Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы
 Скачать 3 Mb.
|
|
279. На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и точка с координатой где d — взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметитьсередину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если ее координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке? (И.Богданов, О.Подлипский) ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. См. задачу 272. 10 класс. Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел a 1 , a 2 , . . . , a n , с разностью 2, обладающей свойством a 2 k +1 — простое при всех k = 1, 2, . . . , n? (Н.Агаханов) 282. В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше+ точек с целыми координатами. Докажите, что в нем найдется m + точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой. (В.Дольников) A B C M K Рис. 12 283. Серединный перпендикуляр к стороне треугольника ABC пересекает сторону BC в точке M см. рис. 12). Биссектриса угла AMB пересекает описанную окружностьтреугольника ABC в точке. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников AKM и BKM, перпендикулярна биссектрисе угла AKB. (С.Берлов) 284. Набор чисел a 0 , a 1 , . . . , удовлетворяет условиям a 0 = 0 , 0 a k+1 − − a k 1 при k = 0, 1, . . . , n − 1. Докажите неравенство n k=1 a 3 k n k=1 a k 2 . (А.Храбров) 285. На оси Ox произвольно расположены различные точки X 1 , . . . , X n , n 3. Построены все параболы, задаваемые приведенными квадратными трехчленами и пересекающие ось Ox в данных точках (и не пересекающие осьв других точках. Пусть = f 1 , . . . , y = f m — функции, задающие эти параболы. Докажите, что парабола y = f 1 + . . . + пересекает ось в двух точках. (Н.Агаханов) 286. См. задачу 278. 287. На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и n − 1 > 0 целых точек так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок [0, 2002], взаимно простыв совокупности (те. не имеют общего делителя, большего 1). Разрешается разделитьлюбой отрезок с отмеченными концами на n равных частей и отметитьточки деления, если они все целые. (Точку можно отме- титьвторой раз, при этом она остается отмеченной) Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке? (И.Богданов, О.Подлипский) УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки доски размера 10 × 10 так, чтобы в каждой строке ив каждом столбце находилиськлетки не более, чем пяти различных цветов? (Д.Храмцов) 11 класс. Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечетных p и q число x p + рационально. Докажите, что x и y рациональные числа. (Н.Агаханов) 290. Высота четырехугольной пирамиды SABCD проходит через точку пересечения диагоналей ее основания ABCD. Из вершин основания опущены перпендикуляры AA 1 , BB 1 , CC 1 , на прямые SC, SD, и SB соответственно. Оказалось, что точки S, A 1 , B 1 , C 1 , различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 , проходят через одну точку. (Н.Агаханов) 291. Набор чисел a 0 , a 1 , . . . , удовлетворяет условиям a 0 = 0 , a k+1 a k + при k = 0, 1, . . . , n − 1. Докажите неравенство n k=1 a 3 k n k=1 a k 2 . (А.Храбров) 292. Каждая клетка клетчатой плоскости раскрашена в один из цветов так, что в любом квадрате из n × n клеток встречаются все цвета. Известно, что в какой-то строке встречаются все цвета. Докажите, что существует столбец, раскрашенный ровно в n цветов. (И.Богданов, Г.Челноков) 293. Пусть P (x) — многочлен нечетной степени. Докажите, что уравнение имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение P (x) = 0. (И.Рубанов) 294. На плоскости даны n > 1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре? (Н.Агаханов) 295. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть l A , l B , l C , биссектрисы внешних углов этого четырехугольника. Прямые и пересекаются в точке K, прямые ив точке L, прямые ив точке M, прямые ив точке N. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников ABK и CDM, касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников BCL и DAN касаются внешним образом. (Л.Емельянов) ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. На отрезке [0, N] отмечены его концы и еще 2 точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок [0, N], целые и взаимно простыв совокупности. Если нашлисьдве отмеченные точки A и B такие, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделитьотрезок AB на равных части, отметитьодну из точек деления и стеретьодну из точек A, B . Верно ли, что за несколько таких действий можно отметитьлюбую наперед заданную целую точку отрезка [0, N]? (И.