Пояснительная записка Цель данного пособия помочь студентам глубже разобраться в разделах теоретической механики Кинематика и Динамика, научить применять представленные методы решения к практическим задачам.
 Скачать 3.08 Mb.
|
|
0 равноускоренно поднимают груз весом G= 200 Н, постоянной силой Н, направленной параллельно наклонной плоскости. Определить, сколько времени потребуется, чтобы переместить грузна расстояние АВ, если коэффициент трения при движении груза по наклонной плоскости ƒ=0,05 Решение. 1. Изобразим тело на наклонной плоскости с приложенными к нему силами G и Р, а также силой трения три нормальной реакцией N наклонной плоскости. Находясь под действием этих сил, тело движется по наклонной плоскости с постоянным ускорением α. 74 Рис. 10 2. Груз перемещается равноускоренно, безначальной скорости. Время движения можно определить из уравнения движения 2 at S , откуда a S t 2 , но предварительно необходимо определить ускорение α 3. Так как груз движется с ускорением, то силы G, P, N, F, приложенные к нему, не образуют уравновешенной системы. Приложим к грузу силу инерции Р и = mα = g Ga , направив ее в сторону, противоположную ускорению α. Теперь система пяти сил G, P, N, F тр , Р и является уравновешенной. 4. Выберем системы координат, спроектируем все силы на оси, получим два уравнения равновесия ΣX=0; P-G три (1) ΣY =0; N-G cos α =0 (2) 5. Из уравнения (1) найдем и P-G sinα-F тр , где F тр =ƒN Нормальное давление найдем из уравнения (2) N= G cos α Поэтому и P-G sinα- ƒ G cos α=3,6 Н 6. Из выражения Р и = mα = g Ga найдем ускорение и 81 , 9 * 6 , 3 0,18 мс 7. Подставив значение ускорения в выражение a S t 2 , найдем время перемещения груза по всей длине наклонной плоскости 75 a S t 2 = 18 , 0 4 * 2 =6,7 с Применение принципа Даламбера при решении задач на криволинейное движение точки Как известно из кинематики, при движении материальной точки по криволинейной траектории ее ускорение α имеет два составляющих ускорения α t - касательное (тангенциальное) и α n - нормальное (центростремительное). Из динамики уже известно, что ускорение α, приобретенное точкой, есть результат действия определенной системы сил. Равнодействующая Р этой системы и ускорение и находятся в зависимости, выражающей основной закон динамики точки P=mα Если уравновесить силу Р приложением к точке силы инерции Р и , а затем разложить ее на две составляющие Р иt Р иn соответственно по нормали и по касательной, то эти составляющие будут находиться в зависимости от нормальных и касательных ускорений , определяемых такими векторными равенствами Р иt = - mα t и Р иn = - В задачах на криволинейное движение точки в основном рассматривается нормальная (центробежная) сила инерции Р иn Числовое значение нормальной (центробежной) силы инерции можно следующими формулами Р иn = - mα n . Заменим здесь 2 V a n ; mV P ин Если материальная точка, рассматриваемая в задаче, связана с каким- либо вращающимся телом, то скорость точки удобнее выражать через угловую скорость тела v= ωr и тогда Р иn =m ω 2 r Если в последней формуле выразить массу точки через ее веса угловую скорость тела – в об/мин , 30 n то 900 2 2 g n G P ин ; если учесть, что π 2 = g (9,86≈9,81), поэтому 900 2 n G P ин 76 Эта формула дает приближенное значение центробежной силы ; но она очень удобна при решении многих задач. Последовательность решения задач на криволинейное движение при помощи метода кинетостатики та же. Методические указания к решению задач При решении задач с применением принципа Даламбера необходимо придерживаться следующего порядка 1. Выбрать объект рассмотрения, принять егоза материальную точку систему материальных точек) и изобразить ее в текущий момент времени. Выбрать направление ускорения. 