Электроника. Организация эвм и систем однопроцессорные эвм

• Название: Организация эвм и систем однопроцессорные эвм
• Анкор: Электроника
• Дата: 14.12.2022
• Размер: 4.17 Mb.
• Имя файла: Book_1.doc
• Тип: Конспект; #845557
• страница: 13 из 18

2.8. Десятичная арифметика

Необходимый перевод для ЭВМ десятичных чисел в двоичные и обратно требует затраты времени и ресурсов. В цифровых устройствах, где основная часть операций связана не с обработкой и хранением информации, а с самим ее вводом и выводом на какие-либо устройства отображения с десятичным представлением полученных результатов, имеет смысл проводить вычисления в десятичной системе счисления. Но ЭВМ требует информацию только в двоичной форме. Следовательно, десятичные цифры нужно кодировать каким-либо легко реализуемым и быстрым способом. Для этих целей используется двоично-десятичный код, в котором каждая десятичная цифра 0...9 изображается соответствующим 4-разрядным числом (от 0000 до 1001). Такой код называется еще кодом 8421 (цифры, соответствующие весам двоичных разрядов).
Пример.

Представление десятичного числа в двоично-десятичном коде.

Две двоично-десятичные цифры составляют 1 байт, т.е. с помощью 1 байта можно представить десятичные числа от 0 до 99.

Действия над двоично-десятичными числами выполняются как над двоичными. Сложности возникают при переносе из тетрады в тетраду.

Кроме того, следует отметить, что выполнение сложения и вычитания двоично-десятичных чисел со знаком сводится к сложению или вычитанию модулей путем определения фактически выполняемой операции по знаку операндов и виду выполняемой операции. Например, требуется вычислить Z=X-Y при X<0 и Y<0. Тогда выполняется операция |Z|=|Y|-|X|, а затем знак |Z| изменяется на противоположный.

2.8.1. Сложение двоично-десятичных чисел

В операции сложения двоично-десятичных чисел участвуют только модули чисел. Поскольку код одноразрядных двоично-десятичных чисел полностью совпадает с их двоичным кодом, никаких проблем при выполнении операции сложения не возникает. Однако многоразрядные двоично-десятичные числа не совпадают с двоичными, поэтому при использовании двоичной арифметики получается результат, в который надо вводить коррекцию. Рассмотрим это подробнее.

Уже отмечалось, что каждая цифра десятичного числа может быть представлена кодом от 0000 до 1001, поэтому если при сложении разряда j двоично-десятичного числа результат меньше, либо равен 9, то коррекции не требуется, так как двоично-десятичный код результата полностью совпадает с его двоичным кодом.
Пример.

Z_j=X_j+Y_j = 3₍₁₀₎+5₍₁₀₎, где j – номер разряда десятичного числа

Если при сложении j-разрядов чисел результат Z_j будет больше или равен 10, то требуется коррекция результата. Рассмотрим, как машина может идентифицировать эту ситуацию. Существуют два варианта.
Вариант 1. Z_j=10...15 = (1010...1111)

Здесь требуется коррекция, т.е. перенос 1 в старший (j+1) десятичный разряд. Необходимость коррекции в этом случае ЭВМ узнает по чисто формальным признакам:



Эту ситуацию можно описать логическим выражением:


Пример.

Z_j=X_j+Y_j = 5₍₁₀₎+7₍₁₀₎ , где j – номер разряда десятичного числа.


Перенос из разряда j означает в десятичной системе счисления, что . В то же время в двоичной системе счисления перенос 1 из младшей тетрады в старшую означает, что . Следовательно, при коррекции имеет место соотношение
Z_jкор = Z_j - 10₍₁₀₎ + 16₍₁₀₎ = Z_j + 6₍₁₀₎.
Тогда в рассмотренном выше примере

Вариант 2. Z_j=16,17,18 = (8+8, 8+9, 9+9)

В этом случае из младшей тетрады в старшую происходит перенос 1 или 16₍₁₀₎. Но в десятичной системе счисления переносится в старший разряд только 10. Следовательно, для компенсации в младший разряд следует прибавить 6.
Пример.

Z_j=X_j+Y_j = 8₍₁₀₎+9₍₁₀₎ = 17_(10), где j – номер разряда десятичного числа.


Таким образом, можно сформулировать правило, по которому следует осуществлять коррекцию каждого десятичного разряда результата:

если при сложении многоразрядных двоично-десятичных чисел возник перенос из разряда или f=1, то этот разряд требует коррекции (прибавления 6₍₁₀₎). При этом корректируются все тетрады последовательно, начиная с младшей.

