Пояснительная записка Цель данного пособия помочь студентам глубже разобраться в разделах теоретической механики Кинематика и Динамика, научить применять представленные методы решения к практическим задачам.
 Скачать 3.08 Mb.
|
|
1 Пояснительная записка Цель данного пособия – помочь студентам глубже разобраться в разделах теоретической механики Кинематика и Динамика, научить применять представленные методы решения к практическим задачам. Методическое пособие построено в соответствии с программой, утвержденной для учащихся средних специальных учебных заведений, предполагающей небольшое количество часов для изучения данного раздела. Актуальность пособия заключена в том, что студент при желании может индивидуально подойти к изучению некоторых тем раздела, закрепив свои знания на практике. Методическое пособие содержит теоретический материал к каждой теме, после изучения которой студенты должны решить задачи и выполнить многовариантные тесты. Тематика и содержание задач отражают реальные вопросы техники, связанные со специальностями колледжа. Система контроля в методическом пособии представлена таким образом, что без детального изучения теоретического материала каждой темы невозможно дать правильный ответ при решении задачи или теста. В конце каждой темы даны несколько типов заданий для проверки полученных знаний, контрольные вопросы, которые имеют альтернативные ответы, требующие более детального изучения теоретического материала. Методическое пособие для самостоятельной работы студентов может быть использовано на уроках для проверки знаний, для закрепления полученных знаний, умений и навыков на уроках технической механики, а также для самостоятельного изучения раздела технической механики Кинематика. Динамика дома. При небольшой доработке пособие может быть использовано в качестве электронного пособия для дистанционного обучения. 2 Кинематика Введение Кинематика – часть теоретической механики, в которой изучаются законы движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил. В кинематике изучаются законы движения материальных точек и твердых тел с чисто геометрической стороны. Законом движения точки или тела можно назвать такую совокупность математических образов и уравнений, которая в любой момент времени позволяет установить, где находится точка или тело, куда и как они движутся. При этом в кинематике не рассматриваются вопросы, почему точка или тело двигается именно так, а не иначе. Эти вопросы рассматриваются в разделе Динамика. Прежде чем решить задачу по кинематике, необходимо выяснить следующее а) можно ли данный в задаче предмет рассматривать как материальную точку или его нужно считать твердым телом б) в какой форме закон движения задан в задаче. Необходимость выяснения первого положения вызывается тем, что законы движения материальных точек (предметов, формой и размерами которых можно пренебречь) и законы движения твердых тел (предметов, состоящих из множества материальных точек, как правило, отличаются друг от друга. Механизмом называется совокупность связанных между собой тел, имеющих определенные движения. Механизмы служат для преобразования или передачи движения. Машина есть механизм или сочетание механизмов, осуществляющих определенные целесообразные движения для преобразования энергии, изменения формы, свойств, состояния и положения предмета труда или для сбора, переработки и использования информации. Простейшей частью механизма является звено. Звено – это одно тело или неизменяемое сочетание тел. Два звена, соединенные между собой и допускающие относительное движение, называются кинематической парой. 3 Кинематические пары бывают низшие и высшие. Звенья низших пар соприкасаются по поверхностям (поступательные, вращательные, винтовые пары, звенья высших пар соприкасаются по линиями точкам (зубчатые пары, подшипники качения Совокупность кинематических пар называется кинематической цепью. Кинематические пары и цепи могут быть плоскими и пространственными Механизм получается из кинематической цепи путем закрепления одного из звеньев. Это неподвижное звено называется станиной или стойкой. Звено, вращающееся вокруг неподвижной оси, называется кривошипом. Звено, качающееся вокруг неподвижной оси, называется балансиром или коромыслом. Звено, совершающее сложное движение параллельно какой- нибудь плоскости, называется шатуном Звено, движущееся возвратно- поступательно, называется ползуном. Звено, выполненное в виде рейки с пазом, называется кулисой, в пазу скользит камень кулисы. Звено, которому извне сообщается определенное