2. Приложить все активные (заданные) силы, действующие на точку. 3. Освободить точку от связей, заменив их действие реакциями. 4. Добавить силы инерции. 5. Составить уравнения кинетостатического равновесия. 6. Решить полученные уравнения, число которых должно быть равно числу неизвестных величин, входящих в уравнения. Задача 2. Шарик, масса которого m=0,5 кг, привязан к нити длиной 0,7 м (рис) Нить вместе с шариком вращается в вертикальной плоскости, затрачивая на один оборот 1 сек. Определить натяжение шнура в моменты высшего и низшего положения шарика, считая, что скорость остается постоянной при перемещении во всей длине окружности. Рис. 11 Решение. 77 1. В соответствии с условием задачи считаем, что шарик движется равномерно по окружности, радиус которой равен длине (r = 0,7 м. Следовательно, его скорость см 1 71 , 0 * 14 , 3 * 2 2 Оставаясь численно неизменной, скорость точки непрерывно изменяет направление, значит, точка имеет нормальное ускорение 2 V a n = 7 , 0 4 , 4 2 =27,6 мс 2. Рассмотрим движущийся шарик в тот момент, когда он проходит через верхнюю точку траектории (Риса. На шарик действуют две силы его веси реакция нити Травная ее натяжению. Заметим, что обе силы направлены в одну сторону - к точке О подвеса, так как вес всегда направлен вертикально вниз. Реакция гибкой связи всегда направлена вдоль нити от тела, которое удерживается нитью. Шарик, привязанный к нити и приведенный в движение, стремится согласно закону инерции двигаться равномерно и прямолинейно и поэтому он постоянно натягивает нить. 3. Добавим к силами Т силу инерции Р иn , направив ее в сторону, противоположную ускорению α n . Образовав, таким образом, уравновешенную систему сил, получим уравнение равновесия ΣY i =0; Р иn1 - G - Т. Из уравнения равновесия находим Т, учитывая, что Р иn1 = mα n и G = mg: Т Р иn1 -G=m(α n -g), подставляя в это выражение числовые значения Т = 0,5 (27 ,6- 9,81) = 0,5* 17,8 = 8,9 Н. Таким образом, находясь в верхнем положении, двигающийся шарик натягивает нить силой 8,9 Н. Отметим, что натяжение нити будет ослабевать приуменьшении скорости движения шарика. Следовательно, для того чтобы шарик при движении в вертикальной плоскости смог пройти верхнюю точку траектории с заданным радиусом кривизны р, он должен иметь в этой точке определенную скорость. 5. Рассмотрим теперь движущийся шарик в момент прохождения им нижней точки траектории (Рис, б) 78 В этом положении на шарик действуют также две силы веси реакция нити Т, нов отличие от предыдущего случая эти силы, действуя вдоль одной прямой, направлены в противоположные стороны. 6. Добавим к силами Т силу инерции Р и и составим уравнение равновесия ΣY i =0; Т - G - Р иn2 =0 7. Находим Т Т = G + Р иn2 = m (g+α n ) = 0,5 (9,81 +27,6) = 18,7 Н.