математика. РАЗДЕЛ 2 Случайные величины doc. Определение Величина, которая в зависимости от случая может принимать те или другие числовые значения, называется случайной
![]()
|
Определение 1.7. Дисперсией (рассеянием) дискретной СВ называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания: ![]() Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой. Теорема 1.1. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата СВ X и квадратом ее математического ожидания: ![]() Свойства дисперсии Свойство 1. Дисперсия постоянной величины ![]() ![]() Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяние, конечно, не имеет. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: ![]() Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин: ![]() Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин: ![]() Свойства примем без доказательства. Дисперсия как мера рассеивания значений СВ обладает тем недостатком, что ее размерность не совпадает с размерностью СВ (размерность дисперсии – это квадрат размерности СВ). Поэтому вводится еще одна мера рассеивания с размерностью, совпадающей с размерностью СВ. Это так называемое среднее квадратическое отклонение. Определение 1.8. Средним квадратическим отклонением СВ X называют квадратный корень из дисперсии: ![]() Дадим определение еще одной числовой характеристики, как мода ДСВ. Определение 1.9. Модой MoДСВXназывается ее наиболее вероятное значение. Пример 1.3. СВ X задана законом распределения: ![]() Построить функцию распределения и ее график. Найти числовые характеристики заданного закона распределения. Решение. 1) Найдем функцию распределения ДСВ X. Значения СВ X: ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() Таким образом, получаем следующую функцию распределения: ![]() График данной функции имеет вид: ![]() 2) Найдем числовые характеристики ДСВ X. Найдем математическое ожидание: ![]() Найдем дисперсию: ![]() Найдем среднее квадратическое отклонение: ![]() Мода соответственно равна Mo=10. Пример 1.4. Найти закон распределения ДСВ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Поскольку ![]() ![]() ![]() ![]() По формулам (1.2) и (1.4) получаем: ![]() ![]() Составляем систему уравнений ![]() ![]() Решив систему уравнений, получаем два решения: ![]() ![]() ![]() ![]() Итак, ![]() ![]() 1.3. Законы распределения ДСВ Рассмотрим некоторые законы распределения дискретной СВ. Биномиальное распределение Пусть имеется ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Это распределение называется биномиальным с параметрами p и q. Математическое ожидание и дисперсия СВ X: ![]() ![]() Геометрическое распределение Дискретная СВ X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения ![]() ![]() где ![]() ![]() Случайная величина ![]() Математическое ожидание и дисперсия ![]() ![]() Гипергеометрическое распределение Дискретная СВ X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Математическое ожидание и дисперсия СВ, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами ![]() ![]() ![]() ![]() Закон Пуассона Говорят, что СВ X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые значения 0, 1, 2, … с вероятностями ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской СВ равны параметру распределения: ![]() Закону распределения Пуассона обычно подчинена СВ, задающая простейший поток событий (число вызовов скорой помощи, число вызовов на АТС, число заказов на предприятии бытовых услуг, и т.д.) Если интенсивность потока ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1.5. Из 25 подписчиков на газеты 16 человек подписались на местные газеты, остальные – на республиканские. Наудачу выбрали 3 подписчиков. СВ X – количество подписчиков на местные газеты среди выбранных. Записать закон распределения СВ X. Составить функцию распределения и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найти ![]() Решение. 1) Среди трех отобранных подписчиков количество человек, подписавшиеся на местные газеты может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3. Значит, СВ X имеет значения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для контроля ![]() +0,46957+0,24348=1. Записываем закон распределения ДСВ X в виде таблицы:
2) Данные значения СВ X разбивают числовую прямую на пять промежутков. Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() +0,46957=0,75652; Если ![]() ![]() +0,25043+0,46957+0,24348=1. Таким образом, получаем следующую функцию распределения ![]() Строим график функции распределения: ![]() 3) Находим математическое ожидание СВ X: ![]() Найдем дисперсию: ![]() =0,63363≈0,634 Найдем среднее квадратическое отклонение: ![]() ![]() ![]() 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ |