Поступательное движение
 Скачать 1.95 Mb.
|
|
Вариант 14 14.1. Координаты материальной точки изменяются со временем по законам 2 2 2 , x t t м 3 , y t м 3, z м. Запишите векторный вид зависимости радиус – вектора точки и вычислите величину мгновенной скорости в момент времени t = 1с. 14.2. Материальная точка движется равномерно и прямолинейно вдоль оси ОX. На рисунке изображен график зависимости от времени t проекции S x вектора перемещения S этой точки. Чему равна координата х этой точки в момент времени t = 2 с, если ее начальная координата х 0 = 3 м? 14.3. При движении тела вдоль оси Х его координата изменяется по закону х = 9t - 0,3t 2 (м). Как называется такое движение? Найти зависимости скорости и ускорения от времени. В какой момент времени скорость тела равна нулю? 14.4. Материальная точка М движется по окружности со скоростью V. На рис. 1 показан график зависимости V τ от времени ( 𝜏⃗ - единичный вектор положительного направления, V τ – проекция V на это направление). На рис. 2 укажите направление силы, действующей на точку М в момент времени t. Ответ обоснуйте. 14.5. Тело, обладая начальной скоростью, поднимается, а затем спускается с наклонной плоскости под действием силы тяжести и трения. Найти коэффициент трения, если известны угол наклона плоскости α = 45 0 и отношение модулей ускорений при подъеме и спуске, равное трем. 14.6. Тело массой m = 1,2 кг находится на шероховатой горизонтальной плоскости и вращается вокруг вертикальной оси. Оно прикреплено к оси пружиной жесткостью k = 200 Н/м. Длина пружины в недеформированном состоянии равна L 0 = 50 см. Тело движется по окружности радиуса R, находясь на грани скольжения, и совершает 1 оборот в секунду. Определить величину деформации пружины ΔL. 14.7. Падающий вертикально шарик массы m = 200 г ударился об пол со скоростью υ = 5 м/с и подпрыгнул на высоту h = 46 см. Определить изменение Δp импульса шарика при ударе. 14.8. График зависимости кинетической энергии для тела, брошенного с поверхности Земли вертикально вверх, имеет вид, показанный на рисунке под номером … 14.9. Шарик, прикрепленный к пружине и насаженный на горизонтальную направляющую, совершает гармонические колебания. На графике представлена зависимость проекции силы упругости пружины на положительное направление оси ОХ от координаты шарика. Чему равна работа силы упругости при смещении шарика из положения А в положение С? 14.10. Определить наименьшую высоту h, с которой должен начать скатываться велосипедист, чтобы проехать по дорожке в виде мертвой петли радиусом R = 5 м и не отрываться от дорожки в верхней части. Трением пренебречь. Вариант 15 15.1. Закон движения материальной точки имеет вид: 2 5 4 6 3 r t i tj k Запишите, как зависят координаты движущейся точки от времени. Нарисуйте вектор перемещения точки в координатах ХУZ за время от t 1 = 0 с до t 2 = 3 с. 15.2. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости от времени для прямолинейного движения тела вдоль оси ОХ. Найдите путь и модуль перемещения тела за t 1 = 3 с. 15.3. По оси Х движутся две точки: первая по закону х 1 = 8t 2 + 6 (м), вторая по закону х 2 = 18 + 5t 2 (м). В какой момент времени τ они встретятся? Решить задачу аналитически и графически. 15.4. Материальная точка движется по окружности со скоростью V. На рис.1 показан график зависимости проекции скорости V τ _от времени (τ – единичный вектор положительного направления, V τ _– проекция скорости на это направление). Определите, увеличиваются, уменьшаются, остаются постоянными или равны нулю величины нормального и тангенциального ускорений. Какое направление на рис. 2 имеет вектор полного ускорения? Ответы поясните. 