Как видно, при прохождении через нижнюю точку траектории шарик создает наибольшее натяжение. Пример 11 Тело под действием собственного веса (Рис скользит по негладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а = 45°. Определить ускорение движения, если коэффициент трения тела о плоскость f = 0,3 а) б) Рис. 12 Решение. Принимаем тело за материальную точку. Изобразим его на наклонной плоскости (Риса. Очевидно, что скорость v и ускорение α направлены вниз по наклонной плоскости. На материальную точку действует одна активная сила — вес G. Отбросим связь-плоскость и приложим нормальную реакцию N и силу трения F TP . Добавим силу инерции и получим согласно принципу Даламбера уравновешенную систему сил. Направим оси координат хи у и составим уравнения кинетостатического равновесия Х =0 G sina —F тр —Р и = 0; ΣY = 0, N — G cosa = 0. Из второго уравнения следует N = G cos a, тогда F Tp = ƒN =ƒG cos a. Подставим в первое уравнение найденное значение т и Р и =m a=Ga /g: 79 G sin a — ƒ G cosa — Gα /g = 0. Решаем это уравнение относительно искомого ускорения а = g (sin a — ƒcos a) = 9,81 (sin 45° — 0,3 cos 45°) = 4,84 м/сек 2 Для сравнения решим эту же задачу при помощи уравнений движения рис, б) Примем тело за материальную точку. Отбросим связь. На материальную точку действуют сила веса N— нормальная реакция F Tp сила трения. Составим уравнения движения ах тр , а y = ΣY = N — G cos a. Согласно условию, у О, тогда из последнего уравнения находим N = Gcosa. Следовательно , F тр = ƒ N = ƒG cosα. Подставим в первое уравнение значения F три х /g = G sin α— ƒG cos α. Искомое ускорение равно α x = α = g (sinα - f cos α) = 4,84 м/сек 2 Тест №14 ДИНАМИКА Вариант 1 Вопросы Ответы Код 1. Кдвум материальным точкам т = 2 кг и т 8 кг приложены одинаковые силы. Сравнить величины ускорений, с которыми будут двигаться эти точки 2 2 1 a a 1 a 1= a 2 2 а а 3 а а 4 2. Свободная материальная точка, масса которой равна 8 кг, движется прямолинейно F=16H 1 80 согласно уравнению S=2,5t 2 Определить действующую на нее силу F=20H 2 F=40H 3 F=80H 4 3. Точка М движется криволинейно и неравномерно. Выбрать формулу для расчета нормальной составляющей силы инерции тат. Определить силу натяжения троса барабанной лебедки, перемещающего вверх груз массой 100 кг с ускорением а = 4 мс 400 H 1 981 H 2 1381 H 3 1621 H 4 5. Чему равна сила давления автомобиля на мост при скорости V= 20 мс, когда он находится на середине моста, если вес автомобиля G =35 кН, а радиус кривизны мостам кН 1 33,22 кН 2 35 кН 3 36,75кН 4 Тест № 14 ДИНАМИКА вариант 2 Вопросы Ответы Код 1. На материальную точку действует одна постоянная сила. Как будет двигаться точка Равномерно прямолинейно 1 Равномерно криволинейно 2 Неравномерно прямолинейно 3 Неравномерно криволинейно 4 81 2. Определить числовое значение ускорения материальной точки массой 5 кг под действием системы сил F 1 = 10 кН; F 2 = 2 кН; F 3 = 8 кН a=4 мс 1 a=3,6 мс a=2,9 мс a=6,3 мс 3. Точка М движется равномерно по кривой радиуса г. Выбрать направление силы инерции А 1 Б 2 В 3 Г 4 4. Определить силу давления человека на пол кабины лифта в случае, если лифт поднимается с ускорением а — 3 мс. Вес человека (7= 700 Н, q = 9,81 мс 506 Н 1 679 Н 2 700 Н 3 Н 4 5. Мотоцикл движется по выпуклому мостику со скоростью V = 20 мс. Масса мотоциклиста с мотоциклом m= 200 кг, радиус мостикам. Определить силу давления мотоцикла на мост при нахождении его посередине моста кН 1 800 кН 2 1962 кН 3 1162 кН 4 Тест № 14 ДИНАМИКА вариант 3 Вопросы Ответы Код 1. Свободная материальная точка, масса которой равна 16 кг, движется прямолинейно согласно уравнению S=1,6t 2 Определить действующую на нее силу 157 Н 1 208,2 Н 2 25,6 Н 3 51,2 Н 4 2. На материальную точку действует 73,7 мс 1 82 система сил F 1 =12 Н F 2 =20 Н F 3 =15 Н. Определить числовое значение ускорения точки т = кг 2,9 мс 2 0,9 мс 3 9,4 мс 4 3. Точка движется ускоренно по дуге радиуса г. Выбрать возможное направление сил инерции А 1 Б 2 В 3 Г 4 4. Тело массой 8 кг лежит на горизонтальной