Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы

• Название: Окружной и финальный этапы
• Дата: 31.01.2023
• Размер: 3 Mb.
• Имя файла: Агаханов Х.В.pdf
• Тип: Книга; #913918
• страница: 2 из 64

10 класс. Имеется семьстаканов с водой первый стакан заполнен водой наполовину, второй — на треть, третий — на четверть, четвертый — на одну пятую, пятый — на одну восьмую, шестой — на одну девятую, и седьмой на одну десятую. Разрешается переливатьвсю воду из одного стакана в другой или переливатьводу из одного стакана в другой до тех пор,
пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудьстакан оказаться заполненным а) на одну двенадцатую б) на одну шестую?
(Н.Агаханов)
34. Уравнение x
2
+ ax + b = имеет два различных действительных корня. Докажите, что уравнение x
4
+ ax
3
+ (b
− 2)x
2
− ax + 1 = 0 имеет четыре различных действительных корня.
(С.Берлов)
35. Окружностьс центром O вписана в четырехугольники касается его непараллельных сторон BC ив точках E и F соответственно.
Пустьпрямая AO и отрезок EF пересекаются в точке K, прямая DO и отрезок EF — в точке N, а прямые BK ив точке M. Докажите,
что точки O, K, M и N лежат на одной окружности.
(М.Сонкин)
36. Прямоугольник m × n разрезан на уголки:
a
b
c
d
Рис. Докажите, что разностьмежду количеством уголков вида a и количеством уголков вида b делится на 3.
(Л.Емельянов)
37. Найдите все простые числа, которые являются одновременно суммой двух простых чисел и разностью двух простых чисел.
(С.Кожухов)
38. Найдите свободный член многочлена P (x) с целыми коэффициентами, если известно, что он по модулю меньше тысячи, и P (19) = P (94) =
= 1994
(Н.Агаханов)

ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC — стороне DE. Докажите, что если AB =
= AE = ED = 1
, то BC + CD < 1.
(С.Берлов)
40. В городе Цветочном n площадей и m улиц (m  n + 1). Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо синей, либо красной. Ежегодно в городе происходит переименование выбирается площадьи переименовываются все выходящие из нее улицы. Докажите,
что вначале можно назватьулицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.
(С.Берлов, С.Рукшин)
11 класс. Докажите, что при всех x, 0 < x < π/3, справедливо неравенство sin 2x + cos x > 1.
(Н.Агаханов)
42. В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбитьне более, чем натри группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот деньмежду собой по телефону.
(С.Гулько)
43. Окружностьс центром O вписана в треугольники касается его сторон AB, BC ив точках E, F и D соответственно. Прямые AO и
CO
пересекают прямую EF в точках N и M. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.
(М.Сонкин)
44. В вершинах выпуклого угольника расставлены m фишек (m > За один ход разрешается передвинутьдве фишки, стоящие водной вершине, в соседние вершины одну — вправо, вторую — влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно n.
(И.Рубанов)
45. См. задачу 37.
46. Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению 1)f
x + 1
x
− 1

− f(x) = при всех x = 1. Найдите все такие функции.
(А.Калинин)
47. На боковых ребрах SA, SB и SC правильной треугольной пирамиды взяты соответственно точки A
1
, итак, что плоскости
A
1
B
1
C
1
и ABC параллельны. Пусть O — центр сферы, проходящей через точки S, A, B и C
1
. Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A
1
B
1
C
(Д.Терёшин)

УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. Внутри круга расположены точки A
1
, A
2
, . . . , A
n
, а на его границе точки B
1
, B
2
, . . . , так, что отрезки A
1
B
1
, A
2
B
2
, . . . , не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнутьиз точки в точку A
j
, если отрезок
A
i
A
j
не пересекается ни с одним из отрезков A
k
B
k
, k = i, j. Докажите,
что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из любой точки в любую точку A
q
(С.Мисник, Д.Фон-дер-Флаас)
1994–1995 г класс. Докажите, что для любых положительных чисел x и y справедливо неравенство+ y
2
+
y
y
4
+ x
2


1
xy
.
(С.Дворянинов)
50. Можно ли расставитьпо кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для любых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?
(А.Шаповалов)
A
B
l
C
Рис. 3
51. Две окружности радиусом R и r касаются прямой l в точках A и B и пересекаются в точках C и D см. рис. 3). Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC не зависит от длины отрезка AB.
(М.Сонкин)
52. Все стороны и диагонали правильного угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок — одним цветом. Существует ли такая раскраска, что для любых трех цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?
(С.Токарев)
53. Найдите все простые p такие, что число p
2
+ имеет ровно 6 различных делителей (включая единицу и само число).
(Р.Женодаров)
54. Окружности и с центрами и пересекаются в точках и B см. рис. 4). Окружность, проходящая через точки O
1
, и A, вторично пересекает окружность в точке D, окружность S
2
— в точке E и прямую AB — в точке C. Докажите, что CD = CB = CE.
(М.Сонкин)
55. Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (см.
рис. 5). Назовем узлами вершины всех таких треугольников. Известно,
что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пятьотме- ченных узлов, лежащих на одной окружности.
(Д.Кузнецов)

ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
A
B
C
D
E
O
1
O
2
S
1
S
2
Рис. Рис. 5
56. Можно ли в таблице 11 × 11 расставитьнатуральные числа от 1 до так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, распола- галисьв клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?
(А.Шаповалов)
10 класс. Дана функция f(x) =
1 3
√
1 − x
3
. Найдите f(. . . f(f(19)) . . .)



95 раз
(А.Белов)
58. Натуральные числа m и n таковы, что
НОК(m, n) + НОД(m, n) = m + Докажите, что одно из чисел m или n делится на другое.
(С.Токарев)
59. В остроугольном треугольнике ABC на высоте BK как на диаметре построена окружность S, пересекающая стороны AB ив точках E и
F
соответственно. К окружности S в точках E и F проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на медиане треугольника,
проведенной из вершины B.
(А.Скопенков)
60. На прямоугольном столе разложено несколько одинаковых квадратных листов бумаги так, что их стороны параллельны краям стола (листы могут перекрываться. Докажите, что можно воткнуть несколько булавок таким образом, что каждый лист будет прикреплен к столу ровно одной булавкой.
(А.Берзиньш, И.Изместьев)
61. Рассматриваются всевозможные квадратичные функции f(x) =
= ax
2
+ bx + c
, такие, что a < b и f(x)  0 для всех x. Какое наименьшее значение может приниматьвыражение
a + b + c
b − a
?
(Р.Женодаров)
62. Дан четырехугольник ABCD, в котором AB = AD и ∠ABC =
=
∠ADC = 90
◦
. На сторонах BC и CD выбраны соответственно точки
F
и E так, что DF ⊥ AE. Докажите, что AF ⊥ BE.
(М.Сонкин)
63. единичных кубиков просверлены по диагонали и плотно нанизаны на нить, после чего нить связана в кольцо (те. вершина первого кубика соединена с вершиной последнего. При каких N такое


ожерелье

из ку

УЧЕБНЫЙ ГОД, 11
КЛАСС
15
биков можно упаковатьв кубическую коробку с ребром длины N?
(Н.Авилов)
64. Улицы города Дужинска — простые ломаные, не пересекающиеся между собой во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрестка и покрашена в один из трех цветов белый, красный или синий. На каждом перекрестке сходятся ровно три улицы, по одной каждого цвета.
Перекресток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем порядке белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрестков кратна че- тырем.
(С.Дужин)
11 класс. См. задачу 57.
66. В прямоугольном параллелепипеде одно из сечений является правильным шестиугольником. Докажите, что этот параллелепипед — куб.
(Д.Терёшин, Р.Карасёв)
67. См. задачу 52.
68. На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых k + 1 квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно раз- битьне более чем на 2k − 1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметьобщую точку.
(В.Дольников)
69. Для углов α, β, γ справедливо равенство sin α + sin β + sin γ  Докажите, что cos α + cos β + cos γ

√
5
(А.Галочкин)
70. Числовая последовательность a
0
, a
1
, a
2
, . . . такова, что при всех неотрицательных m и n (m  n) выполняется соотношение+ a
m−n
=
1 2
(a
2m
+ Найдите a
1995
, если a
1
= 1
(О.Мусин)
O
1
O
2
A
B
E
F
M
N
Рис. 6
71. Окружности и с центрами и пересекаются в точках A и B (см.
рис. 6). Луч пересекает в точке, а луч пересекает в точке. Прямая, проходящая через точку параллельно прямой EF , вторично пересекает окружности ив точках M и
N
соответственно. Докажите, что MN =
= AE + AF
(М.Сонкин)
72. См. задачу 64.

ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ г класс. Мороженое стоит 2000 рублей. У Пети имеется 5
− 399 2
· (400 3
+ 2
· 400 2
+ 3
· 400 + рублей. Достаточно ли у Пети денег на мороженое?
1
(К.Кноп)
74. Назовем билет с номером от 000000 до 999999 отличным, если раз- ностьнекоторых двух соседних цифр его номера равна 5. Найдите число
отличных билетов.
(А.Шаповалов)
75. Существует ли такой выпуклый (все углы меньше пятиугольник, что все углы ABD, BCE, CDA, DEB и EAC — тупые?
(К.Кноп)
76. На столе лежат n спичек (n > 1). Двое игроков по очереди снимают их со стола. Первым ходом игрок снимает со стола любое число спичек от до n − 1, а дальше каждый раз можно брать со стола не больше спичек,
чем взял предыдущим ходом партнер. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Найдите все n, при которых первый игрок может обеспечить себе выигрыш.
(И.Рубанов)
77. Можно ли так расставитьфишки в клетках доски 8 × 8, чтобы в любых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в любых двух строках — различным?
(А.Шаповалов)
78. Точечный прожектор, находящийся в вершине B равностороннего треугольника ABC, освещает угол α. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60
◦
, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла ABC, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны AC можно составитьтреугольник.
(С.Дворянинов)
79. Незнайка написал на доске несколько различных натуральных чисел и поделил (в уме) сумму этих чисел на их произведение. После этого Незнайка стер самое маленькое число и поделил (опять в уме) сумму оставшихся чисел на их произведение. Второй результат оказался в 3 раза больше первого. Какое число Незнайка стер?
(К.Кохась)
80. Имеется 4 монеты, из которых 3 — настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся повесу от остальных. Чашечные весы без гирьтаковы, что если положитьна их чашки равные грузы,
то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе,
то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как затри Напомним, что олимпиада происходила до деноминации

УЧЕБНЫЙ ГОД, 9
КЛАСС
17
взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?
(С.Токарев)
9 класс. Найдите все пары квадратных трехчленов x
2
+ ax + b
, x
2
+ cx + такие, что a и b — корни второго трехчлена, c и d — корни первого.
(И.Изместьев)
82. В треугольнике ABC, в котором AB = BC, на стороне AB выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S
1
и
S
2
соответственно. Касательная, проведенная кв точке D, пересекает второй разв точке M. Докажите, что BM AC.
(М.Сонкин)
83. Пусть a, b и c — попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите всевозможные значения + b)(b + c)(c + a)
abc
, если известно, что это число целое.
(Д.Храмцов)



n
Рис. 7
84. Водном из узлов шестиугольника со стороной, разбитого на правильные треугольники (см. рис. 7), стоит фишка. Двое играющих по очереди передвигают ее в один из соседних узлов, причем запрещается ходитьв узел, в котором фишка уже побывала. Проигрывает тот,
кто не может сделатьхода. Кто выигрывает при правильной игре?
(Ф.Дужин)
85. Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шестьделителей, сумма которых равна 3500.
(Р.Женодаров)
86. См. задачу 78.
87. Докажите, что если 0 < a, b < 1, то − a)(1 − b)
(1 − ab)
2
<
1 4
(Л.Медников, М.Сонкин)
88. Имеется 8 монет, 7 из которых — настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся повесу от остальных. Чашечные весы без гирьтаковы, что если положитьна их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как зачеты- ре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить,
легче она или тяжелее остальных?
(С.Токарев)
10 класс. Докажите, что если a, b, c — положительные числа и ab + bc + ca >
> a + b + c
, то a + b + c > 3.
(Р.Женодаров)

ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Верно ли, что из произвольного треугольника можно вырезать три равные фигуры, площадькаждой из которых больше четверти площади треугольника?
(С.Августинович)
91. Дан угол с вершиной B. Построим точку M следующим образом.
Возьмем произвольную равнобедренную трапецию, боковые стороны которой лежат на сторонах данного угла. Через две противоположные ее вершины проведем касательные к описанной около нее окружности. Через обозначим точку пересечения этих касательных. Какую фигуру образуют все такие точки M?
(М.Сонкин)
92. В каждой клетке квадратной таблицы размером n×n клеток (n  записано число 1 или −1. Если взятьлюбые две строки, перемножить числа, стоящие в них друг над другом и сложить n получившихся произведений, то сумма будет равна 0. Докажите, что число n делится на 4.
(В.Дольников)
93. См. задачу 85.
94. Дан треугольник A
0
B
0
C
0
. На отрезке отмечены точки A
1
, A
2
,
. . . , A
n
, а на отрезке B
0
C
0
— точки C
1
, C
2
, . . . , так, что все отрезки = 0, 1, . . . , n−1) параллельны между собой и все отрезки C
i
A
i+1
(i = 0, 1, . . . , n − 1) — тоже. Отрезки C
0
A
1
, A
1
C
2
, и ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки C
1
A
2
, A
2
C
3
, и C
2
A
1
— тоже, и т. д. Докажите, что сумма площадей всех n − 1 получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника A
0
B
0
C
0
(Л.Медников, М.Сонкин)