15.5. Санки массой m = 10 кг, стоящие на льду, в течение t 1,0 с тянут с постоянной силой F = 100 Н при помощи веревки, образующей угол α = 450 с горизонтом, после чего веревку отпускают и забрасывают на санки. Коэффициент трения санок о лед μ = 0,10. Пренебрегая массой веревки, определить путь l Σ , пройденный санками за все время их движения. 15.6. Шарик подвешен на тонкой нерастяжимой нити длиной l = 50 см к краю горизонтального диска радиусом R = 20 см. Диск приводят во вращение вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью надо вращать диск, чтобы нить с шариком отклонилась от вертикали на угол α = 30 0 ? 15.7. Металлический шарик, падая с высоты h 1 =1 м, отскакивает от нее на высоту h 2 = 0,49 м. Во сколько раз уменьшается импульс шарика при ударе? 15.8. Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике U(x). Найти отношение кинетических энергий шайбы в точках С и В. 15.9. Материальная точка массой m = 100 г начинает двигаться под действием силы 3 3 2 F = ti t j,H . Чему равна мощность, развиваемая силой в момент времени 1с, если зависимость радиус-вектора материальной точки от времени имеет вид 2 3 r = t i t j, м? 15.10. Люстра массой m = 100 кг подвешена к потолку на цепи длиной L = 5 м. Определить угол α, на который можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась. Известно, что разрыв цепи наступает при силе натяжения Т = 1960 Н. Вариант 16 16.1. Закон движения материальной точки имеет вид: 𝑟 ⃗⃗⃗ = 2t 𝑖⃗ + (2 + 3t 2 ) 𝑗⃗. Найти перемещение и модуль перемещения |∆𝑟 ⃗⃗⃗|за 2 с движения и нарисовать этот вектор в координатах ХУ. 16.2. Точка движется прямолинейно вдоль оси ОХ. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости тела на ось ОХ от времени. Найдите пройденный путь и модуль перемещения точки за время ее движения от 0 до 6 с. 16.3. Неподвижное тело, находясь на оси Х в точке с координатой 5м, начинает двигаться с ускорением а х = 3 м/с 2 в отрицательном направлении этой оси. Найти зависимость его координаты и скорости от времени и определить их значения через 2 с после начала отсчета времени. Каков путь, пройденный телом за это время? 16.4. Материальная точка движется по окружности со скоростью V. На рисунке показан график зависимости проекции скорости V τ _от времени (𝜏⃗ – единичный вектор положительного направления, V τ _– проекция скорости на это направление). Определите, увеличиваются, уменьшаются, остаются постоянными или равны нулю величины нормального и тангенциального ускорений. Ответ поясните. 16.5 Два бруска массами m 1 = 5 кг и m 2 = 3 кг связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. Брусок I может скользить по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 30 0 . Коэффициент трения бруска I о наклонную плоскость μ = 0,1. Найти ускорение, с которым движутся бруски и силу натяжения нити. 16.6. Автомобиль массой m = 1400 кг въезжает на выпуклый мост, представляющий собой дугу окружности радиусом R = 160 м. Скорость автомобиля равна v = 72 км/ч. В некоторый момент времени радиус-вектор, проведенный из центра кривизны моста в точку, где находится автомобиль, составляет с горизонталью угол α = 60 0 . Определить силу нормального давления автомобиля на мост в этой точке. 16.7. Теннисный мяч летел с импульсом 𝑝⃗ 1 (масштаб и направление указаны на рисунке), когда теннисист произвел по мячу резкий удар со средней силой F = 80 H. Изменившийся импульс мяча стал равным 𝑝⃗ 2 . Найти время ∆t, в течение которого сила действовала на мяч. 16.8. На рисунке 1 приведен график зависимости потенциальной энергии от координаты. Какой из графиков зависимости консервативной силы от координаты на рисунке 2, соответствует такой зависимости потенциальной энергии от координаты? Ответ поясните выкладками и рассуждениями. 