Понятие экстремума функции. Локальный и глобальный экстремум. Точки экстремума функции
 Скачать 218.52 Kb.
|
АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИОпределение 3. Точкой максимума (минимума) функции  называется значение аргумента такое, что существует окрестность точки  , в которой  для . Определение 4. Максимумом (минимумом) функции называется её значение в точке экстремума, т.е. величина  .Таким образом, если в задании стоит требование определить точки экстремума в ответе следует писать найденные значения  , если нужно указать сами экстремумы, то нужно определить значения y в этих точках, подставив их в формулу функции 5Что касается наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке, то для непрерывной функции они могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка совпадает с точкой соответствующего экстремума. Для ответа на такой вопрос следует сравнить значения функции в точках экстремума с её значениями на концах отрезка. (На практике для решения этой задачи не обязательно определять вид экстремума, достаточно вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка и сравнить их между собой.) Рассмотрим задачи на нахождение точек экстремума функции. Алгоритм нахождения точек экстремума. 1) Найти область определения функции. 2) Найти производную функции f '(x). 3) Найти точки, в которых f '(x) не существует. 4) Найти точки, в которых f '(x) = 0. 5) Отметить на числовой прямой область определения функции и все точки, выявленные в п. 3 и п. 4. Получатся промежутки области определения, на которых производная сохраняет постоянный знак. 6) Определить знак f '(x) для каждого промежутка. (Чаще всего это делается подстановкой "удобного" значения x из этого промежутка в полученную в п. 2 формулу для производной.) 7) Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере в каждой из критических точек. Задача 6. Найдите точку максимума функции  1) Функция представляет собой произведение линейной и показательной функций, которые определены на всей действительной оси.  2) Вычисляем производную, пользуясь правилом дифференцирования произведения и формулами для производной степенной и показательной функций.  Вычисление производной завершено, но для облегчения действий в следующих пунктах, стоит преобразовать её к наиболее компактному виду.  Итак,  3) Выражение  определено во всех точках действительной оси. Точек, где  не существует, нет.4) Решаем уравнение   при любых значениях x, при  .5) Изображаем "бесконечную" числовую ось, совпадающую в нашем случае с областью определения функции. Отмечаем на ней единственную найденную критическую точку . 6) Определяем знаки производной на получившихся двух участках оси. При  например при  , имеем При  например при , имеем Отмечаем на оси знаком "+" участок, где  и знаком "−", где   7) На участках, где производная положительна, функция возрастает, а где производная отрицательна, функция убывает. Расставляем на рисунке соответствующие стрелочки. По стрелочкам видно, что в точке функция переходит от возрастания к убыванию, значит это и есть искомая точка максимума. Ответ: −6 |