Поступательное движение
 Скачать 1.95 Mb.
|
|
Поступательное движение Вариант 1 1.1. Заданы начальное значения радиус–вектора 1 4 3 r i j , м и конечное 2 2 r i j , м описывающие положения движущейся материальной точки для моментов времени t 1 = 1 c и t 2 = 3 c. Нарисуйте вектор перемещения рассматриваемой точки в координатах Х-У. Найдите величину средней скорости перемещения точки за этот интервал времен. 1.2. На графике показано изменение с течением времени ускорения точки на прямолинейном отрезке пути. Начальная скорость V 2 равна нулю, t 1 = 12 c, a 1 = 2 м/с 2 . Найти скорость точки в момент времени t 2 1.3. Первая точка движется по траектории y = 5x 2 . Закон движения второй точки: x = 2t (м), y = 8t (м). В какой момент времени они встретятся и каковы координаты их места встречи? 1.4. Материальная точка М движется по окружности со скоростью V. На рис. 1 показан график зависимости V τ от времени (τ - единичный вектор положительного направления, V τ – проекция V на это направление). На рис. 2 укажите направление силы, действующей на точку М в момент времени t. Ответ обоснуйте. 1.5. Два груза массами m = 300 г связаны нитью, перекинутой через неподвижный блок. На один из грузов положен перегрузок массой ∆m = 20 г. Определить силу Р давления перегрузка на груз при движении системы. Блок считать невесомым, а нить нерастяжимой. 1.6. Автомобиль массой m = 5 т равномерно со скоростью v = 72 км/час въезжает на выпуклый мост, по форме представляющий собой дугу окружности радиуса R = 80 м. Определить силу, с которой автомобиль давит на мост в точке, радиус которой составляет с вертикалью угол α = 30 0 1.7. Теннисный мяч летел с импульсом 𝑝⃗ 1 в горизонтальном направлении, когда теннисист произвел по мячу резкий удар с средней силой F = 42 H. Изменившийся импульс мяча стал равным 𝑝⃗ 2 (масштаб указан на рисунке). Найти время t, в течение которого сила действовала на мяч. 1.8. На рисунке показан график зависимости потенциальной энергии W p от координаты х. График зависимости проекции силы F x от координаты х имеет вид … 1.9. Тело движется под действием силы, зависимость проекции которой от координаты представлена на графике. Найти работу силы на пути 4 м. 1.10. Сваю массой m = 100 кг забивают в грунт копром массой М = 400 кг. Копер свободно падает с высоты Н = 5 м, и при каждом его ударе свая опускается на глубину h = 25 см. Определить силу сопротивления грунта, считая ее постоянной, и КПД неупругого удара копра о сваю. Вариант 2 2.1. Закон движения материальной точки имеет вид: 𝑟 ⃗⃗⃗ = 2t𝑖⃗ + (2 + 3t 2 ) 𝑗⃗. Найдите проекции вектора скорости 𝑉⃗⃗ на оси координат и запишите зависимость вектора скорости от времени. Вычислите величину ускорения через 2 с после начала движения. 2.2. На рисунке представлена зависимость проекции скорости V х материальной точки, движущейся прямолинейно вдоль оси ОX от времени. В какой из указанных моментов времени направления вектора скорости и вектора ускорения для движущейся точки одинаковы? 2.3. Тело движется прямолинейно, причем скорость зависит от времени по закону: V = 3t 3 – 10t + 2. Начертить график зависимости ускорения от времени a(t). Найти значение ускорения при t = 5 c. 2.4. Материальная точка равномерно движется по окружности с частотой n = 2с –1 Зависимость ускорения от частоты показана на рисунке. Найдите нормальное ускорение точки. 2.5. Небольшое тело пускают снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α = 30 0 с горизонтом. Коэффициент трения тела о плоскость μ = 0,1. Определить отношение времени подъема тела t 1 ко времени его соскальзывания t 2 до первоначальной точки. 2.6. На горизонтально расположенном диске, вращающемся с частотой 60 об/мин, помещают небольшой предмет. Максимальное расстояние от предмета до оси вращения, при котором предмет удерживается на диске, равно 5,1 см. Чему равен коэффициент трения между предметом и диском? 2.7. Теннисный мяч летел с импульсом 𝑝⃗ 1 (масштаб и направления указаны на рисунке). Теннисист произвел по мячу резкий удар с средней силой F = 80 H. Изменившийся импульс мяча стал равным 𝑝⃗ 2 . Найти время ∆t, в течение которого сила действовала на мяч. 2.8. На рисунке показан вектор силы, действующей на частицу. Найти работу, совершенную этой силой при перемещении частицы из начала координат в точку с координатами (5; 2). 