Пояснительная записка Цель данного пособия помочь студентам глубже разобраться в разделах теоретической механики Кинематика и Динамика, научить применять представленные методы решения к практическим задачам.

• Название: Пояснительная записка Цель данного пособия помочь студентам глубже разобраться в разделах теоретической механики Кинематика и Динамика, научить применять представленные методы решения к практическим задачам.
• Дата: 14.05.2023
• Размер: 3.08 Mb.
• Имя файла: 00107dca-1ad52854.pdf
• Тип: Пояснительная записка; #1129524
• страница: 3 из 8

Пример 6. На шкив радиусом R= 20 см свободно намотана нерастяжимая нить, на которой висит груз (рис. Двигаясь вертикально вниз из состояния покоя по уравнению x= 400t
2
м, где x- расстояние от неподвижной оси mn,

33 груз приводит во вращение шкив. При этом нить сматывается без скольжения. Найти закон вращательного движения, угловую скорость и угловое ускорения шкива, а также полное ускорение обода колеса. Решение. Система состоит из трех тел шкива, груза В и нити. Шкив совершает вращательное движение, а грузи нить – поступательное. Отметим точку А, которая принадлежит одновременно двум телам – шкиву и нити. Скорость точки А, принадлежащей нити, а V
b
= dx/dt = 800t см/с Рис. 4 Так как по условию задачи нить нерастяжима и сматывается без скольжения, то скорость той же точки А, но принадлежащей шкиву, равна А
= R
ω=20 ω, тогда 20 ω= 800t, ω=40t с. Угловое ускорение шкива ε = d ω/dt=40 с const Закон вращательного движения шкива
2 2
o
t
t





Так как по условию ω
0
=0, то Касательное ускорение точки А α
t
=Rε=20*40 =8 мс const Нормальное ускорение точки А
2 4
2 2
/
,
1600 1
800
с
см
t
a
a
a
n
t




Пример 7 Маховое колесо вращается равномерно с угловой скоростью 16
рад/с. Определит, сколько оборотов сделает колесо за 5 мин вращения. Решение 1.

34 1. Находим угол поворота в радианах, имея ввиду что ω= 16 рад/с и t=
5мин=300с:
φ= ωt =16*300=4800 рад
2. Находим число оборотов маховика
763 2
4800 2






N
оборота. Решение 2.
1. Переведем угловую скорость ω=16 рад/с в об/мин:
5
,
152 14
,
3 16 30 30






n
об/мин
2. Имея ввиду, что уравнение равномерного вращательного движения можно представить так N = nt, находим N=152,5 *5 = 763 оборота Пример 8 Маховик, вращающийся с частотой n
0
= 90 об/мин, с некоторого момента начинает вращаться равноускоренно и через 1,5 мин достигает частоты вращения n =150 об/мин. Определить угловое ускорение маховика Какую скорость имеют точки на цилиндрической поверхности маховика через 45 сек после начала равноускоренного движения, если диаметр маховикам Решение Все угловые величины выражаем в радианном измерении.
1. Если n
0
= 90 об/мин, то 30 0


n
рад/с
2. Если n = 150 об/мин, то



5 30


n
рад/с
3. Из уравнения ω = ω
0
+ ε t находим угловое ускорение, учитывая, что изменение угловой скорости происходит за t=1,5 мин=90с:
2 0
/
45 90 3
5
с
рад
t











Определяем из формулы рад 90 2
)
3 5
(
2
)
(
0





Находим, какому числу оборотов соответствует этот угол поворота
180 2
360 2







N
оборотов.

35 4. Прежде, чем найти по формуле v
1
= R ω
1 скорость точек на ободе маховика в момент времени t = 45 с после начала равноускоренного вращения, необходимо найти угловую скорость маховика ω
1
в этот момент
ω
1
=ω
0
+ ε t
1
= 3π+ π/45*45= 4 π рад/с Зная, что
6
,
0 2


d
R
м, получаем v
1
= R ω
1
=4 π*0,6 = 7,54 мс Пример 9. Колесо, вращающееся с частотой 1500 об мин, при торможении начинает вращаться равнозамедленно и через 30 с останавливается. Определить угловое ускорение и число оборотов колеса с момента начала торможения до остановки. Решение.
1. Выразим начальную угловую скорость в рад/с:
157 30 0


n


рад/с
Найдем угловое ускорение из формулы 30 157 0
0






t



рад/с
2.