16.9. На тело массой m = 2 кг, находящееся на гладкой горизонтальной поверхности, действует переменная сила, направленная горизонтально вдоль оси ОХ. График зависимости проекции ускорения тела ах от координаты тела х представлен на рисунке. Определить работу силы при перемещении тела на расстояние 6 м. 16.10. Небольшое тело соскальзывает с высоты Н = 3 м по наклонному скату, переходящему в «мертвую петлю» с радиусом R = 0,5 м. На какой высоте h тело оторвется от поверхности петли, если трение отсутствует? Вариант 17 17.1. Радиус – вектор, описывающий движение материальной точки изменяется со временем по закону: 2 , o r r At i где 0 r - радиус – вектор в момент времени t = 0, А - положительная константа, равная 5, i - единичный орт оси ОХ. Что представляет собой траектория, по которой движется материальная точка? Найдите модуль вектора перемещения точки за время 3 с от начала движения. 17.2. На рис. 1 приведен график зависимости проекции скорости от времени для материальной точки, движущейся прямолинейно вдоль оси ОХ. На рис.2 представлены четыре различных графика зависимости проекции ускорения от времени. Какой из этих графиков соответствует приведенной зависимости проекции скорости от времени? 17.3. Зависимость от времени координаты точки, движущейся вдоль оси Х, определяется соотношением х = - 1,5t 2 + 8t + 2. Найти среднюю путевую скорость за t 1 = 4 с после начала отсчета времени. 17.4. Материальная точка движется по окружности со скоростью V. На рисунке показан график зависимости проекции скорости V τ _от времени (τ – единичный вектор положительного направления, V τ _– проекция скорости на это направление). Определите, увеличиваются, уменьшаются, остаются постоянными или равны нулю величины нормального и тангенциального ускорений. Ответ поясните. 17.5. Тело массой m = 200 кг равномерно поднимают по наклонной плоскости с углом наклона α = 30 0 , прикладывая силу F = 1500 Н вдоль направления движения. С каким ускорением тело будет соскальзывать вниз, если его отпустить? 17.6. При какой минимальной постоянной скорости движения автомобиля по вершине выпуклого моста, радиус кривизны которого R = 90 м, пассажиры испытывают мгновенное состояние невесомости? 17.7. Механическая система состоит из трех частиц, массы которых m 1 = 0,1 г, m 2 = 0,2 г, m 3 = 0,3 г. Первая частица находится в точке с координатами (2, 3, 0), вторая – в точке (2, 0, 1), третья – в точке (1, 1, 0) (координаты даны в сантиметрах). Найти координаты центра масс системы x C , y C и . z C . 17.8. На рисунке изображен график проекции F x консервативной силы на ось 0X. Укажите номер графика потенциальной энергии, соответствующей этой силе. Обоснуйте ответ. 17.9.На рисунке изображен график зависимости скорости V прямолинейного движения материальной точки от времени t. Определите знаки работ А 1 и А 2 силы, действующей на точку в интервалах времени [0, t 1 ] и [t 1 , t 2 ]. Ответ поясните выкладками и рассуждениями. 17.10. Груз массой m = 1 кг падает на чашу пружинных весов с высоты H = 10 м. Считая удар абсолютно неупругим, найти показание весов при V t 1 t t 2 0 3 1 0 2 1 с , t 2 м/с , v x наибольшем сжатии пружины, если равновесное состояние соответствует величине сжатия L = 0,5 см. Вариант 18 18.1. Вектор скорости материальной точки меняется со временем по закону: 𝑉⃗⃗ = 3t 2 𝑖⃗ + (2t 2 + 1) 𝑗⃗. Найти зависимости от времени величин проекций вектора скорости и ускорения на оси координат и величину ускорения через 2 с после начала движения. 18.2. Две материальные точки 1 и 2 в момент времени 0 0 t выходят из точки с координатой 0 0 x и движутся в положительном направлении оси OX Используя графики зависимости от времени t (с) проекций 1 x V и 2 x V скоростей точек, найдите расстояние от места начала движения до места встречи. 