2.9. Потенциальная энергия частицы задается функцией U = -3·xy 2 z. Определить F y –компоненту (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А (3, 1, 2). Функция U и координаты точки А заданы в единицах СИ. 2.10. Шарик, подвешенный на невесомой нити, отклонили от вертикали на угол 90 0 и без толчка отпустили. На какой угол отклонится нить с шариком после удара о вертикальную стенку, если за время удара шарик теряет половину своей механической энергии? Вариант 3 3.1. Радиус – вектор точки изменяется со временем по закону: 2 2 r t i tj k . Найдите величину скорости движения точки в момент времени t 1 = 2 c. Записать зависимости координат х, y, z точки от времени. В какой плоскости происходит движение точки и по какой траектории? 3.2. Для материальной точки, движущейся вдоль оси X, зависимость координаты от времени имеет вид x = 2t 2 – 4t + 6 (м). В какой момент времени точка начала двигаться в обратную сторону? 3.3. На графике приведена зависимость скорости от времени движущегося вдоль оси OX тела. Определите ускорение тела и его координату x в момент времени t = 2 c, если в начальный момент времени t 0 = 0с координата x 0 = 5 м. 3.4. Материальная точка М движется по окружности со скоростью V. На рис. 1 показан график зависимости V τ от времени ( 𝜏⃗ - единичный вектор положительного направления, V τ – проекция V на это направление). На рис. 2 укажите направление силы, действующей на точку М в момент времени t. Ответ обоснуйте. 3.5. Мальчик на санках спустился с ледяной горы. Коэффициент трения при его движении по горизонтальной поверхности равен 0,2. Расстояние, которое мальчик проехал по горизонтали до остановки, равно 30 м. Чему равна высота горы? Считать, что по склону горы санки скользили без трения. 3.6. Маленький шарик, привязанный к невесомой нити длиной l = 40 см, вращается в горизонтальной плоскости с постоянной по модулю скоростью так, что нить описывает коническую поверхность с вершиной в точке, где находится верхний конец нити. При этом угол отклонения нити от вертикали α = 30 0 Определить скорость вращения υ шарика. t, с 0 1 2 3 4 υ, м/с 15 30 45 3.7. На теннисный мяч, который летел с импульсом 𝑝⃗ 1 , на короткое время ∆t = 0,1с подействовал порыв ветра с постоянной силой F = 30 H и импульс мяча стал равным 𝑝⃗ 2 (масштаб и направление указаны на рисунке). Найти величину импульса p 1 3.8. Материальная точка движется вдоль оси ОX, при этом на нее действует сила, проекция которой на эту ось изменяется со временем так, как показано на рисунке. При t = 0 скорость точки была равной нулю: V 0 = 0. Укажите точку графика, которой соответствует максимальная кинетическая энергия материальной точки. 3.9. На рисунке представлены графики зависимости мощности N постоянной силы от времени t . Тело движется равноускоренно и прямолинейно. причем направление силы совпадает с направлением перемещения. Какой график соответствует этому случаю? 3.10. Груз массой 0,1 кг привязали к нити длиной 1 м. Нить отвели от вертикали на угол 90 0 и груз отпустили. Каково центростремительное ускорение груза в момент, когда нить образует с вертикалью угол 60 0 ? Сопротивлением воздуха пренебречь. Вариант 4 4.1. Точка движется со скоростью 2 3 4 , V at i j k где а = 2 м/с 2 Найдите модуль скорости и модуль ускорения точки в момент времени t = 1 с. 4.2. Материальная точка движется вдоль оси X, зависимость ее координаты от времени имеет вид x = 6 – 4t + t 2 (м). Найти путь S, пройденный точкой за первые 5 секунд ее движения. 4.3. Используя график зависимости скорости движения тела от времени, определите скорость тела в конце пятой секунды, считая, что характер движения не изменился. Определите координату x, в момент времени t = 3 c, если в начальный момент времени t 0 = 0с координата x 0 = 2 м. 4.4. Материальная точка М движется по окружности со скоростью V. На рис. 1 показан график зависимости V τ от времени (τ - единичный вектор положительного направления, V τ – проекция V на это направление). На рис. 2 укажите направление силы, действующей на точку М в момент времени t. Ответ обоснуйте. 