Понятие экстремума функции. Локальный и глобальный экстремум. Точки экстремума функции
 Скачать 218.52 Kb.
|
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМОВТеорема Ферма (необходимый признак экстремума). Если функция  дифференцируема в точке  и имеет в этой точке экстремум, то её производная при  обращается в нуль, т.е.  .Теорема Ферма имеет простое геометрическое истолкование. Так как производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, то равенство  означает, что  , т. е. касательная к кривой в этой точке параллельна оси Ox.Следствие. Дифференцируемая функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная равна нулю. Однако функция может иметь экстремум и в тех точках области определения, где производная не существует.  рис. 2 Пример 1. Функция  в точке  достигает минимума, но не дифференцируема при , так как в этой точке график не имеет определённой касательной (рис. 2).Курсовая работа курсовая работа курсовая работа курсовая работа рис.3 Пример 2. Функция, изображённая на рисунке 3, имеет в точке максимум, но не дифференцируема в этой точке, так как при касательная к кривой образует с осью Ox угол  .Замечание. Условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет.2  рис. 4 Пример 3. Функция  , изображённая на рисунке 4, имеет производную  , которая обращается в нуль при , однако в точке функция экстремума не имеет.Те значения аргумента, при которых функция сохраняет непрерывность, а её производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками (или критическими значениями аргумента). Теорема Ферма является лишь необходимым признаком экстремума, так как не в каждой критической точке экстремум существует. Поэтому нужно располагать достаточными признаками, позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно - максимум или минимум.3 Первый достаточный признак экстремума. Если - критическая точка функции и в некоторой окрестности этой точки слева и справа от неё производная имеет противоположные знаки, то  является экстремумом функции, причём: максимумом, если  при  и  при  ; минимумом, если при и при .Если же вблизи точки , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки . В этом случае в точке экстремума нет.Таким образом, если - критическая точка и при переходе через производная  меняет знак, то есть точка экстремума, причём точка максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, и точка минимума, если с минуса на плюс. В противном случае в точке экстремума нет. рис. 5 Пример 4. Исследовать на экстремум функцию  и построить её график.Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная  существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых  , т.е.  , откуда и  . Критические точки и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности:  . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной на этом промежутке.Для интервала  контрольной точкой может служить  : находим  . Взяв в интервале  точку  , получим  , а взяв в интервале  точку , имеем  . Итак, в интервалах и  , а в интервале  . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале , а в точке  функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции:  , а  . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При  получим уравнение  , корни которого и  , т. е. найдены две точки  графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. рис. 5).Второй достаточный признак экстремума. Если функция дважды дифференцируема и в точке выполняются условия и  , то в этой точке функция имеет экстремум, причём максимум, если  , и минимум, если  .Замечание 1. Если в точке образуются в нуль обе производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума.Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума неприменим и тогда, когда в критической точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума. Пример 5. Исследовать на экстремум функцию  и построить её график.Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е.  .Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как  . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала  .Находим производную  и критические точки функции:1)  2)  но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума. Таким образом, заданная функция имеет две критические точки:  и  . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку  . Для этого найдём вторую производную  и определим её знак при : получим  . Так как  и , то является точкой минимума функции, при этом  .Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:  (здесь символом  обозначено стремление  к нулю справа, причём остаётся положительным; аналогично  означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если  , то  . Далее, находим ,т.е. если  то .4Точек пересечения с осями график функции не имеет.  рис. 6 |