Богданов, О.Подлипский) 2002–2003 г класс. Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел впервой группе нацело делится на произведение чисел во второй. Какое наименьшее значение может быть у частного отделения первого произведения на второе? (А.Голованов) 298. По каждой из двух пересекающихся прямых с постоянными скоростями, не меняя направления, ползет по жуку. Известно, что проекции жуков на ось OX никогда не совпадают (нив прошлом, нив будущем). Докажите, что проекции жуков на ось OY обязательно совпадут или совпадали раньше. (Л.Емельянов) 299. Двое по очереди выписывают на доску натуральные числа от 1 до. Первым ходом первый игрок выписывает на доску число 1. Затем очередным ходом на доску можно выписатьлибо число 2a, либо число a + + 1 , если на доске уже написано число a. При этом запрещается выписы- ватьчисла, которые уже написаны на доске. Выигрывает тот, кто выпишет на доску число 1000. Кто выигрывает при правильной игре? (О.Подлипский) 300. Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать натри многоугольника, один из которых должен быть тупоугольным треугольником, так, чтобы потом сложитьиз них прямоугольник. (Переворачивать части можно). (О.Дмитриев) 301. В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре — модульразности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может бытьнаписано на ребрах? (В.Сендеров) 302. Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства+ Докажите, что a = c и b = d. (В.Сендеров) УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. В треугольнике ABC угол C — прямой. На стороне AC нашлась точка D, а на отрезке BD — точка K такие, что ∠ABC = ∠KAD = = ∠AKD. Докажите, что BK = 2DC. (С.Иванов) 304. Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел a и b (a > b) хотя бы одно из чисел a + b или a − тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочитьпо возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинако- выми. (И.Рубанов) 9 класс. Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и туже величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник. (В.Сендеров) 306. См. задачу 298. (Л.Емельянов) 307. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F , не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная кок- ружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB. (Л.Емельянов) 308. Два игрока по очереди выписывают на доске вряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, делящееся на Кто из игроков победит при правильной игре? (Д.Храмцов) 309. Пусть I — точка пересечения биссектрис треугольника Обозначим через A , B , точки, симметричные I относительно сторон треугольника ABC. Докажите, что еслн окружность, описанная около треугольника A B C , проходит через вершину B, то ∠ABC = 60 ◦ (Л.Емельянов) 310. На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно 1 знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого было ровно 2, 3, 4, . . . , 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода. Какое наибольшее число людей могло остаться в конце? (С.Берлов) 311. Докажите, что из любых шести четырехзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбратьпятьчисел, также взаимно простых в совокупности. (Д.Храмцов) 312. Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники небо- лее, чем одним способом. (П.Кожевников) ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ класс. Найдите все углы α, для которых набор чисел sin α, sin 2α, sin совпадает с набором cos α, cos 2α, cos 3α. (Н.Агаханов) 314. См. задачу 307. 315. Навстречу выпускников пришло 45 человек. Оказалось, что любые двое из них, имеющие одинаковое число знакомых среди пришедших, не знакомы друг с другом. Какое наибольшее число пар знакомых могло бытьсреди участвовавших во встрече? (С.Берлов) 316. На плоскости отметили n (n > 2) прямых, проходящих через одну точку O таким образом, что для любых двух из них найдется такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведенные прямые делят полный угол на равные части. (И.Рубанов) 317. Найдите все x, при которых уравнение x 2 + y 2 + z 2 + 2xyz = относительно z) имеет действительное решение при любом y. (Д.