движение, называется ведущим. Остальные подвижные звенья называются ведомыми. Рассмотрим широко распространенный кривошипно-шатунный механизм рис) Этот механизм служит для преобразования вращательного движения в возвратно-поступательное (в компрессорах, насосах) или, наоборот, для преобразования возвратно-поступательного движения во вращательное (в ДВС). Он состоит из четырех звеньев кривошипа ОА, шатуна АВ, ползуна АВ, станины и четырех кинематических пар вращательной пары станина – кривошип, вращательной пары кривошип – шатун, вращательной пары шатун – ползун и поступательной пары ползун – станина. Рис.1 4 Способы задания движения точки Траекторией точки называется множество положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета. В зависимости от формы траектории движение точки бывает двух видов прямолинейное и криволинейное. Рассмотри два способы задания движения точки естественный и координатный. Естественный способ заключается в том, что движение точки задается ее траекторией и уравнением движения по этой траектории (законом движения) Уравнение движения в общем виде записывается следующим образом S= f(t), где S – расстояние точки от начального положения, являющееся функцией времени t- время движения точки от начального момента. Зная траекторию точки и уравнение движения по этой траектории, можно определить положение точки в любой момент времени. Путь, пройденный точкой, совпадает с расстоянием от начала отсчета лишь тогда, когда точка все время движется водном направлении и начало ее движения совпадает с налом отсчета. Координатный способ заключается в том, что движение точки задается движением ее проекций вдоль осей координат. Уравнения плоского движения записываются так X= f(t), Y= f 1 (t) Для того чтобы при координатном способе задания движения точки определить уравнение траектории y=f(x), необходимо из уравнения движения исключить время. Единица длины – метр, единица времени – секунда. Скорость и ускорение точки Величина, характеризующая в каждый момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью. Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое 5 значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния повремени или v = f '(t). Истинная скорость при любом движении точки равна первой производной координаты по времени.Движение, в котором скорость стечением времени возрастает, называется ускоренным движение, в котором скорость стечением времени убывает, - замедленным. Пример 1. Поезд движется согласно уравнению s=0,1 t 2 +t, где t – в сек, s – в метрах. Определить среднюю скорость поезда за промежуток времени между й и 20 й секи истинную скорость в конце 20 секунды. Решение.Для определения средней скорости поезда найдем приращения времени и пути за указанный промежуток времени Δt =t 2 –t 1 = 20 - 10 =10c Δs=s 2 -s 1 = (0,1 t 2 2 +t 2 ) - (0,1 t 1 2 +t 1 )= (0,1 *20 2 +20) – (0,1 * 10 2 +10) = 40 м Средняя скорость поезда определяется так c м t S V ср / 4 10 40 Для определения истинной скорости поезда продифференцируем уравнение движения повремени. В результате чего получим формулу, выражающую зависимость истинной скорости от времени 1 Подставив в это выражение время t 2 , получим значение истинной скорости в конце 20 секунды v 20 = 0,2 t 2 +1=0,2 *20+1 = 5 мс Решить самостоятельно по вариантам. Вариант 1 Точка движется по закону S= 0,1 t 3 -0,3 t 2 +6t. Определить среднюю скорость и ускорение в промежутке времени от 3 секунд до 15 секунд, мгновенную скорость и ускорение в конце 15 с. Вариант 2. Точка движется по закону S= 0,2 t 3 -0,3 t 2 +6t. Определить среднюю скорость и ускорение в промежутке времени от 3 секунд до 15 секунд, мгновенную скорость и ускорение в конце 15 с. 6 Вариант 3. Точка движется по закону S= 0,3 t 3 -0,3 t 2 +8t. Определить среднюю скорость и ускорение в промежутке времени от 4 секунд до 14 секунд, мгновенную скорость и ускорение в конце 14 с. Вариант 4. Точка движется по закону S= 0,4t 3 -0,5 t 2 +8t. Определить среднюю скорость и ускорение в промежутке времени от 3 секунд до секунд, мгновенную скорость и ускорение в конце 14 с. Вариант 5. Точка движется по закону S= 0,5 t 3 -0,6 t 2 +Определить среднюю скорость и ускорение в промежутке времени от 6 секунд до 12 секунд, мгновенную скорость и ускорение в конце 12 с. Вариант 6. Задача 1. Точка движется по закону S= 0,6 t 3 -0,2 t 2 +5t. Определить среднюю скорость и ускорение в промежутке времени от 2 секунд до 16 секунд, мгновенную скорость и ускорение в конце 16 с. Вариант 7 Точка движется по закону S= 0,1 t 3 -0,4 t 2 +10t. Определить среднюю скорость и ускорение в промежутке времени от 5 секунд до 12 секунд, мгновенную скорость и ускорение в конце 12 с. Вариант 8 Точка движется по закону S= 0,2 t 3 -0,2 t 2 +5t. Определить среднюю скорость и ускорение в промежутке времени от 2 секунд до 17 секунд, мгновенную скорость и ускорение в конце 17 с. Вариант 9 Задача 1. 