Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы

• Название: Окружной и финальный этапы
• Дата: 31.01.2023
• Размер: 3 Mb.
• Имя файла: Агаханов Х.В.pdf
• Тип: Книга; #913918
• страница: 3 из 64

95. См. задачу 88.
96. На прямой через равные промежутки отмечены 1996 точек. Петя раскрашивает половину из них в красный цвета остальные — в синий.
Затем Вася разбивает их на пары


красная

–


синяя

так, чтобы сумма расстояний между точками в парах была максимальной. Докажите, что этот максимум не зависит оттого, какую раскраску сделал Петя.
(И.Изместьев)
11 класс. См. задачу 81.
98. Назовем медианой системы 2n точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?
(А.Шаповалов)
99. Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса
1
√
3
с центрами в вершинах покрывают весьтреуголь- ник.
(В.Дольников)

УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. Многочлен P (x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
(И.Рубанов)
101. Дана функция f(x) =

4
− 4|x|
 −
2
. Сколько решений имеет уравнение x?
(Н.Нецветаев)
102. Найдите все такие натуральные n, что при некоторых различных натуральных a, b, c и d среди чисел c)(b − d)
(b
− c)(a − d)
,
(b
− c)(a − d)
(a
− c)(b − d)
,
(a
− b)(d − c)
(a
− d)(b − c)
,
(a
− c)(b − d)
(a
− b)(c − d)
,
естьпо крайней мере два числа, равных n.
(С.Дужин)
103. В треугольнике ABC взята точка O такая, что = ∠B + 60
◦
,
∠COB = ∠A + 60
◦
,
∠AOB = ∠C + Докажите, что если из отрезков AO, BO, CO можно составитьтре- угольник, то из высот треугольника ABC тоже можно составитьтреуголь- ник и эти треугольники подобны.
(К.Кноп)
104. Существует ли бесконечная периодическая последовательность,
состоящая из букв a и b, такая, что при одновременной замене всех букв
a
на aba и букв b на bba она переходит в себя (возможно, со сдвигом)?
(Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное n, что для всякого i = 1, 2, . . . й член этой последовательности равен (i + n)-му.)
(А.Белов)
1996–1997 г класс. Докажите, что числа от 1 до 16 можно записатьв строку, но нельзя записатьпо кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.
(Н.Агаханов)
106. Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются повесу не более, чем в два раза. Докажите, что их можно разложитьв пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различалисьпо весу не более, чем в полтора раза.
(А.Шаповалов)
107. На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC взяты точки D и K, а на стороне AC — точки E итак, что DA + AE = KC +
+ CM = AB
. Докажите, что угол между прямыми DM и KE равен 60
◦
(В.Произволов)
108. На предприятии трудятся 50 000 человек. Для каждого из них сумма количества его непосредственных начальников и его непосредственных подчиненных равна 7. В понедельник каждый работник предприятия

ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
издает приказ и выдает копию этого приказа каждому своему непосредственному подчиненному (если такие есть. Далее, каждый день работник берет все полученные им в предыдущие деньприказы и либо раздает их копии всем своим непосредственным подчиненным, либо, если таковых у него нет, выполняет приказы сам. Оказалось, что в пятницу никакие бумаги по учреждению не передаются. Докажите, что на предприятии не менее начальников, над которыми нет начальников.
(Е.Малинникова)
109. Отрезки AB, BC и CA — соответственно диагонали квадратов K
1
,
K
2
, K
3
. Докажите, что если треугольник ABC — остроугольный, то он полностью покрывается квадратами K
1
, и K
3
(Н.Агаханов)
110. Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится наследующее за ними число. Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором —
1?
(А.Шаповалов)
111. Найдите все такие пары простых чисел p и q, что p
3
− q
5
= (p + q)
2
(С.Токарев)
112. В Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжатьна улицы города. Семье требуется каждый деньиметьв распоряжении не менее 10 машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтисьсемья, если ее члены могут сами выбиратьзапрещенные дни для своих автомобилей?
(И.Ященко)
9 класс. Правильный угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один — остро- угольный.
(А.Шаповалов)
114. На доске записаны числа 1, 2, 3, . . . , 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа.
Если их сумма делится натри, то побеждает тот, кто делал первый ход,
если нетто его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?
(А.Шаповалов)
115. Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются повесу не более, чем в три раза. Докажите, что их можно разложитьв пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различалисьпо весу не более,
чем в полтора раза.
(А.Шаповалов)
116. Назовем


