Пояснительная записка Цель данного пособия помочь студентам глубже разобраться в разделах теоретической механики Кинематика и Динамика, научить применять представленные методы решения к практическим задачам.

• Название: Пояснительная записка Цель данного пособия помочь студентам глубже разобраться в разделах теоретической механики Кинематика и Динамика, научить применять представленные методы решения к практическим задачам.
• Дата: 14.05.2023
• Размер: 3.08 Mb.
• Имя файла: 00107dca-1ad52854.pdf
• Тип: Пояснительная записка; #1129524
• страница: 2 из 8

1. Точка движется по линии ABC ив момент t занимает положение В. Определить вид движения точки
a
t
= Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Неравномерное
4 2. По графику скоростей определить вид движения на участке 3 Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Неравномерное
4 3. Автомобиль движется по круглому арочному мосту
r = 100 м согласно уравнению Определить полное ускорение автомобиля через 3 сдвижения мс 1
4 мс 2
3,24 мс 3
6,67 мс 4

15 4. По графику скоростей точки определить путь, пройденный за время движениям мм м
4 5. Тело, двигаясь из состояния покоя равноускоренно, достигло скорости v = 10 мс за 25 с. Определить путь, пройденный телом за это время
S=125 мм мм Тест № 3 КИНЕМАТИКА вариант 3 Вопросы Ответы Код
1. Точка движется по линии АВС ив момент г занимает положение В. Определить вид движения очки а Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Неравномерное
4 2. По графику скоростей определить вид движения на участке 3
Равномерное
1
Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3
Неравномерное
4 3. Автомобиль движется по круглому арочному мосту r
= м согласно уравнению S=l0 t. Определить полное ускорение автомобиля через 3 сдвижения а = 2 мс 1 а = 4 мс 2 а = 4,47 мс 3

16 а = 6,67 мс 4
4. По графику скоростей точки определить путь, пройденный за время движениям м
4 5. Тело, двигаясь из состояния покоя равноускоренно, достигло скорости V=50 мс за 25 с. Определить путь, пройденный телом за это время
S = 125 мм мм Тест № 3 КИНЕМАТИКА вариант 4 Вопросы Ответы Код
1. Точка движется по линии ABC равноускоренно. Как изменится полное ускорение точки в момент перехода из точки В в точку В'
Неизменится
1 Изменится по величине
2 Изменится по направлению
3 Изменится по величине и по направлению
4
2. По приведенным кинематическим графикам определить соответствующий закон движения точки
Vt
S

1 2
2 0
0
at
t
V
S
S



2 2
2 0
at
t
V
S


3 2
2 0
at
t
V
S


4 3. Точка движется равноускоренно по окружности
V
0
= 0,5 мс
1

17
r= 10 м согласно уравнению S=0,5t
2
+ 2t. Определить начальную скорость
V
0
= 2 мс
2
V
0
= 2,5 мс
3
V
0
= 3,5 мс
4 4. По приведенному графику скорости определить путь, пройденный за время движениям мм м
4 5. Тело движется по дуге радиусам с постоянной скоростью 18 км/ч. Определить ускорение тела
a = 0,35 мс 1
a = 0,5 мс 2
a = 0,65 мс 3
a = 6,48 мс 4 Тест № 3 КИНЕМАТИКА Вариант 5 Вопросы Ответы Код
1. Шарик скатывается по желобу ABCDE трение отсутствует, V
A
= 0). В данный момент параметры его движения V = 2 мс а —2 мс а = 0. На каком из участков желоба находится шарик
1 2
3 4
2. По графику скоростей определить вид движения на участке 1 Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Неравномерное
4 3. Точка движется прямолинейно согласно уравнению S=0,5t
2
+ 10t+5
V
Q
= 10 мс а = 1 мс 1
V
Q
= 10 мс a=1 мс 2

18 Определить начальную скорость и ускорение на ей секунде движения
V
Q
= 30 мс а = 4 мс 3
V
Q
= 30 мс а = 3 мс 4
4. По заданному графику скоростей точки определить путь, пройденный за время движениям мм м
4 5. Тело, имевшее начальную скорость
120 мс, остановилось, пройдя 1200 м. Определить время до остановки с
1 t =6 c
2 t=10c
3 t=15c
4 Ответы к тесту №3 для самопроверки Вопросы
1 2
3 4
5 Вариант 1 2
4 3
4 2 Вариант 2 3
3 3
2 1 Вариант 3 2
3 1
3 2 Вариант 4 4
3 2
2 2 Вариант 5 4
4 1
2 1 Тест №4 Свободное падение Вариант 1 1. Что называется свободным падением
2. К какому виду движения относится свободное движение
3. Что можно сказать о числовом значении ускорения свободного падения в данной точке Земли для тел разного веса

