механика и кинематика. План лекции Механическое движение простейшая форма движения материи. Пространство и время. Система отсчета. Понятие материальной точки
 Скачать 1.01 Mb.
|
|
Силы трения. Силы трения – это силы, возникающие при соприкосновении поверхностей двух тел или частей одного тела и препятствующие их взаимном перемещению. Силы трения всегда направлены вдоль соприкасающихся поверхностей противоположно движению тела. При изменении направления скорости изменяется направление сил трения. Силы трения, как и силы упругости, имеют электромагнитную природу. Они возникают вследствие взаимодействия между атомами и молекулами соприкасающихся тел. Силы трения отличаются от гравитационных сил и сил упругости тем, что эти силы зависят не только от конфигурации тел, т. е. от их взаимного расположения, но также еще от относительных скоростей взаимодействующих тел. Виды трения Если силы трения действуют между различными соприкасающимися телами (например, между телом и плоскостью, по которой оно движется или находится в покое), то такое трение называется внешним. Чисто внешнее трение является сухим трением, оно возникает в том случае, если между телами отсутствует слой смазки. Силы сухого трения существенно зависят от степени обработки соприкасаемых поверхностей, их чистоты и относительной скорости. Силы сухого трения возникают не только при скольжении одного тела по поверхности другого, но и при попытке вызвать такое скольжение. Сила трения, которая существует между телами, которые соприкасаются, но не движутся под действием приложенной силы, носит название силы трения покоя. В общем случае выделяют три вида внешнего трения: трение покоя, трение скольжения и трение качения. Экспериментально установлено, что сила трения не зависит от площади поверхности, вдоль которой тела соприкасаются, и пропорциональна силе нормального давления, с которой одно тело действует на другое:  (2.7)Постоянная  называется коэффициентом трения и зависит от природы и состояния трущихся поверхностей.В некоторых ситуациях трение является полезным. Например, при отсутствии трения невозможными были бы ходьба человека по земле, движение автотранспортных средств. Однако, в некоторых случаях трение вредно. Оно приводит к износу трущихся деталей механизмов, дополнительному расходу горючего на транспорте. В подобных случаях с трением борются путем применения различных смазок (так называемых жидкостных или воздушных подушек) или замены скольжения качением, поскольку трение качения характеризуется значительно меньшими силами по сравнению с трением скольжения. 5. Инерциальные системы отсчета. Механический принцип относительности. Преобразования Галилея. Неинерциальные системы отсчета. Инерциальные системы отсчета – это системы, относительно которых материальная точка при отсутствии на нее внешних воздействий или их взаимной компенсации покоится или движется равномерно и прямолинейно. Инерциальных систем существует бесконечное множество. Система отсчета, связанная с поездом, идущим с постоянной скоростью по прямолинейному участку пути, – тоже инерциальная система (приближенно), как и система, связанная с Землей. Все инерциальные системы отсчета образуют класс систем, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Ускорения какого-либо тела в разных инерциальных системах одинаковы. Инерциальными являются системы отсчета, которые движутся равномерно и прямолинейно относительно какой-либо инерциальной системы отсчета. Галилей установил, что никакими механическими опытами, поставленными внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно. Это утверждение носит название принципа относительности Галилея или механического принципа относительности. Этот принцип был впоследствии развит А. Эйнштейном и является одним из постулатов специальной теории относительности. Инерциальные системы отсчета играют в физике исключительно важную роль, так как, согласно принципу относительности Эйнштейна, математическое выражение любою закона физики имеет одинаковый вид в каждой инерциальной системе отсчета. В дальнейшем мы будем пользоваться только инерциальными системами (не упоминая об этом каждый раз). Системы отсчета, в которых первый закон Ньютона не выполняется, называют неинерциальными. К таким системам относится любая система отсчета, движущаяся с ускорением относительно инерциальной системы отсчета. В механике Ньютона законы взаимодействия тел формулируются для класса инерциальных систем отсчета. Примером механического эксперимента, в котором проявляется неинерциальность системы, связанной с Землей, служит поведение маятника Фуко. Так называется массивный шар, подвешенный на достаточно длинной нити и совершающий малые колебания около положения равновесия. Если бы система, связанная с Землей, была инерциальной, плоскость качаний маятника Фуко оставалась бы неизменной относительно Земли. На самом деле плоскость качаний маятника вследствие вращения Земли поворачивается, и проекция траектории маятника на поверхность Земли имеет вид розетки (рис. 1).  Рисунок 1. Проекция траектории маятника на поверхности Механический принцип относительности. Механические явления во всех инерциальных системах отсчета происходят совершенно одинаково. Нельзя с помощью механических экспериментов, производимых в движущейся инерциальной системе отсчета, определить скорость ее движения (если не производить наблюдений тел из системы отсчета, относительно которой мы хотим определить скорость движения).  Рисунок 1. Уравнение механики. Покажем, что уравнения механики математически записываются совершенно одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Для простоты рассмотрим движение материальной точки, т.е. тела, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемой ситуации. Пусть это движение описывается в двух каких-нибудь инерциальных системах - в “покоящейся” системе K и в “движущейся” системе K'. Пусть в начальный момент времени декартовы оси этих систем совпадали и пусть система K движется вдоль оси x с постоянной скоростью v. Координаты точки M, отсчитываемые относительно движущейся и относительно покоящейся систем отсчета K и K' связаны следующими формулами преобразования:  (3.1)которые называют формулами преобразования Галилея. Время при преобразованиях Галилея никак не преобразуем, так что следует положить, что  . (3.2)Эту формулу тоже будем относить к формулам преобразования Галилея. Рассмотрим движение материальной точки M массы m относительно той и другой систем, происходящее, к примеру, вдоль оси x, под действием некоторой заданной силы F (действующей только вдоль оси x). Тогда в системах K и K' имеем следующие уравнения движения:  (3.3)которые математически совершенно одинаковы (инвариантны). При этом одно уравнение получается из другого с помощью преобразований Галилея. Действительно, согласно этим преобразованиям:   (3.4)так как очевидно  (скорость v постоянна).