Постановка задачи
 Скачать 404.42 Kb.
|
|
Теорема 11.3. Фильтр Калмана. Рассмотрим процесс (11.5). Восстановление состояния с помощью модели (11.42) оптимально в смысле минимума ошибки восстановления, если матрица R2+CP(k)CT положительно определена, а матрица усиления удовлетворяет (11.47) и (11.48). При этом дисперсия ошибки восстановления определяется выражением (11.48). Замечание 1. Структура оператора оценивания (11.42) позволяет свести задачу восстановления к параметрической задаче оптимизации. На самом деле эта структура оптимальна для гауссовских возмущений. Критерий качества можно ещё интерпретировать как минимализацию ошибки оценивания линейной комбинаций состояний. Замечание 2. Традиционное обозначение P(k) для дисперсии лучше заменить на P(k|k-1), явно показывающее , что используются наблюдения вплоть до момента времени k-1 . Члены уравнения (11.48) можно интерпретировать следующим образом : член ФРФT описывает изменение дисперсии при изменениях динамических характеристик системы; R1 отражает увеличение дисперсии с увеличением шума v[ср. с (6.20)]; последний член описывает уменьшение дисперсии по мере появления новой информации в результате измерений. Отметим, что P(k) не зависит от наблюдений, поэтому усиление можно рассчитать заранее и записать в память ЭВМ. Замечание 3. Фильтр Калмана можно также интерпретировать как условное среднее состояния в момент k+1 при заданном Yk, т.е.  , .Замечание 4. Если R12≠0, то уравнения (11.47)-(11.48) принимают вид   .Остальные уравнения при этом остаются неизменными. Замечание 5. Предиктор в (11.42) обладает тем свойством , что состояние в момент k восстанавливается по известным y(k-1), y(k-2) … . Можно построить фильтр, в котором для оценивания x(k) используется и y(k). Соответствующее уравнение при этом имеет вид  (11.49)где    (11.50) Здесь P(k) заменено на P(k|k-1) для явного обозначения имеющихся данных; P(k|k) при этомможно интерпретировать как дисперсию ошибки оценивания в момент k при известном Yk. |