18.3. Через одну секунду после начала равнопеременного движения вдоль некоторой оси координата точки х 1 = -3 м, а еще через секунду – х 2 = -12 м. Найти ускорение этой точки. 18.4. Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой. Укажите знак проекции тангенциального ускорения на направление скорости. Определите, увеличиваются, уменьшаются, остаются постоянными или равны нулю величины полного и нормального ускорений. Объясните свой выбор. 18.5. Тело начинает скользить вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30 0 . У основания плоскости тело ударяется о стенку, поставленную перпендикулярно к направлению его движения, и отскакивает без потери скорости. Определить коэффициент трения μ при движении тела, если после удара оно поднялось до половины первоначальной высоты. 18.6. Автомобиль массой m = 5 т равномерно со скоростью V = 72 км/час съезжает в вогнутый мост, представляющий собой дугу окружности радиусом R = 80 м. Определить, с какой силой автомобиль давит на мост в точке, радиус которой составляет с радиусом впадины моста угол α = 30 0 18.7. Материальная точка двигалась вдоль оси Х равномерно с некоторой скоростью V x . Начиная с момента времени t = 0, на нее стала действовать сила F х , график временной зависимости которой представлен на рисунке. Какой график правильно отражает зависимость величины проекции импульса материальной точки от времени на следующем рисунке? Ответ обоснуйте. 18.8. Потенциальная энергия частицы задается функцией U = x 2 + y 2 – z 2 Определить компоненту F z – компоненту ( в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А (1,2,3). Функция U и координаты точки А заданы в единицах СИ. 18.9. Материальная точка массой m = 200 г начинает двигаться под действием силы 𝐹⃗ = i t 2 + j t 2 3 (Н) . Зависимость радиус-вектора материальной точки от времени имеет вид j t i t r 2 2 (м). Определить мощность ( в Вт), развиваемую силой в момент времени t = 2 с. 18.10. На идеально гладком столе лежат два груза, массы которых относятся как 1:3. Грузы соединены между собой сжатой пружиной жесткостью k = 1000 Н/м. Пружина удерживается в сжатом состоянии с помощью тонкой нерастяжимой нити. После пережигания нити пружина разжимается, и более легкий груз приобретает кинетическую энергию W k = 60 Дж. Определить величину деформации ∆l сжатой пружины. Вариант 19 19.1. Радиус – вектор, описывающий движение материальной точки изменяется со временем по закону: 3 2 , o r r ti tj где 0 r - радиус – вектор в момент времени t = 0, i - единичный орт оси ОХ, j - единичный орт оси ОУ. Что собой представляет траектория, по которой движется материальная точка? Найдите величину ускорения в момент времени t = 2 с. 19.2. Скорость автомобиля массой 500 кг изменяется в соответствии с графиком, приведенным на рисунке. Определите равнодействующую силу в момент времени t = 3 с. 19.3. Первая точка движется по траектории y = 5x 2 . Закон движения второй точки: x = 2t (м), y = 8t (м). В какой момент времени они встретятся и каковы координаты их места встречи? 19.4. Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой. Укажите знак проекции тангенциального ускорения на направление скорости. Определите, увеличиваются, уменьшаются, остаются постоянными или равны нулю величины полного и нормального ускорений. Объясните свой ответ. 19.5. Веревка выдерживает груз массой m 1 = 110 кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой m 2 = 690 кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса груза m, который можно поднимать на этой веревке с постоянной скоростью? 19.6. Тело массой m = 1,2 кг находится на гладкой горизонтальной плоскости и вращается вокруг вертикальной оси. Оно прикреплено к оси пружиной с жесткостью k = 200 Н/м и движется по окружности радиуса R, совершая n = 1 об/сек. Длина пружины в 4 |