платформе, которая опускается вниз с ускорением 2 мс. Определить силу давления тела на платформу 156,9 Н 1 94,5 Н 2 78,5 Н 3 62,5 Н 4 5. Чему равна сила давления тела массой 70 кг на опору в верхней точке мертвой петли при равномерном движении самолета со скоростью 120 мс Радиус петли 1,2 км 153,3 кН 1 428 кН 2 1128 кН 3 700 кН 4 Тест № 14 ДИНАМИКА вариант 4 Вопросы Ответы Код 1. Какое ускорение получит свободная материальная точка под действием силы, равной 0,5 ее веса а =1,92 мс 1 а = 9,8 мс 2 а = 4,9 мс 3 83 а = 0,5 мс 4 2. Материальная точка движется под действием системы сил F 1 = 10 Н F 2 = 20 Н Р г = 15 Н т = 10 кг Определить величину ускорения точки а = мс 1 a=3,8 мс 2 a=4,5 мс 3 a=6,2 мс 4 3. Определить натяжение тягового каната скрепера А весом 30 Н, перемещающегося с ускорением 2 мс. Коэффициент трения между поверхностями f=0,25 F=16 H 1 F= 20,5 Н 2 F=27,6 H 3 F =22 H 4 4. Точка движется равномерно по дуге радиуса г. Выбрать возможное направление силы инерции А 1 Б 2 В 3 Г 4 5. В шахту опускается лифт весом 4,5 кН. График изменения скорости лифта показан на рисунке. Определить силу натяжения каната, поддерживающего лифт (на участке 1) F H = 4,5 кН 1 F H = 3,6 кН 2 F H = 5,4 кН 3 F H = 13,5 K H 4 Тест № 14 ДИНАМИКА вариант 5 Вопросы Ответы Код 1. Через 5 секунд движения под действием постоянной силы материальная точка приобрела скорость 15 мс. Сила тяжести 600 Н. Определить величину силы, действующей F=92,5H 1 F=183H 2 F=421H 3 84 на точку. F= 600 H 4 2. Материальная точка движется под действием системы сил. Определить величину ускорения точки F 1 = 18 Н F 2 = 30 Н F 3 = 25 Н т 2 кг = 2,5 мс 1 a = 7,5 мс 2 a = 9 мс 3 a = 3,5 мс 4 3. Точка М движется неравномерно криволинейно. Выбрать формулу для расчета силы инерции F ин = та 1 F ин = r V m 2 2 F ин = - та t 3 F ин = 2 2 n t a a m 4 4. График изменения скорости лифта при подъеме показан на рисунке. Определить силу натяжения каната, на котором подвешен лифт, если вес лифта 5,5 кН (участок 3) 4,1 кН 1 5, 5 кН 2 4,8 к 3 6,2 к 4 5. Тело массой 300 кг поднимается вверх по наклонной плоскости согласно уравнению Коэффициент трения f= 0,2 Определить величину движущей силы 1,98 к 1 2,7 к 2 3,5 кН 3 4,9 кН 4 Ответы к тесту № 14: Вопросы 1 2 3 4 5 Вариант 1 4 3 3 3 2 Вариант 2 3 3 3 4 4 Вариант 3 4 2 3 4 1 85 Вариант 4 3 2 3 3 2 Вариант 5 2 1 4 3 3 Работа и мощность. Работа постоянной силы на прямолинейном пути. Произведение модуля силы Р на длину пути s пройденного точкой приложения этой силы, и косинуса угла между направлениями силы Р и скороститочки называют работой, обозначаемой Ат. е. А P s cos (P,v) В зависимости от угла (Р, v) = α различают следующие случаи 1. Если 0<α< π/2 , то силы называют движущими. Движущие силы направлены в сторону движения. При этом О < cos a < 1 и А = P s cos α >0. Работа движущих сил всегда положительна. В частном случае cos = 1 при α = 0, А = P s 2. Направление силы перпендикулярно направлению движения. При этом α= π/2 ; cosα = 0 и А 3. Если, π/2 <α< π, то силы называют силами сопротивления. Они направлены против движения. При этом - 1 < cos α АО. Работа сил сопротивления всегда отрицательна. В частном случае cos α = - 1 при α = π ; А - P s. В системе (СИ) работа измеряется в джоулях (дж) : 1 дж = 1 Нм Работа переменной силы на криволинейном пути. В общем случае, когда сила переменная и путь криволинейный, работу определяют по формуле А = s ads P 0 cos , где α — угол между направлениями силы и скорости s – путь вдоль криволинейной