Преобразования Галилея. Преобразования Галилея позволяют переходить от одной системы отсчёта к другой. Пусть дана система неподвижная отсчета и другая система отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно относительно неподвижной системы отсчета. Тогда расстояние, которое проходит тело в движущейся системе отсчета равно расстоянию, пройденному телом в неподвижной системе отсчета, за минусом произведения скорости на время для движущейся системы отсчета. Это преобразование Галилея. В математическом виде преобразование Галилея:  (3.5)где Sm –расстояние, пройденное телом в движущейся системе отсчета, Sn -расстояние, пройденное телом в неподвижной системе отсчета, vt – произведение скорости движущейся системы отсчета на время. Соотношение между скоростями в неподвижной системе отсчета и в системе отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно относительно неподвижной системы отсчета, таково:  (3.6) где vm – скорость тела в движущейся системе отсчета,vn – скорость тела в неподвижной системе отсчета, v – скорость движущейся системы отсчета. Что касается ускорения, то они одинаковы в обеих данных системах отсчета. Неинерциальные системы отсчета. Неинерциальные системы отсчета – это системы отсчета, в которых наблюдается ускоренное движение тел при отсутствии действия на них сил со стороны других тел. Причина неинерциальности систем отсчета – ускоренное движение этих систем отсчета относительно инерциальной системы. Движение тел в неинерциальных системах отсчета: выполняется второй закон Ньютона, если формально считать, что здесь, кроме реальных сил взаимодействия, существует еще так называемые силы инерции.  (3.7)где  - силы инерции; - ускорение, с которым движется система, m – масса ускоряемого тела.6. Понятие абсолютно твердого тела. Момент силы и момент инерции абсолютно твердого тела. Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого можно пренебречь в данной задаче и при всех условиях расстояние между двумя точками этого тела остается постоянным. Инертность тел при вращательном движении характеризует величина, называемая моментом инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс и материальных точек системы на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси:  (4.1) Момент силы и момент инерции абсолютно твердого тела. В динамике поступательного движения материальной точки кроме кинематических характеристик вводились понятия силы и массы. При изучении динамики вращательного движения вводятся физические величины — момент сил и момент инерции, физический смысл которых раскроем ниже. Пусть некоторое тело под действием силы  , приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО' (рис 1). Рисунок 1. К выводу понятия момента силы Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы. Произведение силы на плечо определяет модуль момента силы относительно точки О:  (4.2) Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:  (4.3)Единица момента силы — ньютон-метр (Н.м). Направление вектора момента силы находиться с помощью правила правого винта. Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции материальной точки относительно оси вращения — произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси:  (4.4)Момент инерции тела относительно оси вращения — сумма моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:  (4.5)В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами dm, момент инерции определяется интегрированием:  (4.6)где r — расстояние от оси вращения до элемента массой dm. Если тело однородно и его плотность  , то момент инерции тела (4.7)Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему. Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему. 7. Уравнение движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Применение теоремы Штейнера. Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу или неизменно связанные с ним, остаются во все время движения неподвижными (рис.1).  Прямая, проходящая через эти две точки А и В, называется осью вращения. Очевидно, что все точки, лежащие на оси вращения, неподвижны, а точки, не лежащие на ней, описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, с центрами на этих осях. Установив на оси вращения z положительное направление, проведем через эту ось неподвижную плоскость I и подвижную плоскость II, неизменно связанную с телом и вращающуюся вместе с ним. Двугранный угол  между этими полуплоскостями называется углом поворота тела. Условимся считать угол поворота j положительным, если, смотря навстречу оси вращения можно увидеть его отложенным против движения часовой стрелки, и отрицательным - если по часовой стрелке. Измеряется угол j в радианах. При известном числе оборотов N тела угол поворота определяется по формуле (5.1)При вращении тела угол поворота j непрерывно изменяется с течением времени. Следовательно, для определения положения тела в любой момент времени необходимо иметь  (5.2)Уравнение (5.2) называется кинематическим уравнением вращательного движения твердого тела. Применение теоремы Штейнера. Согласно теореме Штейнера, установлено, что момент инерции тела при расчете относительно произвольно оси соответствует сумме момента инерции тела относительно такой оси, которая проходит через центр масс и является параллельной данной оси, а также плюс произведение квадрата расстояния между осями и массы тела, по следующей формуле:  (5.3)Где в формуле принимаем соответственно величины: d – расстояние между осями ОО1║О’O1’;  – момент инерции тела, рассчитанный относительно оси, что проходит сквозь центр масс и будет определяться соотношением : (5.4) Рисунок 1. Так как d = R, тогда и момент инерции относительно оси, которая проходит через указанную на рисунке точку А будет определяется формулой:  (5.5) |