5
,
0 2
1500 0
2 0
t
n
n
N
375 оборотов Пример 10. Неравномерное вращательное движение. Вращение вала в течение первых с происходит согласно уравнению φ=0,8 t
3
. определить угловую скорость вала в конце й секунды, угловое ускорение вначале движения, в конце й и й секунды, сколько всего оборотов сделает вал за 20 с. Решение.
1. Определим число оборотов вала за 20 с. Для этого предварительно найдем угол поворота за 20 с φ=0,8 t
3
= 0,8 * 20 3
= 6400 рад.
2.
1020 2
6400 2






N
оборотов
3. Определим уравнение угловой скорости вала
2 3
4
,
2
)
8
,
0
(
t
t
dt
d






Найдем угловую скорость вала в конце й секунды к t
2
= 2,4 *20 2
= 960 рад/с Если выразить эту угловую скорость в об/мин, ток об/мин

36 4. Определим уравнение углового ускорения
t
t
dt
d
8
,
4
)
4
,
2
(
2






5. Найдем угловое ускорение вначале движения (t=0), в конце й секунды
(t=10), и й секунды (t=20):
ε
0
= 4,8t
0
=0; ε
10
= 4,8t
10
=48 рад/с; ε
20
= 4,8t
20
=96 рад/с. Задачи для самостоятельного решения Вариант 1
1. Поезд движется со скоростью 72 км/час, при торможении он получает ускорение (замедление, равное 0,4 мс. Найти, за какое время до прихода поезда на станцию и на каком от нее расстоянии должно быть начало торможения. Ответ см. Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно, через
10 мин после начала движения оно имеет частоту вращения 120 об/мин. Сколько оборотов сделало колесо за эти 10 минут Ответ 600 оборотов Вариант 2
1. Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/час, определить замедление (ускорение) его при посадке на пути S=1200 м, движение равнозамедленное. Ответа мс. Колесо, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую скорость
ω=2π рад/сек, сделав 10 оборотов, оно вследствие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое ускорение колеса, считая его постоянным. Ответ ε=0,1 π рад/с
2
Вариант 3
1. При загрузке бетономешалки частота вращения барабана падает с 20 до 15 об/мин в течение 1 мин. Вычислить угловое ускорение, считая его постоянными число оборотов бетономешалки за этот промежуток времени. Ответ ε =0,0087
рад/с
2
, N= 17,5 оборотов
2. Тепловоз проходит закругление длиной 960 м за 40 секунд. Радиус закругления по всей его длине 800 м. определить скорость тепловоза и ускорение, если движение равномерное. Ответ V= 24 мс, а мс

37 Вариант 4
1. В момент включения двигателя маховик имел 210 об/мин. Сколько оборотов сделает он до полной остановки при замедлении (ускорении) 0,628 рад/с? Какова продолжительность торможения Ответ N=61,3 оборотов t=35c
2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 49 мс. Определить наибольшую достигнутую высоту. Ответ H= 122,5 м Вариант 5
1. Какой наружный диаметр имеет шлифовальный круг, если его частота вращения 3350 об/мин, а скорость шлифования составляет 35 мс Ответ м
2. Считая, что спутник движется равномерно вокруг Земли по круговой орбите радиусом 6750 км, и его период обращения 1 час 31 мин, определить скорость и нормальное ускорение. Ответ V= 7,76 км/с, а м/с
2
Вариант 6
1. Барабан подъемной машины имеет диаметр 5,6 м. Скорость движения каната
16 мс. Определить частоту вращения барабана. Сколько оборотов сделает барабан вовремя подъема, если глубина шахты 575 м Ответ n=54, 6 об/мин,
N= 32,7 оборота
2. Тело свободно падает с высоты 44,1 м. Определить время падения и скорость в момент достижения Земли. Ответ t=3 c; V= 29,4 мс Вариант 7
1. Поезд, имея начальную скорость 57 км/час, прошел 600 м за первые 30 секунд. Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и ускорение поезда в конце 30 секунды, если рассматриваемое движение поезда происходит на закругленном радиусе R=1 км. Ответ V=25 мс, а мс. С момента выключения мотора пропеллер самолета, вращавшийся с n=1200 об/мин, сделал до остановки 80 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки, если вращение равнозамедленное? Ответ t=8
c Вариант 8

