Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы
 Скачать 3 Mb.
|
|
343. Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка M, а внутри треугольника точка N таким образом, что ∠MNA + ∠MCB = = ∠MND + ∠MBC = 180 ◦ . Докажите, что прямые MN и AB парал- лельны. (С.Берлов) УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. Мишень бегущий кабан находится водном из n окошек, расположенных вряд. Окошки закрыты занавесками так, что для стрелками- шеньвсе время остается невидимой. Чтобы поразитьмишень, достаточно выстрелитьв окошко, в котором она в момент выстрела находится. Если мишеньнаходится не в самом правом окошке, то сразу после выстрела она перемещается на одно окошко вправо из самого правого окошками- шеньникуда не перемещается. Какое наименьшее число выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка поразить мишень? (С.Токарев) 10 класс. Сумма положительных чисел a, b, c равна π/2. Докажите, что cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c (В.Сендеров) 346. См. задачу 338. 347. См. задачу 340. 348. На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n + 1) 2 (В.Дольников) 349. Уравнение+ a 1 x n−1 + a 2 x n−2 + . . . + a n−1 x + a n = с целыми ненулевыми коэффициентами a 1 , a 2 , . . . , имеет n различных целых корней. Докажите, что если любые два корня взаимно просты, то и числа и взаимно просты. (Н.Агаханов) 350. Набор пятизначных чисел {N 1 , . . . , N k } таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы водном разряде хотя бы с одним их чисел N 1 , . . . , N k . Найдите наименьшее возможное значение k. (С.Токарев) 351. Окружности и пересекаются в точках A и B. В точке A к ω 1 и проведены соответственно касательные и l 2 . Точки ивы- браны соответственно на окружностях итак, что угловые меры дуги равны (величина дуги окружности считается почасовой стрелке. Касательная в точке к окружности пересекает в точке Аналогично, касательная в точке к окружности пересекает в точке M 2 . Докажите, что середины отрезков находятся на одной прямой, независящей от положения точек T 1 , T 2 (Л.Емельянов) 352. Даны натуральные числа p < k < n. На бесконечной клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в любом прямоугольнике + 1) × n (n клеток по горизонтали, k + 1 — по вертикали) отмечено ровно p клеток. Докажите, что существует прямоугольник k × (n + 1) (n + 1 клетка по горизонтали, k — по вертикали, в котором отмечено не менее p + 1 клетки. (С.Берлов) ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ класс. В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное, для которого можно выбрать k различных слов, в записи которых используется ровно k различных букв. (С.Волчёнков) 354. Три окружности ω 1 , ω 2 , радиуса r проходят через точку S и касаются внутренним образом окружности ω радиуса R (R > r) в точках T 1 , T 2 , соответственно. Докажите, что прямая проходит через вторую (отличную от S) точку пересечения окружностей и ω 2 (Т.Емельянова) 355. Пустьмногочлен P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + имеет хотя бы один действительный корень и a 0 = 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P (x), можно полу- читьиз него число так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень. (Д.Храмцов) 356. В некотором государстве было 2004 города, соединенных дорогами так, что из любого города можно было добраться до любого другого. Известно, что при запрещенном проезде по любой из дорог, по-прежнему из любого города можно было добраться до любого другого. Министр транспорта и министр внутренних дел по очереди вводят на дорогах, пока есть возможность, одностороннее движение (на одной дороге заход, причем министр, после хода которого из какого-либо города стало невозможно добраться до какого-либо другого, немедленно уходит в отставку. Первым ходит министр транспорта. Может ли кто-либо из министров добиться отставки другого независимо от его игры? (А.Пастор) 357. См. задачу 341. 358. Расстоянием между числами и назовем максимальное i, для которого a i = b i . Все пятизначные числа выписаны друг за другом в некотором порядке. Какова при этом минимально возможная сумма расстояний между соседними числами? (Р.Карасёв) 359. При каких натуральных n для любых чисел α, β, γ, являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство sin nα + sin nβ + sin nγ < 0? (В.Сендеров) 360. Дана треугольная пирамида ABCD. Сфера S 1 , проходящая через точки A, B, C, пересекает ребра AD, BD, CD в точках K, L, M соответственно сфера S 2 , проходящая через точки A, B, D, пересекает ребра, BC, DC в точках P , Q, M соответственно. Оказалось, что KL P Докажите, что биссектрисы плоских углов KMQ и LMP совпадают. (С.