4.5. Две гири массами m 1 = 3 и m 2 = 6,8 кг висят на концах нити, перекинутой через невесомый блок. Первая гиря находится на 2 м ниже второй. Гири пришли в движение без начальной скорости. Через какое время t они окажутся на одной высоте? 4.6. Тело массой m = 1,4 кг находится на гладкой горизонтальной плоскости и вращается вокруг вертикальной оси. Оно прикреплено к оси пружиной и движется по окружности радиуса R, совершая n = 1 об/сек. Длина пружины в недеформированном состоянии равна L 0 = 50 см. Радиус траектории тела равен R = 88 см. Определить жесткость пружины k. 4.7. Теннисный мяч летел с импульсом 𝑝⃗ 1 (масштаб и направление указаны на рисунке), когда теннисист произвел по мячу резкий удар длительностью ∆t = 0,1 с. Изменившийся импульс мяча стал равным 𝑝⃗ 2 . Найти среднюю силу удара F. 4.8. На рисунке дан график зависимости потенциальной энергии W p упруго деформированной пружины от величины ее деформации х. Чему будет равна сила упругости, действующая на пружину, при величине деформации х = 3 см ? 4.9. Частица совершила перемещение по некоторой траектории из точки M(3, 2) в точку N(2,–3). При этом на нее действовала сила 𝐹⃗ = 4𝑖⃗ − 5𝑗⃗ (координаты точек и сила 𝐹⃗ заданы в единицах СИ). Найти работу, совершенную силой 𝐹⃗ 4.10. Если на верхний конец вертикально расположенной пружины положить груз, то пружина сожмется на ∆L 1 = 3 мм. На сколько изменится длина пружины ∆L 2 , если тот же груз упадет на пружину с высоты h = 8 мм? Вариант 5 5.1. Радиус – вектор точки изменяется со временем по закону: 2 3 2 r t i tj k . Каков характер движения точки? Как зависит вектор ускорения a от времени и чему равна величина ускорения через две секунды после начала движения? 5.2. Точка движется вдоль оси ОХ с постоянным ускорением а = +1м/с 2 Скорость в начальный момент времени равна V х0 = - 3 м/с. Определить среднюю путевую скорость точки за первые четыре секунды движения. 5.3. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости от времени для прямолинейного движения тела. Ниже приведены четыре различных графика зависимости проекции ускорения от времени. Какой из этих графиков соответствует приведенной зависимости проекции скорости от времени? 5.4. Автомобиль поднимается в гору по участку дуги с постоянной по величине скоростью. Укажите направление, в котором ориентирована равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль. Поясните свой выбор. 5.5. Брусок массой 2 кг может двигаться только вдоль горизонтальных направляющих. Коэффициент трения бруска о направляющие μ = 0,1. На брусок действует сила 𝐹⃗, по модулю равная 20 Н и направленная под углом α = 30 0 к горизонту (см. рисунок). Чему равно при этом ускорение бруска? 5.6. На горизонтальном диске укреплен отвес (шарик на нити), который при вращении диска вокруг вертикальной оси устанавливается под углом α = 45 0 к вертикали (см. рисунок). Расстояние от точки подвеса до оси вращения d = 50 см, длина нити L = 56 см. Чему равна при этом скорость шарика? 5.7. Материальная точка массы m = 1 кг, двигаясь равномерно, описывает четверть окружности радиуса R = 1,2 м за 2 секунды. Определить модуль изменения импульса точки за это время. 5.8. Материальная точка массой m = 100 г начинает двигаться под действием силы 𝐹⃗ = 3𝑡𝑖⃗ + 2𝑡 2 𝑗⃗ (Н). Зависимость радиус-вектора материальной точки от времени имеет вид 𝑟⃗ = 𝑡 2 𝑖⃗ + 𝑡 3 𝑗⃗ (м). Найти мощность, развиваемую силой в момент времени t = 1 с. 5.9. На рисунке приведены зависимости потенциальной энергии W p пружины от квадрата модуля упругой силы F 2 Какому графику соответствует наибольшая жесткость пружины? Укажите его номер и поясните свой выбор. 5.10. Два одинаковых маленьких пластилиновых шарика подвешены на нитях так, что касаются друг друга. Левый шарик отклоняют влево на угол α = 30 0 , а правый вправо на угол β = 60 0 и одновременно отпускают без начальной скорости. На какой угол γ отклонятся шарики от вертикали после удара? Найти потери энергии при этом взаимодействии. Вариант 6 6.1. Точка перемещается так, что ее радиус-вектор изменяется со временем по соотношению 𝑟 ⃗⃗⃗= (6t – 0,125t 2 ) 𝑖⃗ Найти скорость точки в момент t 1 = 2 c и среднюю скорость перемещения за первые t 2 = 10 c движения. 