Реферат: Вариации интервального ряда числа падения кукурузной муки тонкого помола. Вариации интервального ряда числа падения кукурузной муки тонког. Показатели вариации интервального ряда числа падения кукурузной муки тонкого помола
![]()
|
ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ ИНТЕРВАЛЬНОГО РЯДА ЧИСЛА ПАДЕНИЯ КУКУРУЗНОЙ МУКИ ТОНКОГО ПОМОЛА Мука кукурузная тонкого помола. Таблица для расчета показателей.
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели: Показатели центра распределения. Средняя взвешенная (выборочная средняя) ![]() Мода. Мода ‒ наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. ![]() где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f1 – предмодальная частота; f3 – послемодальная частота. Выбираем в качестве начала интервала 488, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество. ![]() Наиболее часто встречающееся значение ряда – 341.333. Медиана. Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина ‒ больше. Медиана служит хорошей характеристикой при ассиметричном распределении данных, т.к. даже при наличии «выбросов» данных, медиана более устойчива к воздействию отклоняющихся данных. В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 341-343, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот). ![]() ![]() Таким образом, 50 % единиц совокупности будут меньше по величине ![]() В симметричных рядах распределения значение моды и медианы совпадают со средней величиной (xср = Me = Mo), а в умеренно асимметричных они соотносятся таким образом: 3(xср‒Me) ≈ xср‒Mo Квартили. Квартили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25 % единиц совокупности будут меньше по величине Q1, 25 % будут заключены между Q1 и Q2, 25 % ‒ между Q2 и Q3. Остальные 25 % превосходят Q3. ![]() ![]() Таким образом, 25 % единиц совокупности будут меньше по величине 337.333 Q2 совпадает с медианой, Q2 = 341.286. ![]() ![]() Остальные 25 % превосходят значение 342.714. Квартильный коэффициент дифференциации. k = Q1 / Q3. k = 337.333 / 342.714 = 0,98. Децили (децентили). Децили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 10 % единиц совокупности будут меньше по величине D1; 80 % будут заключены между D1 и D9; остальные 10 % превосходят D9. ![]() ![]() Таким образом, 10 % единиц совокупности будут меньше по величине 334. ![]() ![]() Остальные 10 % превосходят 347. Среднее значение изучаемого признака по способу моментов. ![]() где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой); h – шаг интервала. ![]() Находим А = 501, шаг интервала h = 26. Средний квадрат отклонений по способу моментов. ![]() Таблица Расчет квадрата отклонений по способу моментов
![]() ![]() Среднее квадратическое отклонение. ![]() Показатели вариации. Абсолютные показатели вариации. Размах вариации ‒ разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда. R = xmax ‒ xmin = 351 ‒ 332 = 19. Среднее линейное отклонение вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. ![]() Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 3.713. Дисперсия характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего). ![]() Несмещенная оценка дисперсии ‒ состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия). ![]() Среднее квадратическое отклонение. ![]() Каждое значение ряда отличается от среднего значения 340.625 в среднем на 4.538. Оценка среднеквадратического отклонения. ![]() Относительные показатели вариации. К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение. Коэффициент вариации ‒ мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс. ![]() Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять. Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины. ![]() Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. ![]() Показатели формы распределения. Относительный показатель квартильной вариации ![]() Степень асимметрии. Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии. As = M3/s3, где M3 ‒ центральный момент третьего порядка. s ‒ среднеквадратическое отклонение. M3 = 454.36/100 = 22.72. ![]() Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии. Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии: ![]() Если выполняется соотношение |As|/sAs < 3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием различных случайных обстоятельств. Если имеет место соотношение |As|/sAs > 3, то асимметрия существенная и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Расчет центральных моментов проводим в аналитической таблице. Расчет центральных моментов проводим в аналитической таблице:
![]() В анализируемом ряду распределения наблюдается несущественная асимметрия (0,243/0,612 = 0,4 < 3). Применяются также структурные показатели (коэффициенты) асимметрии, характеризующие асимметрию только в центральной части распределения, т.е. основной массы единиц, и независящие от крайних значений признака. Рассчитаем структурный коэффициент асимметрии Пирсона: ![]() Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. Чаще всего эксцесс оценивается с помощью показателя: ![]() Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (Ex > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) ‒ отрицательный (Ex < 0), т.к. для нормального распределения M4/s4 = 3. M4 = 21579.01/20 = 1078.95. ![]() Число 3 вычитается из отношения μ4/σ4 потому, что для нормального закона распределения μ4/σ4 = 3. Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю. Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные ‒ отрицательным эксцессом. Ex < 0 ‒ плосковершинное распределение. Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику Ex/sEx, где sEx ‒ средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса. ![]() Если отношение Ex/sEx > 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным. ![]() Поскольку sEx < 3, то отклонение от нормального распределения считается не существенным. Интервальное оценивание центра генеральной совокупности. Доверительный интервал для генерального среднего. ![]() Определяем значение tkp по таблице распределения Стьюдента. По таблице Стьюдента находим: Tтабл (n‒1; α/2) = Tтабл (19; 0,025) = 2,433. Стандартная ошибка выборки для среднего: ![]() Стандартная ошибка среднего указывает, на сколько среднее выборки 340,625 отличается от среднего генеральной совокупности. Предельная ошибка выборки равна: ![]() или ε = tkp sc = 2,433×1.041 = 2,533. Доверительный интервал: (340.625 - 2.533;340.625 + 2.533) = (338.092;343.158). С вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала. Доверительный интервал для дисперсии. Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(X2n-1 < hH) = (1-γ)/2 = (1-0.954)/2 = 0.023. Для количества степеней свободы k = 19 по таблице распределения χ2 находим: X2(19;0.023) = 11.65091. Случайная ошибка дисперсии нижней границы: ![]() ![]() Вероятность выхода за верхнюю границу равна P(X2n-1 ≥ hB) = 1 - P(X2n-1 < hH) = 1 - 0.023 = 0.977. Для количества степеней свободы k = 19, по таблице распределения X2 находим: X2(19;0.977) = 11.65091. Случайная ошибка дисперсии верхней границы: ![]() ![]() Таким образом, интервал (35.36;35.36) покрывает параметр S2 с надежностью γ = 0.954 Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения. S(1-q) < σ < S(1+q) Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0.954 и объему выборки n = 20 По таблице q=q(γ ; n) определяем параметр q(0.954;20) =4.656(1-) < σ < 4.656(1+) 4.656 < σ < 4.656 Таким образом, интервал (4.656;4.656) покрывает параметр σ с надежностью γ = 0.954 Интервальное оценивание генеральной доли (вероятности события). Доверительный интервал для генеральной доли (p· ‒ ε; p· + ε) ![]() В этом случае 2Ф(tkp) = γ. Ф(tkp) = γ/2 = 0,954/2 = 0,477. По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0,477 tkp(γ) = (0,477) = 2. Таблица Интервальное оценивание генеральной доли
С вероятностью 0,954 при большем объеме выборке эти доли будут находиться в заданных интервалах. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью показателей As и Ex. В случае нормального распределения справедливо следующее условие: |As| < 3SAs; |A| < 3SAs; |E| < 3SEx . Проверим выполнение этого условия для нашего примера. SAs=0.6124, SEx=0.5 As=0.243, Ex=-0.46 |0.243| < 3 ![]() |-0.46| < 3 ![]() Условия выполняются. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью правила 3-х сигм. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения, т.е. все значения случайной величины должны попасть в интервал: (x̅ ![]() В нашем случае этот интервал составит: (340.625-3·4.538;340.625-3·4.538) = (327.011;354.239) Все значения величин попадают в интервал, так как xmin=332; xmax=351 Выводы: Каждое значение ряда отличается от среднего значения 340.625 в среднем на 4.538. Среднее значение примерно равно моде и медиане, что свидетельствует о нормальном распределении выборки. Поскольку коэффициент вариации меньше 30%, то совокупность однородна. Полученным результатам можно доверять. Значения As и Ex мало отличаются от нуля. Поэтому можно предположить близость данной выборки к нормальному распределению. Функция распределения F(X). ![]() |