Пример.

Z = X + Y = 927 + 382 = 1309.

При практической реализации двоично-десятичной арифметики поступают несколько по-другому.
Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:

1. 
   Одно из слагаемых представляется в коде с избытком 6, т.е. к каждой тетраде двоично-десятичного числа добавляется число 0110. Избыток не обязательно добавлять к одному из слагаемых. Его можно добавить к результату сложения обоих модулей.
   
2. 
   Сложение двоично-десятичных модулей выполняется по правилам двоичной арифметики.
   
3. 
   Если при сложении тетрад получается результат Z_j больше или равный 10, то автоматически вырабатывается перенос в следующий разряд (тетраду), поскольку фактически Z_j16. В этом случае результат в данной тетраде получается в естественном двоично-десятичном коде 8421 и коррекции не требуется. Однако, если избыток добавлять к результату сложения модулей, а не к одному из слагаемых, то при выяснении необходимости коррекции следует учитывать переносы как при сложении модулей, так и при добавлении избытка.
   
4. 
   Если при сложении в каких-либо тетрадах переносы отсутствуют, то для получения правильного результата из кодов этих тетрад необходимо вычесть избыток 6. Это можно сделать двумя способами:
   

• 
  просто вычесть число 0110₍₂₎ = 6₍₁₀₎;
  
• 
  сложить с дополнением до 16₍₁₀₎ , т.е. с числом 10₍₁₀₎ = 1010₍₂₎.
  

Возникшие при этом межтетрадные переносы не учитываются.

На практике реализуют второй способ.
Пример.

Z = X + Y = 132 + 57 = 189.

Перед сложением операнды выравниваются по крайней правой тетраде. Теперь надо к Z’ добавить избыток (6₍₁₀₎):


Такой же результат получится, если с избытком +6 взять один из операндов (X или Y). Тогда к результату избыток прибавлять не нужно.

В данном примере при вычислении Z₆’ не было переносов из каких-либо тетрад, поэтому необходима коррекция каждой тетрады суммы Z₆’. Коррекция производится путем прибавления к каждой тетраде числа 10₍₁₀₎= 1010₍₂₎:

Пример.

Z = X + Y = -93₍₁₀₎ - 48₍₁₀₎ = -(93+48)₍₁₀₎ = -141₍₁₀₎.

Перед сложением операнды выравниваются по крайней правой тетраде. После этого к Z необходимо добавить избыток (6₍₁₀₎):

Такой же результат получится, если с избытком +6 взять один из операндов (X или Y). Тогда к результату избыток прибавлять нет необходимости. В данном примере из двух тетрад переносы существуют, поэтому необходима коррекция только старшей тетрады (из нее нет переноса):

Пример.

Z = X + Y = 99₍₁₀₎ + 99₍₁₀₎ = 198₍₁₀₎.

При сложении модулей возникли переносы. Добавим избыток:


При добавлении избытка 6 переносов не было, однако они имели место при сложении модулей. Их следует учитывать при оценке необходимости коррекции, поэтому, в данном случае, коррекция требуется только для старшей тетрады:

2.8.2. Вычитание модулей двоично-десятичных чисел

По аналогии с операциями вычитания в двоичном коде операцию X-Y можно представить как X + (-Y). При этом отрицательное число представляется в дополнительном коде, аналогичном дополнительному коду в двоичной арифметике. Этот код используется только для выполнения операций вычитания. Хранятся двоично-десятичные числа (как положительные, так и отрицательные) в прямом коде со знаком.
Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:

1. 
   Модуль положительного числа представляется в прямом двоично-десятичном коде (8421).
   

Модуль отрицательного числа – в дополнительном коде (ДК) с избытком 6.

Для получения ДК необходимо:

- инвертировать значения разрядов всех тетрад числа;

- к младшему разряду младшей тетрады прибавить 1.

Таким образом, цепочка ПК (mod)  ОК  ОК+1  ДК аналогична цепочке в двоичной арифметике. Только здесь получается ДК с избытком 6, так как дополнение идет не до 10, а до 16.

2. 
   Произвести сложение операндов (X) в ПК и (Y) в ДК.
   
3. 
   Если при сложении тетрад возник перенос из старшей тетрады, то он отбрасывается, а результату присваивается знак "+", т.е. результат получается в прямом избыточном коде. Он корректируется по тем же правилам, что и при сложении модулей.
   
4. 
   Если при сложении тетрад не возникает переноса из старшей тетрады, то результату присваивается знак "-", т.е. результат получается в избыточном ДК. В этом случае необходимо перейти к избыточному ПК (т.е. инвертировать все двоичные разряды двоично-десятичного числа и прибавить к младшему разряду 1).
   
