Постановка задачи
 Скачать 404.42 Kb.
|
|
сглаживание (m<0). фильтрация (m=0). прогнозирование (m>0). Независимо от того, какая из последних двух задач прогнозирования или фильтрации решается, получающаяся динамическая схема называется фильтром. Фильтр Калмана Рассмотрим задачу прогнозирования на один шаг вперед и предположим, что процесс описывается системой уравнений(11.5) с h=1. Предположим для простоты, что R12=0. Пусть оценка состояния вычисляется по уравнению  (11.42) Ошибка восстановления  удовлетворяет уравнению (11.43)В разд. 9.2 для получения нужных значений корней этого уравнения варьировались элементы матрицы К. Здесь же принят иной подход, при котором учитываются свойства шума, и критерий качества состоит в минимизации дисперсии ошибки оценивания P(k):  .Среднее значение  получается из (11.43): .Поскольку Ex(0)=m0 , то независимо от К среднее значение ошибки восстановления равно нулю для всех  , если  . Из уравнения (11.43) теперь получаем , (11.44)так как  и e(k) независимы. Далее, P(0)=R0. Из (11.44) следует, что если P(k) неотрицательно определена. Предполагается, что критерий качества состоит в минимизации скаляра  (здесь - произвольный вектор). Кроме того, предполагается, что вплоть до момента времени k-1 использовался оптимальный вектор усиления К. Тогда из уравнения (11.44) следует  (11.45) Усиление K(k) можно найти из (11.45) выделение полного квадрата  (11.46)Правая часть (11.46) содержит два слагаемых: первое не зависит от K, а второе неотрицательно, поскольку матрица R2+CPCT положительно определена. Таким образом, минимум достигается, если K выбрано таким образом, что второе слагаемое обращается в нуль. Тогда  (11.47) (11.48)uuu Заметим, что K не зависит от α и что (11.44) выполняется и при оптимальном K(k). Восстановление, определяемое выражениями (11.42), (11.47) и (11.48), называется фильтром Калмана. Изложенное выше можно сформулировать в виде следующей теоремы. |