траектории. Работа равнодействующей. Если на некотором перемещении работу совершает система сил 86 Р, Р, …Р п ), то алгебраическая сумма работы этих сил равна работе равнодействующей R на этом же перемещении, те. А = ΣА Рi Работа сил тяжести Работа сил тяжести не зависит от формы траектории и равна произведению силы тяжести G на разность начальной h 1 и конечной h 2 высот, те. Если начальная высота расположена выше h 1 > h 2 , то работа силы тяжести положительна если конечная высота выше h 1 < h2, то работа силы тяжести отрицательна если начальная и конечная высоты находятся на одном уровне h 1 = h 2 , то работа силы тяжести равна нулю. Работа при скольжении тела по негладкой наклонной плоскости На тело, скользящее по негладкой наклонной (рис, действуют следующие силы G— вес тела Т движущая сила F тр — сила трения скольжения N — нормальная реакция поверхности (рис. Полная работа этих сил на перемещении L равна А = А G +А T +А N +А Fтр При этом сила тяжести совершает положительную или отрицательную работу (в зависимости оттого, опускается тело или поднимается) А = ± Gh = ± Gl sin a. Движущая сила совершает положительную работу. Нормальная реакция работы не производит А Сила трения совершает отрицательную работу А Fтр = — F тр l = - ƒ N l= - ƒ (G cos α — Т sin β) l . Таким образом, АТ Т sin β)] Движение вверх по наклонной плоскости (риса) Рис 87 В этом случае сила веса G совершает отрицательную работу. а) Полная работа положительна А >0 (работа движущей силы Т больше работы сил сопротивления три движение равноускоренное. Тогда Т G (sin α + ƒcos α ) / (cos β +ƒsin β) При этом, если тяговое усилие Т направлено вдоль наклонной (β = 0), то T>G(sinα+ƒcos α) Если тяговое усилие горизонтально (β= —α), то Т G (sin α + ƒcos α ) / (cos α - ƒsin α) б) Полная работа равна нулю А = 0 (работа движущей силы равна работе сил сопротивления — движение тела с постоянной скоростью, либо тело находится на грани между покоем и движением. Тогда Т G (sin α + ƒcos α ) / (cos β + ƒsin β) в) Полная работа отрицательна А <0 (работа движущей силы меньше работы сил сопротивления — движение равнозамедленное). Тогда Т G (sin α + ƒcos α ) / (cos β + ƒsin β) Движение вниз по наклонной плоскости (Рис.13,б) В этом случае вес G совершает положительную работу. а) А >0 движение ускоренное. Тогда Т G ( - sin α + ƒcos α ) / (cos β + ƒsin β) при β = 0 Т G ( - sin α + ƒcos α ) при β = α Т > G ( - sin α + ƒ cos α)/ (cos α + ƒsin α) б) А = 0 — движение равномерное, либо тело находится на грани между движением и покоем. Тогда Т G ( - sin α + ƒcos α ) / (cos β + ƒsin β) в) А < 0 движение замедленное. Т > G ( - sin α + ƒ cos α)/ (cos α + ƒsin α) Самоторможение При движении вниз движущей силой является не только сила тяги, но и вес. Поэтому движение возможно и без приложения силы тяги под действием собственного веса. При этом если угол трения φ больше угла 88 наклонной плоскости α, тело не двигается вниз, а если оно имеет первоначальную скорость, то оно тормозится. Это явление называют самоторможением. Очевидно, при φ = α тело равномерно скользит вниз по наклонной плоскости, при φ<α — ускоренно. Работа сил при вращательном движении твердого тела Работа постоянной силы Р, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Z, равна произведению момента этой силы M z относительно оси вращения поворота тела, те. А = Phφ=M z φ, где плечо силы, относительно оси вращения. При действии переменного момента работу наконечном угловом перемещении φ определяют по формуле А =∫ M |