Основные понятия математической логики
![]()
|
Ещё пример задания:Р-14. Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение (x {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x {4, 8, 12, 116}) ¬(x A)) → ¬(x {2, 4, 6, 8, 10, 12})) истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A. Решение: Заметим, что в задаче, кроме множества A, используются еще два множества: P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Q = {4, 8, 12, 116} для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами A: x А, P: x P, Q: x Q перейдем к более простым обозначениям ![]() раскрываем обе импликации по формуле ![]() ![]() теперь используем закон де Моргана ![]() ![]() поскольку это выражение должно быть равно 1, то A должно быть истинным везде, где ложно ![]() тогда минимальное допустимое множество A – это ![]() переходим ко множествам ![]() ![]() тогда ![]() ![]() ![]() именно эти числа и должны быть «перекрыть» множеством Аmin, поэтому минимальный состав множества A – это Аmin = {4, 8, 12}, сумма этих чисел равна 24 Ответ: 24. Решение (с помощью программы, А.Н. Носкин): на компьютерном ЕГЭ можно написать программу: P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} # множество P Q = {4, 8, 12, 116} # множество Q A = P & Q # пересечение множеств print( sum(list(set(A))) ) Ответ: 24. Решение (3 способ, А.В. Лаздин, НИУ ИТМО): обозначим множества следующим образом: L = {2, 4, 6, 8, 10, 12} M = {4, 8, 12, 116}. тогда исходное выражение можно записать в упрощенной форме: (x L) →(((x ) ¬(x A)) →¬(x L)) (1) если х не принадлежит множеству L, то выражение принимает значение 1, независимо от множества А (импликация из 0 всегда равна 1); таким образом, необходимо рассмотреть ситуацию, когда x L. Условие 1. x {2, 4, 6, 8, 10, 12} В этом случае исходное выражение принимает следующий вид: 1 →(((x ) ¬(x A)) → 0) (2) это выражение примет значение 0 только в том случае, если (((x ) ¬(x A)) → 0) будет ложным. Для этого выражение ((x ) ¬(x A)) должно быть истинным (импликация из 1 в 0). если х не принадлежит множеству М, то выражение 2 будет истинным не зависимо от множества А. таким образом множество А влияет на решение задачи только при одновременном соблюдении двух условий: 1. x {2, 4, 6, 8, 10, 12} 2. x {4, 8, 12, 116} В этом случае исходное выражение принимает следующий вид: 1 →((1 ¬(x A)) → 0) (3) для того чтобы это выражение было истинным, выражение ¬(x A) обязательно должно быть ложным; для этого выражение x A должно быть истинным. значит, одновременно должны быть выполнены три условия: x {2, 4, 6, 8, 10, 12} x {4, 8, 12, 116} x A для этого множеству А обязательно должны принадлежать числа 4, 8, 12. Ответ: 24. |