Храмцов) 318. Пусть A 0 — середина стороны BC треугольника ABC, а A — точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность ω с центром в и проходящую через A . На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если ω касается описанной окружности на дуге BC, не содержащей A, то еще одна из построенных окружностей касается описанной окружности. (Л.Емельянов) 319. Докажите, что из произвольного множества трехзначных чисел, включающего не менее четырех чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбратьчетыре числа, также взаимно простых в совокупности. (Д.Храмцов) 320. В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных повесу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив 5 взвешиваний на чашечных весах без гирь (Определить, какая из фальшивых тяжелее, не требуется.) (И.Богданов, Ю.Хромин) 11 класс. Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что p x = y 3 + 1 (В.Сендеров) 322. На диагонали AC выпуклого четырехугольника ABCD выбрана такая точка K, что KD = DC, ∠BAC = 1 2 ∠KDC, ∠DAC = 1 Докажите, что ∠KDA = ∠BCA или ∠KDA = ∠KBA. (С.Берлов) УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. Функции f(x)−x и определены при всех положительных x и возрастают. Докажите, что функция f(x 3 ) − √ 3 также возрастает при всех положительных x. (А.Голованов) 324. На плоскости даны точки A 1 , A 2 , . . . , и точки B 1 , B 2 , . . . , Докажите, что точки можно перенумероватьтак, что для всех i = угол между векторами и B i B j — острый или прямой. (Р.Карасёв) 325. Квадратные трехчлены P (x) = x 2 + ax + и Q(x) = x 2 + cx + + таковы, что уравнение P (Q(x)) = Q(P (x)) не имеет действительных корней. Докажите, что b = d. (И.Рубанов) 326. См. задачу 310. 327. Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера ω касается грани ABC в точке T . Сфера касается грани ABC в точке и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и симметричны относительно биссектрисы угла BAC. (А.Заславский) 328. См. задачу 320. 2003–2004 г класс. По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили Ауди и БМВ . Оказалось, что как в, таки в 18.00 БМВ находился в два раза дальше от перекрестка, чем Ауди . В какое время Ауди мог проехатьперекресток? (Н.Агаханов) 330. Имеется набор гирьсо следующими свойствами) В нем есть гирь, попарно различных повесу) Для любых двух гирьнайдутся две другие гири того же суммарного веса. Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе? (И.Рубанов) 331. В остроугольном треугольнике расстояние от середины любой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от нее до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник — равносторон- ний. (Н.Агаханов) 332. В ячейки куба 11 × 11 × 11 поставлены по одному числа 1, 2, . . . . . . 1331. Из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. Каждый из них может проползатьв соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй — если отличается на 9. Существует лита- кая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика? (О.Подлипский) ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Может ли в наборе из шести чисел b; c; a 2 b ; b 2 c ; c 2 a , где a, b, c — положительные числа, оказаться ровно три различных числа? (В.Сендеров) 334. Пусть ABCD — четырехугольник с параллельными сторонами AD и BC; M и N — середины его сторон AB и CD соответственно. Прямая делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников ABC и ADC. Докажите, что ABCD — па- раллелограмм. (Н.Агаханов) 335. Набор пятизначных чисел {N 1 , . . . , N k } таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы водном разряде хотя бы с одним их чисел N 1 , . . . , N k . Найдите наименьшее возможное значение k. (С.Токарев) 336. Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами запи- сатьнатуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы? (А.Храбров) 9 класс. См. задачу 330. 338. В треугольнике ABC медианы AA , BB , продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A 0 , B 0 , соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок пополам. Докажите, что треугольник A 0 B 0 C 0 — равнобедрен- ный. (Л.Емельянов) 339. См. задачу 332. 340. Три натуральных числа таковы, что произведение любых двух из них делится на сумму этих двух чисел. Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы. (С.Берлов) 341. В клетки таблицы 100 × 100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11? (О.Подлипский) 342. Положительные числа x, y, z таковы, что модульразности любых двух из них меньше 2. Докажите, что + 1 + yz + 1 + √ zx + 1 > x + y + z. (Н.Агаханов) |