математика. РАЗДЕЛ 2 Случайные величины doc. Определение Величина, которая в зависимости от случая может принимать те или другие числовые значения, называется случайной
 Скачать 1.49 Mb.
|
|
Пример 2.4. Случайная величина принимает значения только на сегменте  с плотностью  . Найти коэффициент C и числовые характеристики СВ X. Найти вероятность того, что случайная величина X попадет в промежуток  .Решение. Так как p(x)=0 при  , то из условия  следует, что , ,Значит, C=1. Найдем числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану. 1) По формуле математического ожидания получаем  .2) По формуле дисперсии имеем  .3)  .4) Найдем моду случайной величины. Для этого сначала продифференцируем функцию плотности вероятности.  , .В точке  функция  достигает максимума, значит,  .5) Найдем медиану случайной величины, используя формулу  . . .6) Найдем вероятность того, что случайная величина X попадет в промежуток : . Законы распределения НСВ Рассмотрим часто встречающиеся законы распределения НСВ: равномерный, показательный и нормальный. 2.3.1. Равномерное распределение Непрерывная случайная величина  , которая принимает значения только на отрезке a; b с постоянной плотностью распределения, называется распределенной по равномерному закону.Таким образом, плотность распределения имеет вид:  .График дифференциальной функции равномерного закона НСВ X имеет вид:  Интегральная функция распределения НСВ X, которая распределена по равномерному закону, имеет вид:  .График интегральной функции равномерного закона НСВ X имеет вид:  Математическое ожидание и дисперсия равномерной СВ:  .Применение: Надо отметить, что равномерный закон распределения применяется при работе с округленными числами, измерение каких-либо величин по шкале измерительного прибора. Пример 2.5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего деления. Определить закон распределения ошибки округления. Найти среднеквадратическую ошибку округления . Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка менее 0,04. Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину , которая имеет равномерное распределение в промежутке между соседними делениями. Длина  длина промежутка, в котором заключены все возможные значения случайной величины . Плотность распределения вероятностей данной случайной величины имеет следующий вид: .Сначала найдем дисперсию равномерной СВ : .Используем формулу (2.11) и находим среднеквадратическую ошибку округления.  .Ошибка отсчета будет менее 0,04, если случайная величина заключена в интервале  или  . Для нахождения вероятности события  заключающегося в том, что при отсчете будет сделана ошибка менее 0,04, воспользуемся формулой (2.5): 2.3.2. Показательное (экспоненциальное) распределение Непрерывная случайная величина X, которая принимает только неотрицательные значения с плотностью распределения,  называется распределенной по показательному закону с параметром , где >0. График дифференциальной функции показательного закона НСВ X имеет вид:  Интегральная функция распределения НСВ, распределенной по показательному закону, имеет вид:  График интегральной функции показательного закона НСВ X имеет вид:  Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной СВ X:  .Применение: Надо отметить, что показательный закон распределения применяется в теории массового обслуживания; время ремонта, время простоя в очереди, время обслуживания. Пример 2.6. Технический осмотр и обслуживание машин продолжается в среднем 2 часа. Составить закон распределения, если СВ X время техосмотра машины, которое распределено по показательному закону. Найти среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что машина пройдет техосмотр менее чем за 1 час. Решение. Среднее время техосмотра равно 2 часа, а это математическое ожидание  . Значит, параметр  . Плотность распределения вероятностей СВ X имеет следующий вид: .Интегральная функция распределения СВ X имеет следующий вид:  .Для показательного закона распределения  , а  . Следовательно  .Чтобы найти вероятность того, что машина пройдет техосмотр менее чем на 1 час, воспользуемся формулой (2.1):  . 2.3.3. Элементы теории надежности Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности, в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надежности.  Термины и их определения в области надежности регламентирует ГОСТ 27.00289 «Надежность в технике», который содержит 85 терминов. Надежность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонта, хранения и транспортирования. Объект (машина, станок, прибор, датчик и т.д.) может находиться в следующих состояниях (см. рисунок): исправном, неисправном (работоспособном), неработоспособном (непредельном), предельном. Работоспособное состояние – состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской документации. Объект может находиться в работоспособном, но неисправном состоянии (например, из-за повреждения в виде вмятин или царапин на корпусе) Повреждение – некоторое событие, которое заключается в нарушении исправного состояния при сохранении работоспособного состояния. Переход объекта из работоспособного состояния в неработоспособное происходит в результате отказа. Отказы следует отличать от повреждений, при которых изделие становится не соответствующим хотя бы одному из требований технических условий, но сохраняет свою работоспособность. Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособности объекта. Существует 8 видов отказов: внезапный, постепенный, независимый, зависимый, перемежающийся, конструкционный, производственный, эксплуатационный. По физическому смыслу, последствиям и специфике проявления особо значимыми являются внезапный и постепенный отказы. Дадим характеристику свойства безотказности. Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта в течение некоторого времени или наработки. Следует учитывать четыре важных специфических аспекта надежности: комплексный характер, т.е. связь надежности со всеми этапами жизненного цикла изделий (проектирование, изготовление, эксплуатация); фактор времени, так как оценивается изменение начальных параметров в процессе эксплуатации изделия. Рассматривать проблему надежности абстрактно (вне времени) не имеет смысла; прогнозирование поведения изделия с точки зрения сохранения его выходных параметров (показателей надежности); вероятностный характер отказов, процессов, параметров и показателей, определяемой некоторой случайной функцией (или событиями). Эта специфика отражена в показателях надежности. Основной показатель надежности изделия – вероятность безотказной работы  , т.е. вероятность того, что в заданном интервале времени  не возникнет отказа. Вероятность безотказной работы и вероятность отказа  образуют полную группу событий: .Допустимые значения устанавливаются в зависимости от целевого назначения изделий или экономической целесообразности: в авиации  (т.е. близка к единице, отказ в течение эксплуатации ресурса недопустим); в машиностроении у станков с ЧПУ, оснащенных системами диагностики  .В электронной промышленности надежность датчика должна рассматриваться в двух аспектах: 1) механическая надежность – механическая прочность конструкции датчика, целостность его конфигурации, целостность его электрических цепей, безусловная герметичность узла уплотнения в условиях эксплуатации датчика; 2) метрологическая надежность  - способность сохранять во времени достоверность измерений в пределах установленных норм в заданных условиях эксплуатации. В этом случае с позиций метрологической надежности под отказом надо понимать выход суммарной погрешности датчика за допустимые пределы.Метрологическая надежность является одной из важнейших характеристик датчиков. Можно условно установить следующие уровни метрологической надежности:  - высокая; - повышенная; - нормальная; - пониженная.Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того «простое» оно, или «сложное». Пусть элемент начинает работать в момент времени  , а по истечении времени длительностью  происходит отказ. Обозначим через  непрерывную случайную величину – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступает отказ.Таким образом, интегральная функция  (2.12)определяет вероятность отказа за время длительностью .Вероятность отказа и вероятность безотказной работы образуют полную группу событий: .Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время, длительностью , т.е. вероятность противоположного события  , равна . (2.13)Определение 2.9. Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью : .Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение. Тогда для определения вероятности отказа используется интегральная функция, которая имеет вид:  .Следовательно, функция надежности, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента, имеет вид  . |