19 4. Как изменяется ускорение свободного падения при увеличении высоты падения над поверхностью Земли
5. Чему равно ускорение свободного падения на экваторе
6. Каково значение ускорения свободного падения на полюсе
7. Какое значение ускорения свободного падения условились считать нормальным
№ отв. Ответы ускорение свободного падения уменьшается движение тела из состояния покоя под действием силы тяжести
9,832 мс движение тела из состояния покоя в безвоздушном пространстве под действием силы тяжести
9,78 мс прямолинейное ускоренное движение ускорение свободного падения остается постоянным
9,80665 мс прямолинейное равномерно ускоренное движение ускорение свободного падения возрастает Вариант 2 1. К какому виду движения относится движение тела, брошенного в безвоздушном пространстве вертикально вверх
2. Имеют ли одинаковое значение начальная скорость бросания и конечная скорость падения при движении тела в безвоздушном пространстве
3. Будет ли время подъема при движении тела в безвоздушном пространстве равно времени его падения
4. Чему равна скорость свободного падения (выразить словами формулу скорости свободного падения)
5. Чему равна высота свободного падения (выразить словами формулу пути при свободном падении)
6. Чему равен квадрат скорости свободного времени (выразить словами эту формулу)

20
№ отв. Ответы прямолинейное замедленное движение произведению ускорения свободного падения на время падения начальная скорость бросания больше конечной скорости падения половине произведения ускорения свободного падения на время падения начальная скорость бросания равна конечной скорости падения половине произведения ускорения свободного падения на квадрат времени время падения больше времени подъема удвоенному произведению ускорения свободного падения на высоту время падения равно времени подъема прямолинейное равнозамедленное движение Равномерное криволинейное движение точки Если a
t
=0 и a
n
≠0, то модуль скорости остается неизменным (точка движется равномерно, но ее направление изменяется и точка движется криволинейно (рис. 3). Иначе, при равномерном движении по криволинейной территории точка имеет нормальное ускорение, направленное по нормали к траектории и численно равное a
n
=v
2
/ρ, где ρ – радиус кривизны траектории. Рис. 3 В частном случае движения точки по окружности радиус кривизны траектории во всех ее точках постоянный ρ=r=const, атак как и числовое значение скорости постоянно, то
const
V
a
n



2

21 При равномерном движении числовое значение скорости определяется по формуле
t
S
S
V
0


, или Если точка совершит полный пробег по окружности, то путь s равен длине окружности, те. s= 2π r= π d , а время равно периоду, те. t=T. Выражение скорости примет вид Пример 3. Тепловоз проходит закругление длиной 800 м засек. Радиус закругления по всей его длине постоянный и равняется 400 м. Определить скорость тепловоза и нормальное ускорение, считая движение равномерным. Решение
1. Принимая тепловоз за материальную точку, найдем его скорость v =
16 50 800


t
S
мс
2. Находим нормальное ускорение
2 2
400 16



V
a
n
= 0,64 мс 3. Таким образом, при равномерном движении тепловоза по закруглению со скоростью 16 мс он имеет нормальное ускорение a n
= 0,64 м/с
2
Равнопеременное движение точки Если a
t
= const (касательное ускорение постоянно как по модулю, таки по направлению, то a
n
=0. Такое движение называется равнопеременными прямолинейным. Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения
dt
dV
a
t

= const, то a
n
≠0 и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным. При │ a t
│> 0 движение точки называется равноускоренным, а при │ a
t
│< 0
- равнозамедленным.

22 Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид
2 2
0 0
t
a
t
V
S
S



; где S
0
- расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета
V
0
- начальная скорость и a
t
-
касательное ускорение – величины численно постоянные, аи- переменные. Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяются из уравнения V=V
0
+ a t
t. Уравнения эти являются основными формулами равнопеременного движения, и они содержат шесть различных величин три постоянные S
0,
V
0
, и три переменные S, V, t Для удобства решения есть вспомогательные формулы
t
V
V
S
S
2
)
(
0 0



;
t
a
V
V
S
S
2
)
(
2 0
2 В частном случае, когда начальные величины S
0
=0 и V
0
=0, то получаем те же формулы в упрощенном виде
2 2
t
a
S

t
a
V
t

t
V
S
2

t
a
V
S
2 Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением. К этому движению применимы те же формулы, причем a
t
= g= 9,81 мс 2
2
gt
S

gt
V


23
t
V
S
2

t
a
V
S
2 Пример 4. Шарик, размерами которого можно пренебречь, начинает скатываться по наклонной плоскости из состояния покоя. Через 20 с после начала движения шарик находится от исходного положения на расстоянии
6 м. Определить ускорение шарика и его скорость в конце й м й с, а также расстояние , пройденное шариком за первые с. Решение.
1. Из условия задачи следует, что S
0
=0 и V
0
=0. Пройденное за t
2
с расстоянием. Даны четыре величины. Требуется определить ускорение шарика (движение прямолинейное, значит определить нужно только a
t
), скорости
V
10
, V
20
и расстояние S
10 2. Найдем из формулы
2
Vt
S

