Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы

• Название: Окружной и финальный этапы
• Дата: 31.01.2023
• Размер: 3 Mb.
• Имя файла: Агаханов Х.В.pdf
• Тип: Книга; #913918
• страница: 5 из 64

10 класс. Рассматриваются 2000 чисел 11, 101, 1001, . . . Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.
(В.Произволов, В.Сендеров)

УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. Среди пяти внешне одинаковых монет 3 настоящие и две фальшивые, одинаковые повесу, но неизвестно, тяжелее или легче настоящих.
Как за наименьшее число взвешиваний найти хотя бы одну настоящую монету. Дан параллелограмм ABCD с углом A, равным 60
◦
. Точка O центр окружности, описанной около треугольника ABD. Прямая AO пересекает биссектрису внешнего угла C в точке K. Найдите отношение
AO/OK
(С.Берлов)
220. При каком наименьшем n квадрат n × n можно разрезатьна квадраты итак, чтобы квадраты обоих видов присутствовали?
(В.Замятин)
221. Существует ли функция f(x), определенная при всех x ∈ R и для всех x, y ∈ R удовлетворяющая неравенству + y) + sin x + sin y| < 2?
(Е.Знак, Жюри. Поданному натуральному числу строится последовательность следующим образом a
n+1
= a
2
n
− 5, если нечетно, и, если четно. Докажите, что при любом нечетном a
0
> в последовательности встретятся скольугодно большие числа.
(А.Храбров)
223. В выпуклом четырехугольнике ABCD провели биссектрисы l
a
, l
b
,
l
c
, внешних углов A, B, C, D соответственно. Точки пересечения прямых и l
b
, и l
c
, и l
d
, и обозначили через K, L, M, N. Известно,
что 3 перпендикуляра, опущенных из K на AB, из L на BC, из M на пересекаются водной точке. Докажите, что четырехугольник ABCD впи- санный.
(П.Кожевников)
224. В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечетной длины. Докажите, что страну можно разделитьна 2N + 2 республики так, чтобы никакие два города из одной республики небыли соединены дорогой.
(В.Дольников, Д.Карпов)
11 класс. Докажите, что можно выбратьтакие различные действительные числа a
1
, a
2
, . . . , a
10
, что уравнение a
1
)(x
− a
2
) . . . (x
− a
10
) = (x + a
1
)(x + a
2
)
· . . . · (x + будет иметьровно 5 различных действительных корней.
(Н.Агаханов)
226. Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1 можно целиком покрытьэтот цилиндр?
(И.Рубанов)

ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Последовательность a
1
, a
2
, . . . , действительных чисел такова, что для любого натурального n, 1
n
2000, выполняется равенство 1
+ a
3 2
+ . . . + a
3
n
= (a
1
+ a
2
+ . . . + Докажите, что все члены этой последовательности — целые числа.
(С.Тухвебер)
228. См. задачу 220.
229. Для неотрицательных чисел x и y, не превосходящих 1, докажите,
что
1
√
1 + x
2
+
1

1 + y
2


2
√
1 + xy
.
(А.Храбров)
230. Окружность, вписанная в треугольник ABC, имеет центр O и касается стороны AC в точке K. Вторая окружность — также с центром, пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F — соответственно ее точки пересечения со сторонами AB и BC, ближайшие к вершине и B
2
— точки ее пересечения со стороной AC, причем ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков
B
2
E
и лежат на одной прямой.
(М.Сонкин)
231. Даны числа 1, 2, . . . , N, каждое из которых окрашено либо в черный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашиватьв противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. При каких N всегда можно сделатьвсе числа белыми?
(С.Токарев)
232. В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечетной длины. Докажите, что страну можно разделитьна N + 2 республики так, чтобы никакие два города из одной республики небыли соединены дорогой.
(В.Дольников, Д.Карпов, С.Берлов)
2000–2001 г класс. Можно ли числа 1, 2, . . . , 10 расставить вряд в некотором порядке так, чтобы каждое из них, начиная со второго, отличалосьот предыдущего на целое число процентов?
(Р.Женодаров)
234. N цифр — единицы и двойки — расположены по кругу. Изображенным назовем число, образуемое несколькими цифрами, расположенными подряд (почасовой стрелке или против часовой стрелки. При каком наименьшем значении N все четырехзначные числа, записькоторых содержит только цифры 1 и 2, могут оказаться среди изображенных?
(С.Волчёнков)

УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.
(Д.Джукич)
236. Уголком размера n×m, где m, n  2, называется фигура, получаемая из прямоугольника размера n × m клеток удалением прямоугольника размера (n − 1) × (m − 1) клеток. Два игрока по очереди делают ходы,
заключающиеся в закрашивании в уголке произвольного ненулевого количества клеток, образующих прямоугольник или квадрат. Пропускать ходили красить одну клетку дважды нельзя. Проигрывает тот, после чьего хода все клетки уголка окажутся окрашенными. Кто из игроков победит при правильной игре?
(Д.Храмцов)
237. Пусть a, b, c, d, e и f — некоторые числа, причем a · c · e = Известно, что значения выражений |ax + b| + |cx + d| и |ex + f| равны при всех значениях x. Докажите, что ad = bc.
(Р.Женодаров)
238. Натуральное число n назовем хорошим, если каждое из чисел n,
n + 1
, n+2 и n+3 делится на сумму своих цифр. (Например, n = 60398 хорошее) Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?
(В.Замков)
239. Можно ли клетки доски 5×5 покраситьв 4 цвета так, чтобы клетки,
стоящие на пересечении любых двух строки любых двух столбцов, были покрашены не менее чем в 3 цвета?
(О.Подлипский)
240. Докажите, что любой треугольник можно разрезатьне более чем на 3 части, из которых складывается равнобедренный треугольник.
(Л.Емельянов)
9 класс. См. задачу 233.
242. Петя и Коля играют в следующую игру они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трехчлена f = x
2
+ ax +
+ b
: Петя на 1, Коля — на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трехчлен, имеющий целые корни. Верно ли,
что Коля может выигратьпри любых начальных целых коэффициентах и b независимо от игры Пети?
(Н.Агаханов)
243. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и BC выбраны точки
M
и N соответственно так, что AM = NC, Q — точка пересечения отрезков и CM. Докажите, что DQ — биссектриса угла D.
(Л.Емельянов)
244. Мишеньпредставляет собой треугольник, разбитый тремя семействами параллельных прямых на 100 равных правильных треугольничков с единичными сторонами. Снайпер стреляет по мишени. Он целится в треугольничек и попадает либо в него, либо в один из соседних с ним по

ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
стороне. Он видит результаты своей стрельбы и может выбирать, когда стрельбу заканчивать. Какое наибольшее число треугольничков он может с гарантией поразитьровно пятьраз?
(Ю.Лифшиц)
245. В выпуклом пятиугольнике выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырехугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что в него попадут обе выбранные точки.
(В.Дольников)
246. Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на ноль?
(А.Храбров)
247. Окружность, вписанная в угол с вершиной O, касается его сторон в точках A и B, K — произвольная точка на меньшей из двух дуг AB этой окружности. На прямой OB взята точка L такая, что прямые OA и параллельны. Пусть M — точка пересечения окружности ω, описанной около треугольника KLB, с прямой AK, отличная от K. Докажите, что прямая OM касается окружности ω.
(С.Берлов, П.Кожевников)
248. Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.
(А.Голованов)
10 класс. Длины сторон многоугольника равны a
1
, a
2
, . . . , a
n
. Квадратный трехчлен f(x) таков, что f(a
1
) = f (a
2
+ . . . + a
n
)
. Докажите, что если сумма длин нескольких сторон многоугольника, B — сумма длин остальных его сторон, то f(A) = f(B).
(Н.Агаханов)
250. В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка Окружность проходит через точку K и касается прямых AB и AD вторично пересекает диагональна отрезке AK). Окружность проходит через точку K и касается прямых CB и CD вторично пересекает диагональна отрезке KC). Докажите, что при всех положениях точки
K
на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей и будут параллельны между собой.
(Т.Емельянова)
251. Опишите все способы покраситькаждое натуральное число в один из трех цветов так, чтобы выполнялосьусловие: если числа a, b и c необязательно различные) удовлетворяют условию 2000(a + b) = c, то они либо все одного цвета, либо трех разных цветов.
(Ю.Лифшиц)
252. Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?
(Ю.Лифшиц)

УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. Даны целые числа a, b и c, c = b. Известно, что квадратные трехчлены+ и (c − b)x
2
+ (c
− a)x + (a + b) имеют общий корень
(не обязательно целый. Докажите, что a + b + 2c делится на 3.
(А.Храбров)
254. Дан треугольник ABC. На прямой AC отмечена точка так, что = AB
1
, при этом и C находятся по одну сторону от A. Через точки, и основание биссектрисы угла A треугольника ABC проводится окружность ω, вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника ABC, в точке Q. Докажите, что касательная, проведенная кв точке Q, параллельна AC.
(Л.Емельянов)
255. Множество клеток на клетчатой плоскости назовем ладейно связным, если из любой его клетки можно попастьв любую другую, двигаясь по клеткам этого множества ходом ладьи (ладье разрешается перелетать через поляне принадлежащие нашему множеству. Докажите, что ла- дейно связное множество из 100 клеток можно разбитьна пары клеток,
лежащих водной строке или водном столбце.
(И.Певзнер)
256. На окружности расположена тысяча непересекающихся дуги на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней почасовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
(В.Сендеров)
11 класс. Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p − q)
3
(Р.Женодаров)
258. Приведенный квадратный трехчлен f(x) имеет 2 различных корня.
Может ли так оказаться, что уравнение f(f(x)) = 0 имеет 3 различных корня, а уравнение f(f(f(x))) = 0 — 7 различных корней?
(Н.Агаханов, О.Подлипский)
259. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB ив точках M и
N
соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN, касается прямой l.
(Н.Седракян)
260. См. задачу 252.
261. Дана последовательность {x
k
} такая, что x
1
= 1
, x
n+1
= n sin x
n
+
+ 1
. Докажите, что последовательность непериодична.
(А.Голованов)
262. Докажите, что если у тетраэдра два отрезка, идущие из концов некоторого ребра в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются, то отрезки, выпущенные из концов скрещивающегося с ним ребра в центры вписанных окружностей двух других граней, также пересекаются.
(Фольклор)

ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. На плоскости дано бесконечное множество точек S, при этом в любом квадрате 1×1 лежит конечное число точек из множества S. Докажите,
что найдутся две разные точки A и B из S такие, что для любой другой точки из S выполняются неравенства, |XB|  0,999|AB|.
(Р.Карасёв)
264. Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трехзначных чисел, можно выбрать попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.
(Д.Храмцов, Г.Челноков)
2001–2002 г класс. Можно ли все клетки таблицы 9 × 2002 заполнитьнатуральными числами так, чтобы сумма чисел в любом столбце и сумма чисел в любой строке были бы простыми числами?
(О.Подлипский)
266. Клетки квадрата 9×9 окрашены в красный и синий цвета. Докажите, что найдется или клетка, у которой ровно два красных соседа по углу,
или клетка, у которой ровно два синих соседа по углу (или и то, и другое).
(Ю.Лифшиц)
267. Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положитьпо одной монете в какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого впервые водной из коробок окажется 21 монета.
Кто выигрывает при правильной игре?
(И.Рубанов)
268. Дан треугольник ABC с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники ABC
1
,
BCA
1
, CAB
1
. Докажите, что треугольник не может бытьпра- вильным.
(Ю.Лифшиц)
269. Написанное на доске четырехзначное число можно заменитьна другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр неравна либо, вычтя из соседних двух цифр по единице,
если ни одна из них неравна. Можно лис помощью таких операций из числа 1234 получитьчисло 2002?
(Н.Агаханов)
270. Каждую сторону выпуклого четырехугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся 8 точек — внешние концы построенных отрезков — различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырехугольник — квадрат.
(Н.Агаханов)
271. По шоссе мимо наблюдателя проехали


Москвич

,


Запорожец

и двигавшаяся им навстречу


Нива

. Известно, что когда с наблюдателем поравнялся


Москвич

, то он был равноудален от


Запорожца

и

УЧЕБНЫЙ ГОД, 9
КЛАСС
39


Нивы

, а когда с наблюдателем поравнялась


Нива

, то она была равноудалена от


Москвича

и


Запорожца

. Докажите, что


Запорожец

в момент проезда мимо наблюдателя был равноудален от


Нивы

и


Москвича

. (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудаленные машины находилисьпо разные стороны от наблюдателя.)
(С.Токарев)
272. Среди 18 деталей, выставленных вряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 га все остальные — по 100 г. Двумя взвешиваниями навесах со стрелкой определите все граммовые детали.
(С.Токарев)
9 класс. См. задачу 266.
274. Приведенный квадратный трехчлен с целыми коэффициентами в трех последовательных целых точках принимает простые значения. Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще водной целой точке.
(Н.Агаханов)
275. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) точка O центр описанной окружности. Точка M лежит на отрезке BO, точка симметрична M относительно середины AB. Точка K — точка пересечения и AB. Точка L на стороне BC такова, что ∠CLO = Докажите, что точки O, K, B, L лежат на одной окружности.
(С.Злобин)
276. На плоскости расположено прямоугольников со сторонами,
параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с n прямоугольниками. Доказать, что найдется прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.
(В.Дольников)
277. Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, . . . , 60 в таком порядке,
чтобы сумма любых двух чисел, между которыми находится одно число,
делиласьна 2, сумма любых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, . . . , сумма любых двух чисел, между которыми находятся шестьчисел, делиласьна 7?
(И.Рубанов)
278. Пусть A

— точка на одной из сторон трапеции ABCD такая, что прямая делит площадьтрапеции пополам. Точки B

, C

, определяются аналогично. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырехугольников и симметричны относительно середины средней линии трапеции ABCD.
(Л.Емельянов)