38 1. Угол полного ускорения точки обода махового колеса к радиусу равен 60 Касательное ускорение ее в данный момент α
t
=10√3 мс. Найти нормальное ускорение точки, отстоящей от оси вращения на расстоянии R=0,5 м. Радиус колесам. Ответ α
n
= 5 мс. Точка движется с начальной скоростью V
0
= 1,2 мс и касательным ускорением
α
t
= 1,2 мс и проходит путь S= 30 м. Найти конечную скорость. Ответ км с Тест №7 Вращательное движение. Линейная скорость. Угловая скорость. Для каждого вопроса группы А указать правильный ответ из группы А, для каждого вопроса группы В указать правильный ответ из группы В. Вопросы группы А
1. Что называется периодом вращательного движения
2. Что называется частотой вращения
3. Какая существует аналитическая связь между частотой и периодом
4. В каких единицах измеряется период
5. В каких единицах измеряется частота
6. Что называется линейной скоростью вращательного движения
7. Как направлена линейная скорость
8. В каких единицах измеряется линейная скорость Вопросы группы В
1. Какой вид имеет формула линейной скорости
2. Что называется угловой скоростью
3. Какой вид имеет формула угловой скорости
4. В каких единицах измеряется угловая скорость
5. Что принимается за один радиан
6. Сколько радиан содержится в полной окружности
7. Какая существует аналитическая связь между линейной и угловой скоростью
№ Вариант А
№ Вариант В

39 вопр. вопр.
Т
центральный угол, дуга которого равна одному радиусу
по окружности
2π=6,28
с
Т мс
величина, измеряемая отношением угла, на который поворачивается точка (тело, ко времени поворота
время одного оборота
π=3,14
число оборотов в 1 мин
V= ωR
по касательной к окружности
Т
с
Т
скорость движения точки по окружности рад/с
число оборотов в 1 с
ω=VR Тест №8 Центростремительное ускорение. Центростремительная и центробежная силы Для каждого вопроса группы А указать правильный ответ из группы В. Тоже для группы С Вопросы группы А
1. Какое вращательное движение называется равномерным
2. Остается ли постоянной при равномерном вращательном движении линейная скорость как векторная величина
3. Какая величин характеризует изменение линейной скорости по направлению при равномерном вращательном движении
4. Какой вид имеет формула центростремительного ускорения
5. В каких единицах измеряется центростремительное ускорение
6. Может ли возникнуть ускорение без воздействия на тело силы

40 7. Какая сила является центростремительной
8. Какая сила является центробежной
№ вопр Ответы группы А сила с которой удерживающее тело действует на вращающееся тело центробежное ускорение Нет. Скорость непрерывно изменяется по направлению м/с
2
…сила, с которой тело, вращающееся по окружности, действует на связь
a=ω
2
/R движение, при котором угловая скорость остается постоянной Нет. Ускорение всегда возникает под действием силы центростремительное ускорение Вопросы группы В
1. Какое направление имеет центростремительная сила
2. Какое направление имеет центробежная сила
3. Какой вид имеет формула центробежной силы
4. Какой вид имеет формула центростремительной силы
5. В каких единицах измеряется центробежная сила в СИ
6. На основании какого закона можно заключить, что центробежная сила и центростремительная сила равны
7. Могут ли центробежная и центростремительная силы возникать и исчезать одновременно
8. Какой вид имеет формула центробежной силы
№ вопроса Ответы группы В в Ньютонах Да, эти силы возникают и исчезают одновременно на основании второго закона Ньютона

41 по радиусу к центру окружности
F=mV
2
/R в килограммах
F=mω
2
/R на основании третьего закона Ньютона Нет. Они могут исчезать и возникать в разное время по радиусу от центра окружности Вопросы группы С
1. Могут ли центростремительная и центробежная силы взаимно уравновешиваться
2. Камень, привязанный к нити, вращается по окружности. Какая сила в этом случае является центробежной
3. Какая сила в примере предыдущего вопроса является центростремительной
4. Автомашина движется по выпуклому мосту. Чему равна здесь центростремительная сила в момент прохождения автомашины через середину моста
5. Какая сила в примере предыдущего вопроса является центробежной
6. Какая сила является центростремительной во вращательном движении Луны вокруг Солнца
7. Какая сила в примере предыдущего вопроса является центробежной
№ вопр. Ответы группы В сила, с которой нить действует на камень сила. с которой камень действует на нить сила, с которой Луна притягивает Землю разности силы тяжести, действующей на машину, и реакции моста могут, так как центробежная и центростремительная силы равны по величине и противоположны по направлению сила, с которой Луна притягивается к Земле

