дробная частьчисла z , те [z]. (А.Шаповалов) 158. В пятиугольнике проведены биссектрисы l 1 , l 2 , . . . , углов A 1 , A 2 , . . . , соответственно. Биссектрисы и пересекаются в точке B 1 , ив точке и т. д, и пересекаются в точке Может ли пятиугольник оказаться выпуклым? (Л.Смирнова, Д.Тарасенко) 159. Куб со стороной n (n 3) разбит перегородками на единичные кубики. Какое минимальное число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно было добраться до границы куба? (Д.Храмцов) 160. Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделитьодно подмножество множества чисел от 1 дои спросить, принадлежит ли ему за ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ гаданное число. За ответ да надо заплатить рубля, за ответ нет — 1 рубль. Какая наименьшая сумма денег необходима для того, чтобы наверняка угадатьчисло? (М.Островский) 11 класс. На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды посчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (те. сколько карт между семерками червей, между дамами пики т. д. Чему равна сумма 36 полученных чисел? (А.Шаповалов) 162. Окружность S с центром O и окружность пересекаются в точках A и B. На дуге окружности S, лежащей внутри взята точка C. Точки пересечения AC и BC с S , отличные от A и B, обозначим E и D соответственно. Докажите, что прямые DE и OC перпендикулярны. (М.Сонкин) 163. См. задачу 155. 164. Имеется таблица n × n, в n − 1 клетках которой записаны единицы, а в остальных клетках — нули. С таблицей разрешается проделывать следующую операцию выбратьклетку, вычестьиз числа, стоящего в этой клетке, единицу, а ко всем остальным числам, стоящим водной строке или водном столбце с выбранной клеткой, прибавитьединицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указанных операций получить таблицу, в которой все числа равны? (О.Подлипский) 165. На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и умноженная на 5 прибавляется к тому числу, что осталосьна доске после стирания. Первоначально было записано число 1998 . Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 1998 7 ? (Л.Емельянов) 166. Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка — черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть A — количество черных отрезков на периметре, B — количество белых, и пустьмногоугольник состоит из a черных и b белых клеток. Докажите, что B = 4(a − b). (И.Изместьев) 167. Даны два правильных тетраэдра с ребрами длины, переводящихся один в другой при центральной симметрии. Пусть Φ — множество середин отрезков, концы которых принадлежат разным тетраэдрам. Найдите объем фигуры Φ. (А.Белов) УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. В последовательности натуральных чисел {a n }, n = 1, 2, . . ., каждое натуральное число встречается хотя бы один рази для любых различных и m выполнено неравенство 1998 < |a n − a m | |n − m| < Докажите, что тогда |a n − n| < 2 000 000 для всех натуральных n. (Д.Храмцов) 1998–1999 г класс. Отец с двумя сыновьями отправились навестить бабушку, которая живет в 33 км от города. У отца естьмотороллер, скоростькоторого 25 км/ч, ас пассажиром — 20 км/ч (двух пассажиров на мотороллере пе- ревозитьнельзя). Каждый из братьев идет по дороге со скоростью 5 км/ч. Докажите, что все трое могут добраться до бабушки за 3 часа. (А.Шаповалов) 170. К натуральному числу A приписали справа три цифры. Получившееся число оказалосьравным сумме всех натуральных чисел от 1 до Найдите A. (И.Акулич) 171. На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A 1 , B 1 , так, что медианы A 1 A 2 , B 1 B 2 , треугольника соответственно параллельны прямым AB, BC, CA. Определите, в каком отношении точки A 1 , B 1 , делят стороны треугольника ABC (А.Шаповалов) 172. Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут бытьразличны. Разрешается соеди- нятьлюбые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа k, а затем разъединятьих; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем k существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах? (И.Акулич) 173. Докажите, что числа от 1 донельзя разбить на две группы A из чисел и B из 13 чисел так, чтобы сумма чисел в группе B была равна произведению чисел в группе A. (Н.Агаханов) 174. Дан треугольник ABC. Точка симметрична вершине A относительно прямой BC, а точка симметрична вершине C относительно прямой AB. Докажите, что если точки A 1 , B и лежат на одной прямой и C 1 B = 2A 1 B , то угол CA 1 B — прямой. (Н.Агаханов) ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. В коробке лежит полный набор костей домино. Два игрока по очереди выбирают из коробки по одной кости и выкладывают их на стол, прикладывая к уже выложенной цепочке с любой из двух сторон по правилам домино. Проигрывает тот, кто не может сделатьочередной ход. Кто выиграет при правильной игре? (Д.