сочетанием цифр

несколько цифр, записанных подряд.
В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещенными. Известно, что запрещенных сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещенных сочета-

УЧЕБНЫЙ ГОД, 10
КЛАСС
21
ний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещенных сочетаний.
(А.Белов)
117. Дан набор, состоящий из 1997 чисел таких, что если каждое число в наборе заменитьна сумму остальных, то получится тот же набор. Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.
(А.Фомин)
118. См. задачу 110.
119. Дан треугольник ABC. Точка делит пополам длину ломаной
ABC
(составленной из отрезков AB и BC), точка делит пополам длину ломаной ACB, точка делит пополам длину ломаной CAB. Через точки, и проводятся прямые l
A
, l
B
, l
C
, параллельные биссектрисам углов BAC, ABC и ACB соответственно. Докажите, что прямые l
A
, l
B
и
l
C
пересекаются водной точке.
(М.Сонкин)
120. См. задачу 112.
10 класс. Микрокалькулятор


МК-97

умеет над числами, занесенными в память, производить только три операции:
а) проверять, равны ли выбранные два числа;
б) складыватьвыбранные числа;
в) по выбранным числами находитькорни уравнения x
2
+ ax + b =
= 0
, а если корней нет, выдаватьсообщение об этом.
Результаты всех действий заносятся в память. Первоначально в памяти записано одно число x. Как с помощью


МК-97

узнать, равно ли это число единице?
(И.Рубанов)
122. Окружности и пересекаются в точках M и N. Докажите, что если вершины A и C некоторого прямоугольника ABCD лежат на окружности, а вершины B и D — на окружности S
2
, то точка пересечения его диагоналей лежит на прямой MN.
(Л.Смирнова)
123. Даны натуральные числа m и n. Докажите, что число 2
n
−1 делится на число (2
m
− тогда и только тогда, когда число n делится на число 1).
(О.Тен)
124. Дан куб со стороной 4. Можно ли целиком оклеить его грани,
имеющие общую вершину, шестнадцатью бумажными прямоугольными полосками размером 1 × 3?
(Л.Емельянов)
125. Дан набор, состоящий из 100 различных чисел таких, что если каждое число в наборе заменитьна сумму остальных, то получится тот жена- бор. Докажите, что произведение чисел в наборе положительно.
(А.Фомин)
126. В городе Мехико в целях ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются один деньв неделю, в который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из

ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ человек подкупила полицию, и для каждой машины они называют дня, один из которых полиция выбирает в качестве


невыездного

дня.
Какое наименьшее количество машин нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно ездить, если утверждение для автомобилей идет последовательно?
(И.Ященко)
127. Точки и O
2
— центры соответственно описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). Окружности, описанные около треугольников ABC и O
1
O
2
A
, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается окружности, описанной около треугольника O
1
O
2
A
(М.Сонкин)
128. Докажите, что если + a +

y + b +
√
z + c =
√
y + a +
√
z + b +
√
x + c =
=
√
z + a +
√
x + b +
√
y + для некоторых a, b, c, x, y, z, то x = y = z или a = b = c.
(М.Сонкин)
11 класс. См. задачу 121.
130. Все вершины треугольника ABC лежат внутри квадрата K. Докажите, что если все их отразитьсимметрично относительно точки пересечения медиан треугольника ABC, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри K.
(А.Белов)
131. Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n таких, что S(3
n+1
).
(В.Дольников)
132. См. задачу 124.
133. Члены Государственной Думы образовали фракции так, что для любых двух фракций A и B необязательно различных) A ∪ B — тоже фракция (через C обозначается множество всех членов Думы, не входящих в C). Докажите, что для любых двух фракций A и B A ∪ B — также фракция.
(А.Скопенков)
134. Докажите, что если 1 < a < b < c, то log
a
(log
a
b) + log
b
(log
b
c) + log
c
(log
c
a) > 0.
(С.Токарев)
135. Существуют ли выпуклая угольная (n  4) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?
(Н.Агаханов, Р.Карасёв)
136. Для каких α существует функция f: R → R, отличная от константы, такая, что (α(x + y)) = f (x) + f (y) ?
(Л.Емельянов)

УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС г класс. Существуют ли n-значные числа M и N такие, что все цифры M четные, все цифры N — нечетные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи M или N хотя бы один рази делится на N?
(Н.Агаханов)
138. В параллелограмме ABCD точки M и N — середины сторон и CD соответственно. Могут ли лучи AM и AN делитьугол BAD натри равные части?
(Д.Кузнецов)
139. В колоде 52 карты, по 13 каждой масти. Ваня вынимает из колоды по одной карте. Вынутые карты в колоду не возвращаются. Каждый раз перед тем, как вынутькарту, Ваня загадывает какую-нибудьмасть. Докажите, что если Ваня каждый раз будет загадыватьмасть, карт которой в колоде осталосьне меньше, чем карт любой другой мастито загаданная мастьсовпадет с мастью вынутой карты не менее 13 раз.
(И.Изместьев)
140. На плоскости дано множество из n  9 точек. Для любых 9 его точек можно выбратьдве окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окруж- ностях.
(В.Дольников)
Рис. 8
141. Числа от 1 до 9 разместите в кружках фигуры
(см. рис. 8) так, чтобы сумма четырех чисел, находящихся в кружках-вершинах всех квадратов (их шесть),
была постоянной.
(Н.Авилов)
142. У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его:
каждый берет себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них.
Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что все овцы собралисьу одного крестьянина.
(А.Шаповалов)
143. Пусть O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, S
A
, S
B
, S
C
— окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что сумма трех углов:
между касательными к S
A
, проведенными из точки A, к S
B
— из точки и к S
C
— из точки C, равна 180
◦
(М.Сонкин)
144. На выборах в городскую Думу каждый избиратель, если он приходит на выборы, отдает голос за себя (если он является кандидатом) и за тех кандидатов, которые являются его друзьями. Прогноз социологической службы мэрии считается хорошим, если в нем правильно пред

ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
сказано количество голосов, поданных хотя бы за одного из кандидатов, и
нехорошим в противном случае. Докажите, что при любом прогнозе избиратели могут так явиться на выборы, что этот прогноз окажется нехо-
рошим.
(А.Разборов)
9 класс. Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите все такие треугольники.
(Я.Губин)
A
B
C
D
P
Q
Рис. 9
146. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности в точках A, B, C, D, как показано на рис. 9. Докажите, что ∠AP B =
=
∠CQD.
(П.Кожевников)
147. Назовем десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?
(И.Рубанов, А.Воронецкий)
148. Имеется квадрат клетчатой бумаги размером 102 × 102 клеток и связная фигура неизвестной формы, состоящая из 101 клетки. Какое наибольшее число таких фигур можно с гарантией вырезать из этого квадрата Фигура, составленная из клеток, называется связной, если любые две ее клетки можно соединитьцепочкой ее клеток, в которой любые две соседние клетки имеют общую сторону.
(И.Рубанов)
149. Корни двух приведенных квадратных трехчленов — отрицательные целые числа, причем один из этих корней — общий. Могут ли значения этих трехчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и
98?
(И.Рубанов)
150. На концах клетчатой полоски размером 1 × 101 клеток стоят две фишки слева — фишка первого игрока, справа — второго. Заход разрешается сдвинутьсвою фишку в направлении противоположного края полоски на 1, 2, 3 или 4 клетки. При этом разрешается перепрыгиватьчерез фишку соперника, но запрещается ставитьсвою фишку на одну клетку с ней. Выигрывает тот, кто первым достигнет противоположного края полоски. Кто выиграет при правильной игре тот, кто ходит первым, или его соперник?
(О.Подлипский)
151. Дан биллиард в форме правильного угольника Из середины стороны выпустили шар, который, отразившисьпо- следовательно от сторон A
2
A
3
, A
3
A
4
, . . . , по закону


угол па

УЧЕБНЫЙ ГОД, 10
КЛАСС
25
дения равен углу отражения, вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара — правильный 1998-угольник.
(П.Кожевников)
152. Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого — квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменятьножки циркуля местами?
(Д.Храмцов)
10 класс. Пусть f(x) = x
2
+ ax + b cos x
. Найдите все значения параметров
a
и b, при которых уравнения f(x) = 0 и f(f(x)) = 0 имеют совпадающие непустые множества действительных корней.
(Н.Агаханов)
154. В остроугольном треугольнике ABC через центр O описанной окружности и вершины B и C проведена окружность S. Пусть OK — диаметр окружности S, D и E — соответственно точки ее пересечения с прямыми и AC. Докажите, что ADKE — параллелограмм.
(М.Сонкин)
155. Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалитьодну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр — это максимальное расстояние между точками множества.)
(В.Дольников)
156. Впервые ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа 1, 2, 4, . . . , 2 1998
. Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если водной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечьсебя от финансовых потерьнезависимо отходов партнера, и как он должен для этого действовать?
(Р.Женодаров)