42 сила, с которой мост давит на машину Нет. Центробежная и центростремительная силы приложены к разным телам сила, возникающая вследствие движения автомашины по окружности и действующая на Землю вертикально вверх Тест № 9 Вращательное движение Для каждого вопроса выбрать правильный ответ из трех ответов, расположенных водной горизонтальной графе Вопросы
1. При равномерном вращательном движении величина скорости не изменяется. Почему же возникает центростремительно ускорение
2. Чему равен угол между скоростью и ускорением в прямолинейном движении
3. Чему равен угол между линейной скоростью и центростремительным ускорением
4. Зависит ли центростремительное ускорение равномерного вращательного движения от массы вращающегося тела
5. Каким законом Ньютона пользуются при выводе формулы центростремительной и центробежной сил
6. На основании какого закона Ньютона делают заключение о равенстве центробежной и центростремительной сил
7. Почему центробежная и центростремительная силы взаимно не уравновешиваются
8. Могут ли центробежная и центростремительная силы возникать и исчезать в разное время
9. Как изменяется центростремительное ускорение при увеличении радиуса вращения, если частота вращения остается неизменной
10. Как изменяется центростремительная сила приуменьшении радиуса вращения, если частота и масса тела постоянны

43 Ответы
№ вопр
№ отв Группа А Группа В Группа С
1
ввиду того, что при вращательном движении линейная скорость изменяется по направлению ввиду того, что вращательное движение вызвано действием на тело некоторой силы ввиду того, что центростремительное ускорение не зависит от линейной скорости
2 90 0
0 0
180 0
3 90 0
0 0
180 0
4
и зависит и не зависит зависит не зависит
5
третьим законом вторым законом первым законом
6
второго закона первого закона третьего закона
7
потому что эти силы действуют на разные тела нет. Эти силы могут уравновешиваться потому что они неравны между собой
8
да, могут возникать и исчезать в разное время возникают в разное время, но исчезают одновременно эти силы возникают и исчезают одновременно
9
уменьшается возрастает остается неизменной
10
уменьшается остается неизменной возрастает

44 Тест №10 Вращательное движение Для каждой величины указать определение (гр.А). буквенное обозначение этой величины (гр.В), сокращенное обозначение ее единицы или размерность
(гр.С)
№ вопр. Величина Ответы
№ Определение
Гр.А
№ Буквенное обозн.
Гр.В
№ Размерность
Гр.С
1 Линейная скорость вращательного движения сила, удерживающая мат. точку при движении по окружности и направленная к центру вращения
f
Об/мин
2 Период вращения величина, численно равная угловому перемещению точки в единицу времени
φ с
-1
=об/с
3 Частота вращениям Число оборотов в минуту величина, численно равная отношению длины дуги, которую проходит точка за некоторый промежуток времени, к этому промежутку.
T Н
5 Угловая скорость угол, на который поворачивается тело за единицу времени
F
цб мс
6 Центростремительное ускорение число оборотов точки вокруг оси вращения в единицу времени а рад

45 7 Центробежная сила угол, на который поворачивается тело за время t n
8 Центростремительная сила величина, характеризующая изменение направления линейной скорости при вращательном движении
l=2πR
Рад/с
9 Угловое перемещение время, затрачиваемое точкой на один полный оборот вокруг оси вращения
F
цс с
10 Длина окружности
… сила, действующая на удерживающее тело и возникающая вследствие вращениям с Тест №11 Равномерное вращательное движение Для каждой величины указать различные варианты правой части формулы, выражающей эту величину
№ вопр Величина Ответы
№ ВариантА №
ВариантВ
№
ВариантС
1 Линейная скорость вращательного движения mV
2
/R mω
2
/R mV
2
R
2 Угловая скорость
2πf
ω
2
R
3 Центростремительное ускорение
2π R n/60
πRn/30 4 Центробежная сила
2π Т
4 π
2
f
2
R
5 Центростремительная сила
1/f
πD

46 6 Период вращения
V
2
/R Т
4 π
2
m f
2
R
7 Частота вращения
60 f mω
2
R
8 Число оборотов в минуту Т
9 Угловое перемещение
2π R f
πn/30 10 Длина окружности
ωt

47 Тест №12 КИНЕМАТИКА вариант 1 Вопросы Ответы Код
1. Закон вращательного движения тела
φ= 1,2 t
2
+ 2,4 t ? Определить, за какое время угловая скорость тела достигнет величины ω = 19,2 рад/с
2,4 с
1 с
2 с
3 12,4 с
4 2. Выбрать соответствующий кинематический график движения, если закон движения
φ

1   2   3   4   5   6   7   8