скорость шарика, которую он приобретает в конце й с
2 20 20 2
t
S
V

=

20 6
*
2
= 0,6 мс
3. Найдем из формулы V= a
t
t ускорение шарика, которое он имеет, двигаясь по наклонной плоскости
2 20
t
V
a
t

=
20 6
,
0
= 0,03 мс 4. Теперь из этой же формулы можно найти скорость в конце й с
V
10
= a t* t
1
= 0,03 * 10 = 0,3 мс
5. Из формулы
2 находим расстояние, пройденное точкой за первые
10 см Решить самостоятельно Задача 1 Поезд, двигаясь со скоростью 72 км/час, подходя к станции, начал тормозить. Определить время и путь торможения, если замедление 0,4 мс – величина постоянная.

24 Задача 2 Автомобиль, движущийся равномерно и прямолинейно со скоростью 60 км/час, увеличивает в течение 20 с скорость до 90 км/ч. Определить, какое ускорение получит автомобиль и какое расстояние он проедет за это время, считая движение равноускоренным. Тест №5 Кинематика точки. Графики движения По названию графика начертить график вопроса Название графика Вид графика
1 График пути равномерного движения
2 График скорости равномерного движения

25 3 График скорости равноускоренного движения
4 График скорости равноускоренного движения безначальной скорости
5 График ускорения равноускоренного движения
6 График скорости равноускоренного движения с начальной скоростью
7 График скорости равнозамедленного движения
8 График пути движущейся точки, которая движется равномерно, а затем останавливается

26 9 График скорости движущейся точки, которая равноускоренно, а затем равномерно
1 0 График скорости равнозамедленного движения с конечной скоростью, равной нулю Тест № 6 Уравнения движения Каждому наименованию левой части уравнения определить соответствующую правую часть уравнения в группе Аи группе В Наименование левой части уравнения Правая часть уравнения для движения
№ отв. Безначальной скорости(гр.А)
№ отв. С начальной скоростью(гр.В)
1 Путь равномерного движения
…=2aS
…=V
0
+ at
2
/2 2 Путь равнопеременного движения, выраженный через ускорение
…=gt
2
/2
…=V
0
+at

27 3 Конечная скорость равнопеременного движения
…=V/2
…=(V
t
-V
0
)/t
4 Ускорение равнопеременного движения
…=gt
V
t
2
– V
0 2
=2aS
5 Средняя скорость равнопеременного движения
…=Vt
…= (V
t
-V
0
)t/2 6 Квадрат скорости равнопеременного движения (или … квадратов скоростей для движения с начальной скоростью)
…=Vt/2
…=V
0
t+at
2 7 Путь равнопеременного движения. выраженный через среднюю скорость
…=2gH
…= (V
t
+V
0
)t/2 8 Высота свободного падения
…= at
2
/2
V
t
2
+ V
0 2
=2aS
9 Скорость свободного падения
…=V/t
…= (V
t
+V
0
)t/2 10 Квадрат скорости свободного падения
…=at
…=V
0
t+at
2
/2
Простейшие движения твердого тела. Поступательное движение твердого тела. Движение твердого тела называют поступательным, если любой прямолинейный отрезок, неизменно связанный с телом, остается в процессе движения параллельным самому себе. При поступательном движении твердого тела все точки его описывают тождественные траектории.

28 Скорости поступательно движущегося тела по модулю и направлению равны между собой
V
1
= V
2
=V
3
= ….= Ускорения всех точек поступательно движущегося тела по модулю и направлению равны между собой
α
1
= α
2
= α
3
=…. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к изучению движения какой-либо одной из его точек. Обычно в качестве такой точки рассматривают движение центра тяжести С. Уравнения движения центра тяжести в координатной форме
X
c
=ƒ
1
(t)
Y
c
=ƒ
2
(t)
Z
c
=ƒ
3
(t)
Или в естественной форме с ƒ (t)
Y
c
=φ (X
c
) Различают поступательное движение твердого тела и прямолинейное движение точки. Точки твердого тела, движущегося поступательно, могут описывать любые криволинейные траектории. В частном случае эти траектории могут быть прямолинейными. Кинематические элементы поступательного движения твердого тела линейное перемещение, линейная скорость, линейное ускорение. Зависимости для равнопеременного поступательного движения такие же , как и для равнопеременного движения. Полный путь определяют по формуле
2
v
2
o
at
t
S


, где V
0
– начальная скорость. Полный путь можно определить, используя среднюю скорость
2 0
V
V
V
ср


; S = V
ср t
2 0
V
V


t; Если вместо t подставить
a
t
)
V
-
V
(
o

; то
*
2 0
V
V
S


a
o
V
-
V
=
a
V
V
2 2
0 Вращательное движение твердого тела.