5. 
   Полученный в этом случае результат в ПК корректируется. Для этого к тем тетрадам, из которых возникал перенос при выполнении пункта 2 (при суммировании), необходимо добавить 10₍₁₀₎ или 1010₍₂₎. Возникшие при этом межтетрадные переносы не учитываются. Таким образом, корректировка происходит в тех тетрадах, которые в положительных числах не корректируются. Следует отметить, что при выполнении операции вычитания большего числа из меньшего (X - Y = Z, при |X||Y|), т.е. при Z0 алгоритм коррекции результата после перевода Z из ДК в ПК требует уточнения. А именно, после перевода Z в ПК необходимость коррекции определяется не только приведенными правилами, но и следующими требованиями:
   

а) нулевой результат не корректируется;

б) значащие нули справа в результате не корректируются;

в) если Z0 и в нем отсутствуют значащие нули справа (т.е. пп. а, б не имеют места), необходимо анализировать Y. Если в Y есть значащие нули справа, то соответствующие им разряды (тетрады) Z требуют обязательной коррекции, независимо от наличия переносов при сложении X_ПК и Y_ДК.
Пример.

Z=X-Y=49₍₁₀₎ -238₍₁₀₎ =-189₍₁₀₎.


Представим |Y| в ДК с избытком 6:

Выполним сложение:


Отсутствие переноса из старшей тетрады является признаком того, что результат получился в ДК (т.е. отрицательный).

Перейдем к нескорректированному избыточному ПК:


Произведем коррекцию результата в соответствии с п. 5 алгоритма:


Поскольку ранее результат получался в ДК, т.е. отрицательный, необходимо добавить знак (-). Окончательный результат будет следующий:
Z= -(0001 1000 1001) = -189₍₁₀₎

Пример.

Z=X-Y=143₍₁₀₎ -58₍₁₀₎ =85₍₁₀₎.

Представим |Y| в ДК с избытком 6:


Выполним сложение:


Наличие переноса из старшей тетрады указывает на то, что результат получился в ПК (т.е. положительный).

Произведем коррекцию результата в соответствии с п. 3 алгоритма:

2.8.3. Умножение модулей двоично-десятичных чисел

Операция умножения сводится к образованию и многократному сложению частичных двоично-десятичных произведений.
Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:

1. 
   Сумма частичных произведений полагается равной нулю.
   
2. 
   Анализируется очередная тетрада множителя, и множимое прибавляется к сумме частичных произведений столько раз, какова цифра, определяемая этой тетрадой.
   
3. 
   Сумма частичных произведений сдвигается на одну тетраду, и повторяются действия, указанные в п. 2, пока все цифры (тетрады) множителя не будут обработаны. Направление сдвига зависит от того, какой вариант перемножения выбран – "старшие разряды вперед" или "младшие разряды вперед".
   
4. 
   Каждая операция суммирования завершается десятичной коррекцией, соответствующей случаю суммирования двоично-десятичных чисел без избытка 6 (т.е. необходимо добавить 0110 к тем тетрадам, из которых был перенос или в которых f=1).
   

Пример.

Z = X * Y = 25₍₁₀₎ * 13₍₁₀₎ = 325₍₁₀₎.

X = 25₍₁₀₎ = 0010 0101_(2-10); Y = 13₍₁₀₎ = 0001 0011_(2-10).

Для решения примера выберем вариант перемножения "старшие разряды вперед". В соответствии с п. 1 алгоритма полагаем сумму частичных произведений P₀=0. (Частичные произведения будем обозначать P_i).


Формирование второго частичного произведения - более длительная операция, поскольку вторая анализируемая тетрада содержит 3₍₁₀₎, поэтому каждая операция суммирования требует проверки необходимости коррекции. Вычислим P₂, последовательно суммируя слагаемые, образующие P₂:

Таким образом, второе частичное произведение, состоящее из трех слагаемых, имеет вид

P₂ = 0111 0101.
Теперь можно вычислить сумму первого и второго частичного произведений, т.е. результат:

Окончательный результат: Z = 0011 0010 0101_(2-10) = 325₍₁₀₎.

Следует отметить, что в данном случае при суммировании операндов не возникало переносов, поэтому коррекция осуществлялась только по признаку f=1.

2.8.4. Деление модулей двоично-десятичных чисел

Операция деления выполняется путем многократного вычитания, сдвига и анализа результата подобно тому, как это делается при обычном делении. В настоящем курсе эта операция не рассматривается. Информация о ней может быть найдена в литературе, приведенной в конце главы.