7 Точка движется по закону S= 0,1 t 3 -0,6 t 2 +10t. Определить среднюю скорость и ускорение в промежутке времени от 5 секунд до 12 секунд, мгновенную скорость и ускорение в конце 12 с. Тест №1 Основные понятия кинематики Вариант 1 1. Какое движение называется механическим 2. Что изучает механика 3. Что изучает кинематика 4. Что изучает динамика 5. Что изучает статика 6. Что называется материальной точкой 7. Поему движение всегда является относительным 8. Почему покой, рассматриваемый в механике, всегда является относительным № отв. Ответы движение тела с учетом причин, вызывающим движение различные виды механического движения без учета причин, вызывающих это движение тело, обладающее ничтожной массой и ничтожно малыми размерами движение одного тела всегда рассматривается относительно другого, которое условно принимается за неподвижное условия равновесия тел, находящихся под действием сил … тело, размерами и формой которого пренебрегают в рассматриваемой задаче. Принимая егоза точку, в которой сосредоточена вся масса этого тела. 8 перемещение одного тела относительно другого или перемещение одних частей тела относительно других потому что движение тела всегда рассматривается относительно поверхности Земли, которая считается неподвижной абсолютно неподвижных тел нет все тела, находящиеся в природе, движутся различные виды механического движения, причины возникновения этого движения и условия относительного покоя Вариант 2 1. Что называется траекторией движения 2. Какие различают виды движения материальной точки 3. Какие величины называются скалярными 4. Какие примеры скалярных величин вызнаете. Какие величины называются векторными 6. Как графически изображаются векторные величины 7. Отчего зависит длина вектора при неизменном масштабе 8. Какие примеры векторных величин вызнаете отв. Ответы равномерное прямолинейное, переменное прямолинейное, переменное криволинейное величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением направленным отрезком прямой, длина которого пропорциональна числовому значению вектора равномерное прямолинейное, переменное прямолинейное, равномерное криволинейное, переменное криволинейное пропорциональна числовому значению вектора отрезком прямой, длина которого пропорциональна числовому значению вектора 9 величины, которые характеризуются только числовым значением линия, описываемая материальной точкой при своем движении скорость, ускорение, сила и др. время, масса, путь, площадь, объем, температура и др. Ускорение точки Ускорение точки в данный момент времени характеризует быстроту изменения скорости. Скорость - вектор, и, следовательно, изменение скорости может происходить по двум признакам по числовой величине (по модулю по направлению. Быстрота изменения модуля скорости характеризуется касательным ускорением a t - составляющей полного ускорения а, направленной по касательной к траектории (рис. 2). Числовое значение касательного ускорения в общем случае определяется по формуле Быстрота изменения направления скорости характеризуется нормальным центростремительным) ускорением a n – составляющей полного ускорения а, направленного по нормали к траектории в сторону центра кривизны (рис. Рис. 2 Числовое значение нормального ускорения определяется в общем случае по формуле a n =v 2 /ρ, где v – модуль скорости точки в данный момент ρ- радиус кривизны траектории вместе, где находится точка в данный момент времени. 10 После того, как определены касательная и нормальное ускорение, легко определить и ускорение а (полное ускорение точки. Так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны, то числовое значение ускорения можно определить при помощи теоремы Пифагора 2 Направление можно определить, исходя из тригонометрических соотношений, по одной из следующих формул a a n sin a n /a; Касательное и нормальное ускорения точки являются главными кинематическими величинами, определяющими вид и особенности движения точки. Наличие касательного ускорения или его отсутствие определяют соответственно неравномерность или равномерность движения точки Наличие нормального ускорения или его отсутствие определяют криволинейность или прямолинейность движения точки. Движение точки можно классифицировать