математика. РАЗДЕЛ 2 Случайные величины doc. Определение Величина, которая в зависимости от случая может принимать те или другие числовые значения, называется случайной
 Скачать 1.49 Mb.
|
|
Пример 4.3. Сколько раз нужно измерить данную величину, истинное значение которой равно  , чтобы с вероятностью, не меньшей, чем 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое значение этих измерений отличается от по абсолютной величине меньше, чем на 3, если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений меньше 12?Решение. Пусть  – результат i-го измерения. Из условия задачи следует, что  . Поэтому .Найдем число n, при котором  .Так как  где  , то это неравенство, во всяком случае, будет выполняться, если Отсюда  .Итак, достаточно сделать 320 измерений данной величины. Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  равна  . Можно ли предвидеть: какой будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Яковом Бернулли (опубликованная в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке. Доказательство Я. Бернулли было сложным; простое доказательство дано П.Л. Чебышевым в 1846 г. Сформулируем теорему Бернулли без доказательства.Теорема 4.4 (теорема Бернулли). Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянно, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности будет меньше по модулю положительного числа , если число испытаний достаточно велико . (4.8)Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство  . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.Таким образом, сходимость относительной частоты  к вероятности отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие «сходимости по вероятности». Точнее, различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если стремится при  к как пределу в смысле обычного анализа, то, начиная с некоторого  и для всех последующих значений , неуклонно выполняется неравенство  ; если же стремится по вероятности к при , то для отдельных значений неравенство может не выполняться.Итак, теорема Бернулли утверждает, что при относительная частота стремится по вероятности к . Коротко теорему Бернулли записывают так: . |