Храмцов) 176. Из 54 одинаковых единичных картонных квадратов сделали незамкнутую цепочку, соединив их шарнирно вершинами. Любой квадрат (кроме крайних) соединен с соседями двумя противоположными вершинами. Можно ли этой цепочкой квадратов полностью закрыть поверх- ностькуба 3 × 3 × 3? (А.Шаповалов) 9 класс. По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от до N, N 2. При этом для любой пары соседних чисел имеется хотя бы одна цифра, встречающаяся в десятичной записи каждого из них. Найдите наименьшее возможное значение N. (Д.Кузнецов) 178. В треугольнике ABC на стороне AC нашлисьтакие точки D и что AB = AD и BE = EC (E между A и D). Точка F — середина дуги окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки, E, D, F лежат на одной окружности. (С.Берлов) 179. Произведение положительных чисел x, y и z равно 1. Докажите, что если x + y + то для любого натурального k выполнено неравенство x k + y k + z k . (С.Злобин) 180. Лабиринт представляет собой квадрат 8 × 8, в каждой клетке 1 × × 1 которого нарисована одна из четырех стрелок (вверх, вниз, вправо, влево). Верхняя сторона правой верхней клетки — выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на почасовой стрелке. Если фишка должна сделатьход, выводящий ее за пределы квадрата 8 × 8, она остается на месте, а стрелка также поворачивается на почасовой стрелке. Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта. (М.Антонов) 181. Все клетки клетчатой плоскости окрашены в 5 цветов так, что в любой фигуре вида все цвета различны. Докажите, что ив любой фигуре вида все цвета различны. (С.Берлов) УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. См. задачу 175. 183. Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей. (Каждый простой делительучитывается 1 раз, например, число 12 имеет два простых делителя 2 и 3.) (С.Токарев) 184. В треугольнике ABC (AB > BC) K и M — середины сторон и AC, O — точка пересечения биссектрис. Пусть P — точка пересечения прямых KM и CO, а точка Q такова, что QP ⊥ KM и QM||BO. Докажите, что QO ⊥ AC. (М.Сонкин) 10 класс. См. задачу 170. 186. На плоскости даны окружность ω, точка A, лежащая внутри ω и точка B (B = A). Рассматриваются всевозможные треугольники BXY такие что точки X и Y лежат на ω и хорда XY проходит через точку A. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY лежат на одной прямой. (П.Кожевников) 187. В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат водной плоскости. Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих n − 3 точек. (В.Дольников, С.Игонин) 188. См. задачу 180. 189. Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них — точные квадраты? (Р.Садыков, Е.Черепанов) 190. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон ив точках C 1 , и соответственно. Пусть K — точка на окружности, диаметрально противоположная точке C 1 , D — точка пересечения прямых и A 1 K . Докажите, что CD = CB 1 (М.Евдокимов) 191. Каждый голосующий на выборах вносит в избирательный бюлле- теньфамилии n кандидатов. На избирательном участке находится n + урна. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит по крайней мере один бюллетеньи при всяком выборе (n + го бюллетеня по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере водной урне все бюллетени содержат фамилию одного итого же кандидата. (В.Дольников) 192. Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 естьотмеченное число. Докажите ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ что найдется пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое. (С.Берлов) 11 класс. О функции f(x), заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом a > 1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой. (А.Голованов) 194. См. задачу 179. 195. В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей молчунов. Докажите, что учительможет пригласитьна факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали. (С.Берлов) 196. Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскостьграни целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6. (М.Евдокимов) 197. Существуют ли действительные числа a, b и c такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство + a| + |x + y + b| + |y + c| > |x| + |x + y| + |y|? (В.Сендеров) 198. Клетки квадрата 50×50 раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (те. сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета (необязательно соседние с этой клеткой). (А.Голованов, Е.Сопкина) 199. См. задачу 184. 200. Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного целого значения, которое многочлен принимает ровно водной целой точ- ке. (А.Голованов) 1999–2000 г класс. Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенству+ 4) = 2(a 6 + Докажите, что хотя бы одно из них иррационально. (Н.Агаханов) 202. В некотором городе на любом перекрестке сходятся ровно 3 улицы. Улицы раскрашены в три цвета так, что на каждом перекрестке сходятся улицы трех разных цветов. Из города выходят три дороги. Докажите, что они имеют разные цвета. (С.Дужин) УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. Какое наименьшее число сторон может иметьнечетноугольник (необязательно выпуклый, который можно разрезать на параллелограммы? (Л.Емельянов) 204. Два пирата делят добычу, состоящую из двух мешков монет и алмаза, действуя последующим правилам. Вначале первый пират забирает себе из любого мешка несколько монет и перекладывает из этого мешка в другой такое же количество монет. Затем также поступает второй пират (выбирая мешок, из которого он берет монеты, по своему усмотрению) и т. д. до тех пор, пока можно братьмонеты по этим правилам. Пирату, взявшему монеты последним, достается алмаз. Кому достанется алмаз, если каждый из пиратов старается получитьего? Дайте ответ в зависимости от первоначального количества монет в мешках. (Д.Храмцов) 205. Даны 8 гирек весом 1, 2, . . . , 8 грамм, но неизвестно, какая из них сколько весит. Барон Мюнхгаузен утверждает, что помнит, какая из гирек сколько весит, ив доказательство своей правоты готов провести одно взвешивание, в результате которого будет однозначно установлен вес хотя бы одной из гирь. Не обманывает ли он? (А.Шаповалов) 206. Путьот платформы A до платформы B электропоезд прошел за X минут (0 < X < 60). Найдите X, если известно, что как в момент отправления от A, таки в момент прибытия в B угол между часовой и минутной стрелками равнялся X градусам. (С.Токарев) 207. Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что KO ⊥ ⊥ AC. (М.Сонкин) 208. В стране 2000 городов. Каждый город связан беспосадочными двусторонними авиалиниями с некоторыми другими городами, причем для каждого города число исходящих из него авиалиний естьстепеньдвойки (т. е. 1, 2, 4, 8, . . . ). Для каждого города A статистик подсчитал количество маршрутов, имеющих не более одной пересадки, связывающих A с другими городами, а затем просуммировал полученные результаты по всем городам. У него получилось 000. Докажите, что статистик ошибся. (И.Рубанов) 9 класс. Миша решил уравнение x 2 + ax + b = и сообщил Диме набор из четырех чисел — два корня и два коэффициента этого уравнения (ноне сказал, какие именно из них корни, а какие — коэффициенты. Сможет ли Дима узнать, какое уравнение решал Миша, если все числа набора оказа- лисьразличными? (М.Евдокимов) ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Существуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа a, b и c, большие 1 и такие, что 2 a + делится на b, 2 b + делится на c, а 2 c + делится на a? (В.Сендеров) 211. На прямой имеется 2n+1 отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с n другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными. (С.Берлов) S 1 S 2 N M A D B C E F Рис. 10 212. Окружности и пересекаются в точках M и N. Через точку окружности проведены прямые и AN, пересекающие в точках B и, а через точку D окружности прямые DM и DN, пересекающие в точках E и F , причем A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C — по другую (см. рис. 10). Докажите, что если AB = DE, то точки A, F и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D. (М.Сонкин, Д.Терёшин) 1 3 2 3 3 3 2 3 3 3 4 3 3 3 4 3 5 3 · · · · · · · · Рис. 11 213. В таблице 99 × 101 расставлены кубы натуральных чисел, как показано на рис. 11. Докажите, что сумма всех чисел в таблице делится на 200. (Л.Емельянов) 214. Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина алюминиевые массой га остальные — дюралевые массой г. Требуется выделитьдве кучки шариков так, чтобы массы кучек были различны, а число шариков в них — одинаково. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирьэто можно сделать? (С.Токарев) 215. На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D. Окружность, описанная около треугольника BCD, пересекает сторону AC в точке а окружность, описанная около треугольника ACD, пересекает сторону BC в точке N (M, N = C). Пусть O — центр описанной окружности треугольника. Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB (М.Сонкин) 216. Клетки таблицы 200 × 200 окрашены в черный и белый цвета так, что черных клеток на 404 больше, чем белых. Докажите, что найдется квадрат 2 × 2, в котором число белых клеток нечетно. (Р.Садыков, Е.Черепанов) |