Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы
 Скачать 3 Mb.
|
|
527. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон, BC ив точках M, N и K соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная NK, пересекает прямую MN в точке. Прямая, проходящая через A и параллельная MN, пересекает прямую в точке E. Докажите, что прямая DE содержит среднюю линию треугольника ABC. (М.Сонкин) 528. В клетках таблицы 10 × 10 расставлены числа 1, 2, 3, . . . , 100 так, что сумма любых двух соседних чисел не превосходит S. Найдите наименьшее возможное значение S. (Числа называются соседними, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону.) (Д.Храмцов) УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС класс. Решите в целых числах уравнение y 2 ) 2 = 1 + 16y. (М.Сонкин) 530. Квадрат n × n (n 3) склеен в цилиндр. Частьклеток покрашена в черный цвет. Докажите, что найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или две диагонали, содержащие одинаковое количество черных клеток. (Е.Порошенко) 531. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружностьв точке C, а вторую — в точке D. Пусть M и N — середины дуги, не содержащих точку A, а K — середина отрезка CD. Докажите, что угол прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.) (Д.Терёшин) 532. Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя на 99. Докажите, что его нельзя разбитьна 100 треугольников. (А.Шаповалов) 533. Существуют ли два квадратных трехчлена ax 2 + bx + и (a+1)x 2 + + (b + 1)x + (c + с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня? (Н.Агаханов) 534. Окружностьс центром O, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AC, AB ив точках K, M и N соответственно. Медиана треугольника пересекает MN в точке D. Докажите, что точка O лежит на прямой DK. (М.Сонкин) 535. Найдите все тройки натуральных чисел m, n и l такие, что m + n = = ( НОД(m, n)) 2 , m + l = (НОД(m, l)) 2 , n + l = (НОД(n, l)) 2 (С.Токарев) 536. На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку водной клетке. Разрешается выполнятьследующие действия) Снятьпо одному камню с клеток n − 1 и n и положитьодин камень в клетку n + 1; 2) Снятьдва камня с клетки n и положитьпо одному камню в клетки + 1 , n − Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам). (Д.Фон-дер-Флаас) 11 класс. См. задачу 529. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Переаттестация Совета Мудрецов происходит так корольвыстра- ивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого, синего или красного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Разв минуту один из мудрецов должен выкрикнутьодин из трех цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз. После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов догово- рилисьи придумали, как минимизироватьчисло казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежатьказни? (К.Кноп) 539. См. задачу 531. 540. Куб n × n × n сложен из единичных кубиков. Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная, каждое звено которой соединяет центры двух соседних (имеющих общую грань) кубиков. Назовем отмеченными грани кубиков, пересекаемые данной ломаной. Докажите, что ребра кубиков можно покраситьв два цвета так, чтобы каждая отмеченная грань имела нечетное число, а всякая неотмеченная грань — четное число сторон каждого цвета. (М.Смуров) 541. Рассматриваются всевозможные квадратные трехчлены вида x 2 + + px + q , где p, q — целые, 1 p 1997, 1 q 1997. Каких трехчленов среди них больше имеющих целые корни или не имеющих действительных корней? (М.Евдокимов) 542. Даны многоугольник, прямая l и точка P на прямой l в общем положении (те. все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают в различных точках, отличных от P Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из нее стороны многоугольника, пересекают по разные стороны от точки P . Докажите, что точка P лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от l отмечено нечетное число вершин. (О.Мусин) 543. Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой — в точке пересечения высот, третьей в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный. (Н.Агаханов) 544. В прямоугольную коробку с основанием m × n, где m и n — нечетные числа, уложены домино размера 2×1 так, что остался непокрыт только квадрат 1 × 1 (дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной, ее разрешается сдвинутьвдольсебя на одну клетку, закрыв дырку (при этом открывается новая дырка. Докажите, что УЧЕБНЫЙ ГОД, 9 КЛАСС 71 с помощью таких передвижений можно перегнать дырку в любой другой угол. (А.