Задание 1. Показатели центра распределения

• Название: Показатели центра распределения
• Дата: 29.01.2023
• Размер: 129.82 Kb.
• Имя файла: Задание 1.docx
• Тип: Документы; #910288

Ранжировка ряда (смотри таблицу 1)

Оценка ряда распределения:
Показатели центра распределения,
Простая средняя арифметическая

Мода,
x = 16,2,
Медиана,
Середина ранжированного ряда: h = ^f/₂ = ¹¹⁰/₂ =55,

Медиана: (13,9 + 13,9)/2 = 13,9
В симметричных рядах распределения значение моды и медианы совпадают со средней величиной (x_ср=Me=Mo), а в умеренно асимметричных они соотносятся таким образом: 3(x_ср-Me) ≈ x_ср-Mo


Квартили,
¹/₄ ранжированного ряда: h = ⁿ/₄ = ¹¹⁰/₄ = 28,

Q₁=(9,2 + 9,3)/2 = 9,25
³/₄ ранжированного ряда: h = ³ⁿ/₄ = ^3*110/₄ = 83,

Q₃ = (17,7 + 17,9)/2 = 17,8


Показатели вариации,
Абсолютные показатели вариации,
R = x_max - x_min = 29,4 - (-3,6) = 33 – размах вариации
Среднее линейное отклонение 
Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 4,79
Дисперсия 
Несмещенная оценка дисперсии 
Среднее квадратическое отклонение,

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 13,52 в среднем на 5,922
Оценка среднеквадратического отклонения,

Относительные показатели вариации,
Коэффициент вариации 

Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная,
Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины,

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней,

Показатели формы распределения,
Степень асимметрии,
As = M₃/s³
где M₃ - центральный момент третьего порядка,
s - среднеквадратическое отклонение,
M₃ = -4316,37/110 = -39,24

Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии
Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии:

Если выполняется соотношение |As|/s_As < 3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием различных случайных обстоятельств, Если имеет место соотношение |As|/s_As > 3, то асимметрия существенная и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным,
Расчет центральных моментов проводим в аналитической таблице: (смотри таблицу 2)



В анализируемом ряду распределения наблюдается несущественная асимметрия (-0,189/0,227 = 0,83<3)
Структурный коэффициент асимметрии Пирсона:

Эксцесс:

Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (Ex > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) - отрицательный (Ex < 0), т,к, для нормального распределения M₄/s⁴ = 3,
M₄ = 383723,63/110 = 3488,4

Число 3 вычитается из отношения μ⁴/ σ⁴ потому, что для нормального закона распределения μ⁴/ σ⁴ = 3, Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю, Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом,
Ex < 0 - плосковершинное распределение
Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику Ex/s_Ex
где s_Ex - средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса,

Если отношение Ex/s_Ex > 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным,

Ex/s_Ex = -0,16/0,437 = 0,367
Поскольку s_Ex < 3, то отклонение от нормального распределения считается не существенным,
Интервальное оценивание центра генеральной совокупности,
Доверительный интервал для генерального среднего,

Определяем значение t_kp по таблице распределения Стьюдента,
По таблице Стьюдента находим:
T_табл(n-1;α/2) = T_табл(109;0,025) = 2,27
Стандартная ошибка выборки для среднего:

Стандартная ошибка среднего указывает, на сколько среднее выборки 13,52 отличается от среднего генеральной совокупности,
Предельная ошибка выборки:

или
ε = t_kp s_c = 2,27*0,567 = 1,29
Доверительный интервал:
(13,52 - 1,29;13,52 + 1,29) = (12,23;14,8)
С вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала,
Доверительный интервал для дисперсии,
Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(χ²_n-1 < h_H) = γ/2 = 0,023,

Количества степеней свободы k=n-1=109, по таблице распределения χ²:
χ²(109;0,023) = 140,9166,
Случайная ошибка дисперсии нижней границы:


Вероятность выхода за верхнюю границу равна P(χ²_n-1 ≥ h_B) = 1 - P(χ²_n-1 < h_H) = 1 - 0,023 = 0,977:
χ²(109;0,977) = 78,45831,
Случайная ошибка дисперсии верхней границы:


Таким образом, интервал (27,38;49,17) покрывает параметр S² с надежностью α = 0,046 (γ=95,4%)
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения,
S*(1-q) < σ < S*(1+q)
Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0,954 и объему выборки n = 110
По таблице q=q(γ ; n) определяем параметр q(0,954;110) = 0
5,949(1-0) < σ < 5,949(1+0)
5,949 < σ < 5,949
Таким образом, интервал (5,949;5,949) покрывает параметр σ с надежностью γ = 0,954
Выводы:
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 13,52 в среднем на 5,922,
Среднее значение примерно равно медиане, что свидетельствует о нормальном распределении выборки,
Поскольку коэффициент вариации находится в пределах [30%; 70%], то вариация умеренная,
Значения As и Ex мало отличаются от нуля, Поэтому можно предположить близость данной выборки к нормальному распределению,