Основные понятия математической логики
![]()
|
Ещё пример задания:Р-04. На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 25], Q = [15, 30] и R=[25,40]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x Q) → (x R) ) /\ (x A) /\ (x P) тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х. 1) [0, 15] 2) [10, 40] 3) [25, 35] 4)[15, 25] Решение (способ 1): три условия связаны с помощью операции /\ (логическое «И»), поэтому для того, чтобы выражение было тождественно равно нулю, для каждого значения x по крайней мере одно из них должно был ложно для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами A: x А, P: x P, Q: x Q, R: x R учтем, что в формуле дважды используется знак («не принадлежит»), поэтому при переходе к более простым обозначениям получаем: ![]() представим импликацию ![]() ![]() ![]() роль сомножителя A состоит в том, чтобы обнулить выражение везде, где произведение ![]() область истинности выражения ![]() ![]() ![]() теперь умножим это выражение на ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() как следует из п. 4, в фиолетовой области на предыдущем рисунке выражение A должно быть обязательно равно 0, и только внутри отрезка [10,30] может быть истинно таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30] этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4) Ответ: 4. Решение (способ 2, инверсия и преобразование): пп. 1-4 такие же, как и в первом способе выражение ![]() ![]() ![]() имеем, используя законы де Моргана: ![]() выражение ![]() добавляя к этому диапазону отрезок P, получим отрезок [10,30], где истинно выражение ![]() ![]() остальную часть числовой оси (при x меньше 10 и x больше 30) должно перекрыть выражение ![]() ![]() таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30] этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4) Ответ: 4. Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов): пп. 1-5 такие же, как и в первом способе решения если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков эти точки (10,15,25, 30 и 40) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения ![]()
для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение по условию выражение ![]() ![]()
таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30] этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4) Ответ: 4. |