Шаповалов) 1997–1998 г класс. Угол, образованный лучами y = x и y = 2x при x 0, высекает на параболе y = x 2 + px + две дуги. Эти дуги спроектированы на ось Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой. (Жюри) 546. Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех. (М.Смуров) 547. Обозначим S(x) сумму цифр числа x. Найдутся ли три таких натуральных числа a, b и c, что S(a + b) < 5, S(a + c) < 5 и S(b + c) < 5, но + b + c) > 50 ? (С.Волчёнков, Л.Медников) 548. Назовем лабиринтом шахматную доску 8 × 8, на которой между некоторыми полями поставлены перегородки. По команде ВПРАВО ладья смещается на одно поле вправо или, если справа находится край доски или перегородка, остается на месте аналогично выполняются команды ВЛЕВО, ВВЕРХ и ВНИЗ. Программист пишет программу — конечную последовательность указанных команд, и дает ее пользователю, после чего пользователь выбирает лабиринт и помещает в него ладью на любое поле. Верно ли, что программист может написатьтакую программу, что ладья обойдет все доступные поля в лабиринте при любом выборе пользователя, А.Шаповалов) 549. На столе лежат 5 часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперед. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовем временем перевода. Требуется все часы установитьтак, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать. В треугольнике ABC (AB > BC) проведены медиана BM ибис- сектриса BL. Прямая, проходящая через точку M параллельно AB, пересекает в точке D, а прямая, проходящая через L параллельно пересекает BM в точке E. Докажите, что прямые ED и BL перпендику- лярны. (М.Сонкин) 551. Ювелир сделал незамкнутую цепочку из N > 3 пронумерованных звеньев. Капризная заказчица потребовала изменить порядок звеньев в цепочке. Из вредности она заказала такую незамкнутую цепочку, чтобы ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ ювелиру пришлось раскрыть как можно больше звеньев. Сколько звеньев придется раскрыть? (А.Шаповалов) 552. На доске написаны два различных натуральных числа a и b. Меньшее из них стирают, и вместо него пишут число − которое может уже оказаться нецелым. С полученной парой чисел делают туже операцию и т. д. Докажите, что в некоторый момент на доске окажутся два равных натуральных числа. (И.Изместьев) 10 класс x y 0 A B C D E F A B C D E F Рис. 16 553. Прямые, параллельные оси Ox, пересекают график функции y = ax 3 + bx 2 + cx + + d : первая — в точках A, и E, вторая — в точках B, и F см. рис. 16). Докажите, что длина проекции дуги на ось Ox равна сумме длин проекций дуги . (И.Изместьев) 554. Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1, расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек. (В.Дольников) 555. Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через. Аналогично построим точки и K c . Докажите, что три прямые, соединяющие точки K a , и с серединами сторон BC, CA и AB соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности. (И.Шарыгин) 556. Частьподмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из 2k элементов (k — фиксированное натуральное число. Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из (k + элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент. (В.Дольников) 557. С числом разрешается проводитьодно из двух действий возводить в квадрат или прибавлятьединицу. Даны числа 19 и 98. Можно ли из них УЧЕБНЫЙ ГОД, 11 КЛАСС 73 за одно и тоже количество действий получитьравные числа? (Е.Малинникова) 558. На множестве действительных чисел задана операция ∗, которая каждым двум числами ставит в соответствие число a ∗ b. Известно, что равенство (a ∗ b) ∗ c = a + b + c выполняется для любых трех чисел a, b и. Докажите, что a ∗ b = a + b. (Б.Френкин) 559. Дан выпуклый угольник (n > 3), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружностьназовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних. (О.Мусин) 560. В каждую клетку квадратной таблицы размера (2 n − 1) × (2 n − ставится одно из чисел +1 или −1. Расстановку чисел назовем удачной, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной. Найдите число удачных расстановок. (Д.Любшин) 11 класс. См. задачу 553. 562. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA , AB в точках A 1 , B 1 , соответственно. Точки A 2 , B 2 , C 2 — середины дуг BAC, CBA, ACB описанной около треугольника ABC окружности. Докажите, что прямые A 1 A 2 , и пересекаются водной точке. (М.