29 Движение твердого тела называют вращательным, если в движущемся теле или вне его имеется ось вращения, которая при вращении остается неподвижной, а плоскость, проведенная через эту ось и произвольную точку тела, совершает поворот вокруг оси. Законом, или уравнением вращательного движения тела вокруг неподвижной оси, называют равенство, при помощи которого задается угол поворота тела φ как функция времени, те. φ = ƒ (t). Быстроту и направление вращения тела характеризует угловая скорость ω, равная первой производной повремени от угла поворота, те. Для характеристики быстроты изменения угловой скорости ω служит угловое ускорение ε, равное первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота, те.
)
(
2 2
t
f
dt
d
dt
d







, при этом, если
ω>0, ε>0 – движение ускоренное, если ω>0, ε< 0, то движение замедленное. Таким образом, основными кинематическими элементами вращательного движения являются угловое перемещение φ, в радианах угловая скорость ω, в рад/сек или в сек
-1
угловое ускорение ε, в рад/сек
2
или в сек
-2
Угловую скорость в технике часто измеряют числом оборотов n. При этом угловая скорость связана с n соотношением
30
n



. Частные случаи вращения тела
1. Если ω= const и, следовательно,
0


dt
d


, то вращение тела называют равномерным в этом случае закон вращательного движения имеет вид φ= φ
0
+ ωt, где φ
0
– угол поворота в начальный момент времени.
2. Если ε = const, то вращение тела называют равнопеременным. В этом случае
ω = ω
0
+ ε t;

30 2
2 где ω
0
– начальная угловая скорость, при этом, если ω
0
>0, ε>0 – движение равноускоренное, а если ω
0
>0, ε< 0, то движение равнозамедленное. Основные зависимости для равноускоренного ( равнозамедленного) вращательного движения. Полный угол поворота определяем по уравнению
2 начальный угол поворота принят равным нулю Полный путь можно определить, введя среднюю угловую скорость
2 0





ср
; тогда φ= ω ср.
t ;
2
)t
(
o





; угловое ускорение равно
t
)
-
(
o




, откуда



0


t
, следовательно,
φ= ω ср.
t=





0 0
*
2


=



2 2
0 Угловые величины вращающегося тела и линейные величины движущейся точки. Точка совершает либо прямолинейное, либо криволинейное движение, а тело – поступательное, вращательное или плоскопараллельное движение. Траекторией любой точки М, принадлежащей вращающемуся телу и отстоящей от оси вращения на расстоянии R, является окружность радиусом R. Если за время t тело повернулось на угол φ и имеет в в этот момент времени угловую скорость ω и угловое ускорение ε, то
1) линейное перемещение точки (длина дуги) S=Rφ;
2) линейная скорость ее равна v=Rω и направлена по касательной к окружности в сторону вращения
3) тангенциальное ускорение равно α
t
=Rε, а по направлению совпадает со скоростью v при ускоренном вращении и противоположно вектору скорости при замедленном вращении
4) нормальное ускорение равно
2 2
)
(
R
R
R
V
a
n



= ω
2
R и всегда направлено по радиусу коси вращения

31 Ускорение точки равно геометрической сумме нормального и касательного ускорений α = α
t
+ Модуль ускорения определяют по формуле
2 4
2 2
2
)
(
)
(








R
R
R
a
Ускорение отклонено от нормали к траектории на некоторый угол, определяемый из соотношения Основные уравнения, характеризующие поступательное и вращательное движения твердого тела Поступательное движение Вращательное движение Название Формула Название Формула Масса Момент инерции
g
Gr
mr
I
2 Путь Угол поворота
2 2
o
t
t






32 2
v)t
(v o


S
a
S
2
)
v v
(
2
o
2


2
)t
(
o









2
)
(
2 Время v)
v
(
2
o


S
t
a
t
)
v
- Время Конечная скорость o
v t
2S
v


at


o v
v
aS
2
v Конечная угловая скорость o
t
2





t





o



2 Начальная скорость v
2
v o


t
S
at
- v
v o

aS
2
v Начальная угловая скорость





t
2
o
t



- o




2 Ускорение
2
o
)
v
(
2
t
t
S
a


t
a
)
v
- Угловое ускорение Основное уравнение движения Основное уравнение движения Соотношения между вращательными поступательным движением Перемещение Скорость Касательное ускорение Нормальное ускорение Полное ускорение
)
(
2 Направление ускорения
2





n
t
a
a
tg

1   2   3   4   5   6   7   8