6.2. На графике приведена зависимость проекции ускорения на ось x от времени. Какую скорость будет иметь тело к концу третьей секунды движения, если в начальный момент t 0 = 0 c его скорость V 0 = 5 м/с? 6.3. Точка движется вдоль оси ОХ с постоянным ускорением а = +1м/с 2 Скорость в начальный момент времени равна V х0 = - 3 м/с. Определите среднюю путевую скорость за первые четыре секунды движения. 6.4. Тангенциальное ускорение точки меняется согласно графику. Выберите график зависимости скорости от времени, соответствующая такому движению. Ответ обоснуйте. Постройте схематично график зависимости координаты от времени. 6.5. На концах нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы разной массы. За время t = 2 с после начала движения каждый груз проходит S = 1,96 м. Определить массу меньшего груза m 1 , если масса большего груза m 2 = 1,1 кг 6.6. Математический маятник массой m = 100 г, подвешенный на нити, проходит положение, определяемое углом α = 60 0 с вертикалью. В этом положении натяжение нити равно Т = 1 Н. Чему равен модуль ускорения шарика в этот момент? 6.7. Зависимость импульса частицы от времени описывается законом 𝑝⃗ = 2𝑡𝑖⃗ + 3𝑡 2 𝑗⃗, где 𝑖⃗ и 𝑗⃗ - единичные векторы координатных осей Х, Y соответственно. Зависимость горизонтальной проекции силы F x , действующей на частицу, от времени представлена на графике под номером … 6.8. Потенциальная энергия частицы задается функцией U = -6·x 2 yz. Найти величину компоненты F x вектора силы (в Н), действующей на частицу в точке А (2, 3, 1). Функция U и координаты точки А заданы в единицах СИ. 6.9. Тело движется под действием силы, зависимость проекции F x которой от координаты х представлена на рисунке. Определите работу силы на пути 4 м. 6.10. Пуля массой m 1 = 20 г попадает в брусок массой m 2 = 5 кг, подвешенный на тросе длиной L = 4м, и застревает в нем. Определить начальную скорость пули V, если трос отклонился от вертикали на угол α = 14 0 . Найти потери энергии при этом взаимодействии. Вариант 7 7.1. Закон движения материальной точки имеет вид: 𝑟 ⃗⃗⃗ = (5 + 4t 2 ) 𝑖⃗ + 6t 2 𝑗⃗. Найти векторы скорости и ускорения, величину скорости и полного ускорения через 3 с после начала движения, уравнение траектории y(x). Начертить траекторию движения точки. 7.2. Материальная точка движется прямолинейно вдоль оси ОХ. Проекция ее скорости изменяется со временем так, как изображено на рисунке. Пользуясь графиком, определите координату х точки в момент времени t = 6 с, если её начальная координата х 0 = 1 м. 7.3. Точка движется вдоль оси ОХ с постоянным ускорением а = + 1м/с 2 Скорость в начальный момент времени равна V х0 = - 3 м/с. Найдите среднюю путевую скорость за четыре секунды движения. 7.4. Точка М движется по спирали в направлении, указанном стрелкой. Нормальное ускорение по величине не изменяется. Определите, как изменяются при этом движении величины тангенциального и полного ускорений точки? Поясните ваш ответ. 7.5. Ледяная горка составляет с горизонтом угол α = 10 0 . По ней пускают вверх камень, который, поднявшись на некоторую высоту, соскальзывает по тому же пути вниз. Найти коэффициент трения μ, если время спуска в n = 2 раза больше времени подъема. 7.6. Автомобиль массой m = 600 кг въезжает на выпуклый мост, представляющий собой дугу окружности радиусом R = 120 м. Скорость автомобиля равна υ = 108 км/ч. В некоторый момент времени радиус-вектор, проведенный из центра кривизны моста в точку, где находится автомобиль, составляет с горизонталью угол α = 60 0 . Определить силу нормального давления автомобиля на мост в этой точке. 7.7. Импульс тела 𝑝⃗ 1 изменился под действием кратковременного удара и стал равным 𝑝⃗ 2 , как показано на рисунке. Определить направление силы и пояснить свой выбор. 7.8. График зависимости потенциальной энергии W p от координаты х имеет вид, представленный на рисунке. Какой из графиков, приведенных ниже, соответствует зависимости проекции консервативной силы F x на ось x? 7.9. Материальная точка массой m = 100 г начинает двигаться под действием силы 3 3 2 F = ti t j,H . Чему равна мощность, развиваемая силой в момент времени 1с, если зависимость радиус-вектора материальной точки от времени имеет вид 2 3 r = t i t j, м |