Сонкин) 563. На плоскости нарисовано некоторое семейство S правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства S содержит хотя бы одну из них. (В.Дольников, Р.Карасёв) 564. В стране N 1998 городов и из каждого осуществляются беспосадочные перелеты в три других города (все авиарейсы двусторонние. Известно, что из любого города, сделав несколько пересадок, можно доле- тетьдо любого другого. Министерство Безопасности хочет объявитьза- крытыми 200 городов, никакие два из которых не соединены авиалинией. Докажите, что это можно сделатьтак, чтобы можно было долететьиз лю- ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ бого незакрытого города в любой другой, не делая пересадок в закрытых городах. (Д.Карпов, Р.Карасёв) x y 0 Рис. 17 565. Внутри параболы y = расположены несовпадающие окружности ω 1 , ω 2 , ω 3 , . . . так, что при каждом n > 1 окружность касается ветвей параболы и внешним образом окружности см. рис. Найдите радиус окружности ω 1998 , если известно, что диаметр равен 1 иона касается параболы в ее вершине. (М.Евдокимов) 566. Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых делится нацело на квадрат их разности? (Г.Гальперин) 567. В тетраэдр ABCD, длины всех ребер которого не более 100, можно поместитьдве непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поме- ститьодну сферу диаметра 1,01. (Р.Карасёв) 568. Клетчатая фигура Φ обладает свойством при любом заполнении клеток прямоугольника m × n числами, сумма которых положительна, фигуру Φ можно так расположитьв прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Φ была положительна фигуру можно поворачивать. Докажите, что данный прямоугольник может бытьпокрыт фигурой Φ в несколько слоев. (А.Белов) 1998–1999 г класс. В числе A цифры идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа 9 · A? (С.Волчёнков) 570. В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены беспосадочными рейсами одной из N авиакомпаний, причем из каждого города естьровно по одному рейсу каждой из авиакомпаний. Известно, что из любого города можно долететьдо любого другого (возможно, с пересадками. Из-за финансового кризиса был закрыт N − 1 рейс, но нив одной из авиакомпаний не закрыли более одного рейса. Докажите, что по- прежнему из любого города можно долететьдо любого другого. (Д.Карпов) 571. Треугольник ABC вписан в окружность S. Пусть A 0 — середина дуги BC окружности S, не содержащей A; C 0 — середина дуги AB, не содержащей. Окружность с центром касается BC, окружность S 2 УЧЕБНЫЙ ГОД, 10 КЛАСС 75 с центром касается AB. Докажите, что центр I вписанной в треугольник окружности лежит на одной из общих внешних касательных к окружностями S 2 (М.Сонкин) 572. Числа от 1 до 1 000 000 покрашены в два цвета — черный и белый. За ход разрешается выбратьлюбое число от 1 дои перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были черными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми? (С.Берлов) Рис. 18 573. Правильный треугольник разбит на правильные треугольники со стороной 1 линиями, параллельными его сторонами делящими каждую сторону на n частей (на рисунке Какое наибольшее число отрезков длины 1 с концами в вершинах этих треугольников можно отметить так, чтобы не нашлосьтреугольника, все стороны которого состоят из отмеченных отрезков? (М.Антонов) 574. Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство 1 2 . ({k} — дробная частьчисла k.) (А.Храбров) 575. Окружность, проходящая через вершины A и B треугольника, пересекает сторону BC в точке D. Окружность, проходящая через вершины B и C, пересекает сторону AB в точке E и первую окружность вторично в точке F . Оказалось, что точки A, E, D, C лежат на окружности с центром O. Докажите, что угол BF O — прямой. (С.Берлов) 576. В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) заход режет один провода Петя — либо один, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре? (Д.Карпов) 10 класс. На столе стоят три пустых банки из-под меда. Винни-Пух, Кролики Пятачок по очереди кладут по одному ореху в одну из банок. Их порядковые номера до начала игры определяются жребием. При этом Винни может добавлятьорех только в первую или вторую банку, Кролик — только во вторую или третью, а Пятачок — в первую или третью. Тот, после чьего хода в какой-нибудь банке оказалосьровно 1999 орехов, проигры- ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ вает. Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть так, чтобы Кролик проиграл. (Ф.Бахарев) |