математика. РАЗДЕЛ 2 Случайные величины doc. Определение Величина, которая в зависимости от случая может принимать те или другие числовые значения, называется случайной
 Скачать 1.49 Mb.
|
|
Определение 2.10. Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством  , (2.14)где интенсивность отказа. Эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени, длительностью  , если время безотказной работы имеет показательное распределение.Пример 2.7. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения  при t 0 (t – время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.Решение. По условию постоянная интенсивность отказа =0,02. Используя формулу, получаем вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.  . Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике. Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обладает следующим важным свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени (при заданной интенсивности отказов ). Это значит, что в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента «в прошлом» не сказывается на величине вероятности его безотказной работы «в ближайшем будущем».Пример 2.8. Длительность времени безотказной работы каждого из трех элементов, входящих в техническое устройство, имеет показательное распределение. Среднее время безотказной работы для каждого элемента равно 500 ч. Техническое устройство работает при условии безотказной работы всех трех элементов. Определить вероятность безотказной работы устройства в течение не менее 800 ч, если время безотказной работы каждого элемента не зависит от времени работы двух других элементов. Решение. Искомая вероятность равна вероятности того, что в течение не менее 800 ч будут безотказно работать все три элемента устройства. Пусть событие  означает, что k-й элемент устройства проработает безотказно не менее 800 ч ( ). События  независимые. Тогда, используя теорему умножения независимых событий, получаем .Найдем теперь вероятность события . Пусть случайная величина T – время безотказной работы k-ого элемента. По условию задачи среднее время безотказной работы для каждого элемента равно 500 ч, т.е. математическое ожидание величины T равно 500 ч ( ). Следовательно,  . В таком случае функция надежности, которая определяет вероятность безотказной работы элемента, имеет вид .Тогда вероятность события  .Таким образом,  . 2.3.4. Нормальное распределение Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение (закон Гаусса) с параметрами a и , если её плотность вероятности имеет вид:  , где >0.График дифференциальной функции нормального закона НСВ X имеет вид:  Обозначим через  множество СВ, распределенных по нормальному закону с параметрами  и  . Интегральная функция распределения нормальной СВ XN(a; ) равна .График интегральной функции нормального закона НСВ X имеет вид:  Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и . Достаточно задать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Выясним вероятностный смысл этих параметров. 1) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины  =(Приняв по внимание, что новые пределы интегрирования равны старым)=  =(Первый интеграл: под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат. Второй интеграл: интеграл Пуассона  .) Итак,  , т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру a.2) По аналогии можно показать, что дисперсия непрерывной случайной величины, которая распределена по нормальному закону распределения, равна  , где - второй параметр нормального распределения.Следовательно,  .Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру . Применение: Надо отметить, что по нормальному закону распределено большое количество случайных величин. Этому закону подчиняется распределение роста двадцатилетнего мужчины; вес женщины, рост которой равен 170 см; дальность полета снаряда; результат измерения длины, массы, времени и т.д. Нормированным (стандартным) называют нормальное распределение с параметрами a=0 и =1. Например, если X – нормальная величина с параметрами a и , то  – нормированная нормальная величина, причем M(U)=0,  . Множество нормированных нормальных распределений обозначим N(0; 1).Дифференциальная функция нормированного распределения  .Эта функция табулирована (таблица локальной функции Лапласа). Интегральная функция нормированного распределения имеет вид:  .Эта функция тоже табулирована. Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0; x) можно найти, используя функцию Лапласа  , т.е. покажем, как взаимосвязаны интегральная функция Лапласа и интегральная функция нормированного распределения. .Учитывая, что  и, следовательно, в силу симметрии (x) относительно нуля,  . Значит,  .Тогда  .Итак,  .Мы уже знаем, что если случайная величина Xзадана дифференциальной функцией p(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), такова:  Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (x1; x2), равна  .Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную  . Отсюда  . Найдем новые пределы интегрирования. Если  , то  ; если  , то  .Таким образом, имеем   (Воспользуемся функцией Лапласа)= .Итак, получаем  . (2.15)Пример 2.9. Случайная величина Xраспределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (16; 52). Решение. По условию  . Следовательно, .По таблице значений интегральной функции Лапласа определяем  и  . Свойства плотности вероятности нормального распределения Рассмотрим свойства плотности вероятности СВ X, распределенных по нормаль-ному закону с параметрами a и . График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию  , где >0.методом дифференциального исчисления. 1). Функция определена на всей числовой оси Ox., т.е.  .2). При всех значениях x функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена выше оси Ox. 3).  , т.е. ось Ox служит горизонтальной асимптотой графика.4). Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:  .Легко видеть, что  при x=a,  при x<a,  при x>a.Следовательно, при x=a функция имеет максимум  .5). Разность xa содержится в аналитическом выражении в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямой x=a. 6). Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:  .Легко видеть, что при x1=a и x2=a+ вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак. Причем значения функции в обеих точках равны  . Таким образом, точки графика и  являются точками перегиба. Значит, график функции принимает вид  Как видно, на форму и расположение нормальной кривой влияют значения параметров a и . Изменение величины параметра a (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ox: вправо, если a возрастает и влево, если a убывает. С возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ox; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Oy. Выше было рассмотрено, как можно найти вероятность того, что СВ X, которая распределена по нормальному закону примет значение, принадлежащее интервалу (x1; x2), и связь с интегральной функцией Лапласа: . (*)Часто на практике требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной СВ X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства  .Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством  или  .Используя формулу (*), получаем   (функция Лапласа – нечетная)= .Итак, окончательно получаем  . (2.16)В частности, при   . (2.17) |