Берлов) УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС г класс. В 12 часов дня Запорожец и Москвич находилисьна расстоянии км и начали двигаться навстречу друг другу с постоянной скоростью. Через два часа они снова оказались на расстоянии 90 км. Незнайка утверждает, что Запорожец до встречи с Москвичом и Москвич после встречи с Запорожцем проехали в сумме 60 км. Докажите, что он не прав. (Е.Куликов) 362. В средней клетке полоски 1 × 2005 стоит фишка. Два игрока по очереди сдвигают ее сначала первый игрок передвигает фишку на одну клетку в любую сторону, затем второй передвигает ее на 2 клетки, й на 4 клетки, й — на 8 и т. д. (й сдвиг происходит на клеток. Тот, кто не может сделатьочередной ход, проигрывает. Кто может выиграть независимо от игры соперника? (О.Подлипский) 363. Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложитьровно однозначное число, делящееся на 11? (Р.Женодаров, И.Богданов) 364. Дан остроугольный треугольник ABC. Точки и симметричны соответственно вершинами относительно прямых AC и AB. Пусть точка пересечения описанных окружностей треугольников и, отличная от A. Докажите, что центр описанной окружности треугольника лежит на прямой P A. (В.Филимонов) 365. Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50. Докажите, что N четно. (И.Богданов) 366. В четырехугольнике ABCD углы A и C равны. Биссектриса угла B пересекает прямую AD в точке P . Перпендикуляр к BP , проходящий через точку A пересекает прямую BC в точке Q. Докажите, что прямые и CD параллельны. (А.Акопян) 367. Найдите все такие пары (x, y) натуральных чисел, что x + y = a n , x 2 + y 2 = для некоторых натуральных a, n, m. (В.Сендеров) 368. В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины. Докажите, что можно так выбрать ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблоки не менее половины всех апельсинов. (И.Богданов, Г.Челноков) 9 класс. В коммерческом турнире по футболу участвовало пятькоманд. Каждая должна была сыгратьс каждой ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни однако ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ манда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло бытьсыграно в турнире, если за победу начислялосьтри очка, за ничью — одно, за поражение — ноль? (Р.Женодаров, А.Храбров) 370. См. задачу 363. 371. Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2 × 2 × 2 числа 1, 2, 3, . . . , 24 (каждое число можно ста- витьодин раз. Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток, опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему помешать? (Л.Емельянов) 372. В треугольнике ABC (AB < BC) точка I — центр вписанной окружности середина стороны AC, N — середина дуги ABC описанной окружности. Докажите, что ∠IMA = ∠INB. (А.Бадзян) 373. См. задачу 365. 374. Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Докажите, что если получившиеся точки образуют четырехугольник, то он также является трапецией. (Л.Емельянов) 375. Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия из натуральных чисел, что произведение a n ·. . . делится на сумму a n + . . . + при любом натуральном n? (В.Сендеров) 376. В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины. Докажите, что можно так выбрать ящика, что в них окажется не менее трети всех яблоки не менее трети всех апельсинов. (И.Богданов, Г.Челноков) 10 класс. Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника. Найдите наибольший из шести углов этих треугольников. (Н.Агаханов) 378. Докажите, что для любого x > 0 и натурального n выполнено неравенство+ x) n−1 . (А.Храбров) 379. См. задачу 372. 380. Даны N 3 точек, занумерованных числами 1, 2, . . . , N. Каждые две точки соединены стрелкой от меньшего к большему. Раскраску всех стрелок в красный и синий цвета назовем однотонной, если нет двух таких точек A и B, что от A до B можно добраться и только по красным стрелками только по синим. Найдите количество однотонных раскра- сок. (И.Богданов, Г.Челноков) 381. Арифметическая прогрессия a 1 , a 2 , . . . , состоящая из натуральных чисел, такова, что при любом n произведение a n · делится на 2005. УЧЕБНЫЙ ГОД, 11 КЛАСС 51 Можно ли утверждать, что все члены прогрессии делятся на 2005? (В.Сендеров) 382. См. задачу 374. 383. Найдите все пары (a, b) натуральных чисел такие, что при любом натуральном n число a n + является точной (n + й степенью. (В.Сендеров) 384. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, стороны которого образуют углы в с линиями сетки, а вершины не лежат на линиях сетки. Может ли каждую сторону прямоугольника пересекать нечетное число линий сетки? (С.Волчёнков) 11 класс. Найдите все пары чисел x, y ∈ 0; π 2 , удовлетворяющие равенству sin x + sin y = sin(xy) (И.Богданов) 386. Известно, что существует число S, такое, что если a + b + c + d = и S (a, b, c, d отличны от нуля и единицы, то − 1 + + 1 b − 1 + 1 c − 1 + 1 d − 1 = S . Найти S. (Р.Женодаров) 387. См. задачу 380. 388. Пусть и BB 1 — высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C . Докажите, что отрезок перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC. (Л.Емельянов) 389. Докажите, что для любого многочлена P с целыми коэффициентами и любого натурального существует такое натуральное n, что P (1) + + P (2) + . . . + P делится на k. (А.Голованов) 390. Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади S отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадьполучившегося четырехугольника через S . Докажите, что 3 (Л.Емельянов) 391. Каких точных квадратов, не превосходящих 10 20 , больше тех, у которых семнадцатая с конца цифра — 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра — 8? (А.Голованов) 392. В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех ба- нанов. (И.Богданов, Г.Челноков, Е.Куликов) ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ г класс. Найдите какое-нибудьдевятизначное число N, состоящее из различных цифр, такое, что среди всех чисел, получающихся из N вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого. Докажите, что найденное число подходит. (Если полученное вычеркиванием цифр число начинается на ноль, то нольтоже вычеркивается.) (О.Подлипский) 394. Двое играют в такую игру. Вначале по кругу стоят числа 1, 2, 3, Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать? (П.Мартынов) 395. В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигалисьс постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для любых трех машин нашелся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдется момент, когда встретятся все 4 машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.) (И.Богданов, П.Кожевников, О.Подлипский, Г.Челноков) 396. Каждая детальконструктора Юный паяльщик это скобка в виде буквы П , состоящая из трех единичных отрезков. Можно ли из деталей этого конструктора спаятьполный проволочный каркас куба 2 × × 2 × 2, разбитого на кубики 1 × 1 × 1? (Каркас состоит из 27 точек, соединенных единичными отрезками любые две соседние точки должны бытьсоединены ровно одним проволочным отрезком.) (Л.Емельянов) 397. На доске записано произведение a 1 ·a 2 ·. . .·a 100 , где a 1 , . . . , натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений четные. Какое наибольшее количество четных чисел среди a 1 , a 2 , . . . , могло быть? (Р.Женодаров) 398. В клетчатом квадрате 101 × 101 каждая клетка внутреннего квадрата покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе квадрата, не покрашены. Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка. Медиану треугольника ABC отложили от точки перпендикулярно стороне BC во внешнюю сторону треугольника. Обозначим второй конец построенного отрезка через A 1 . Аналогично строятся точ- УЧЕБНЫЙ ГОД, 9 КЛАСС 53 ки и C 1 . Найдите углы треугольника A 1 B 1 C 1 , если углы треугольника ABC равны 30 ◦ , и 120 ◦ (Л.Емельянов) 400. При изготовлении партии из N 5 монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково. Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются повесу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, ив том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать? (К.Кноп, Л.Емельянов) 9 класс. См. задачу 393. 402. В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовем клетку правильной, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными? (Н.Агаханов) 403. Известно, что x 2 1 + x 2 2 + . . . + x 2 6 = и x 1 + x 2 + . . . + x 6 = Докажите, что x 1 x 2 . . . x 6 1 2 (А.Храбров) 404. Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную окружностьэтого треугольника в точках и C 0 соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне AC, пересекается с прямой в точке P Докажите, что прямая P B касается описанной окружности треугольника ABC (Л.Емельянов) 405. См. задачу 397. 406. В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса AD и высота BE. Докажите, что угол CED больше 45 ◦ (М.Мурашкин) 407. См. задачу 400. |