так 1) равномерное прямолинейное (a t =0 и a n =0); 2) равномерное криволинейное (a t =0 и a n ≠0); 3) неравномерно прямолинейное (a t ≠0 и a n =0); 4) Неравномерное криволинейное (a t ≠0 и a n ≠0). Таким образом, движение точки классифицируется по двум признакам по степени неравномерности движения и по виду траектории. Степень неравномерности движения точки задана уравнением s= f(t), а вид траектории задается непосредственно. Равномерное прямолинейное движение Если a t =0 и a n =0, то вектор скорости остается постоянным (v=const), те. не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Такое движение называется равномерным прямолинейным. Уравнение равномерного движения имеет вид s= s 0 +vt или в частном случае, когда начальное расстояние равно 0 (S 0 =0), s= vt Пример 2. 11 Точка, совершая равномерное и прямолинейное движение, проходит прямолинейный участок траектории АВ, равный 60 м засек. Простояв затем 10 сек на месте, точка возвращается в исходное положение со скоростью 3 м/сек. Сколько всего времени проходит от начала движения точки до ее возвращения в исходное положение Какой путь проходит точка Решение. 1. Расстояние от А до В, равное S ав =60м, равномерно пройдено за t ав = 30 сек. В дано м случае начальное расстояние s 0 = 0, поэтому из уравнения S= vt находим скорость точки на участке АВ: V ав = S ав / t ав = 60 /30=2 мс Точка находится в покоев течение времени t bb1 = 10 с Точка возвращается в исходное положение, пройдя расстояние от В до А вам со скоростью V ва = 3 мс за время с V S t ва ва ва 20 3 60 4. Время от начала движения до момента возвращения в исходное положение равно t ав + t вв1 + t ва = 30+10+20=60 сек мин 5. Путь, пройденный точкой за это время, S=S ва +S ва = м 6. Построим теперь график перемещения и скорости точки с одинаковым масштабом по оси времени. Тест №2 Равномерное и переменное движение Ответ на вопрос может быть в варианте ответов №1 ив варианте ответов №2 1. Какое движение тела называется поступательным 2. Какое движение тела называется равномерным 3. Что называется скоростью равномерного движения 4. Какое движение тела называется переменным 5. Какое движение тела называется равнопеременным 6. Что называется средней скоростью переменного движения 7. Что называется мгновенной скоростью переменного движения 8. Что называется ускорением 9. В каких единицах измеряется скорость в СИ 12 10. В каких единицах измеряется угловая скорость в СИ № отв. Ответы вар № отв. Ответы вар. 2 скорость, которую будет иметь тело, если его движение станет равномерным величина, измеряемая отношением пути ко времени, за которое пройден этот путь при котором любая прямая, жестко связанная с телом. перемещается параллельно самой себе при котором тело за равные промежутки времени проходит равные пути скорость такого равномерного движения. у которого путь и время одинаковы с переменным движением скорость такого движения, при котором за единицу времени тело проходит путь в 1 м ускорение такого равнопеременного движения, при котором скорость изменяется на 1 мс за 1 с такая скорость, которую будет иметь тело, если начиная сданного момента его движение станет равномерным величина, измеряемая отношением изменения скорости к тому отрезку времени, за которое произошло это изменение При котором скорость за любые промежутки времени изменяется на одну и туже величину при котором все точки тела движутся по параллельным прямым скорость такого равномерного движения, при котором путь в 1 м проходится за 1 с скорость такого движения, у которого путь и время одинаковы с переменным движением при котором тело за равные промежутки времени проходит неодинаковые расстояния 13 ускорение такого движения, при котором скорость за единицу времени изменяется на 1 мс при котором тело за любые равные промежутки времени проходит равные пути Тест № 3 КИНЕМАТИКА вариант 1 Вопросы Ответы Код 1. Точка движется по траектории, имеющей вид восьмерки, согласно уравнению S=f{t). Как изменится а в момент перехода с верхней окружности на нижнюю а увеличится в 2 раза 1 а уменьшится в 2 раза а увеличится в 4 раза 3 а уменьшится в 4 раза 2. Точка движется согласно уравнению S=2 + 0,1t 2 Определить вид движения точки Равномерное 1 Равноускоренное 2 Равнозамедленное 3 Неравномерное 4 3. Точка движется по дуге АВ согласно уравнению S=0,1 t 3 +0,3t Определить начальную скорость и полное ускорение через 2 сдвижения, если радиус дуги 0,45 м V 0 =0,1 мс a=5,14 мс 1 V 0 =3 мс a=1,2 мс 2 V 0 =0,3 мс a=5,14 мс 3 V 0 =0,3 мс мс 4 4. По графику скоростей точки определить путь, пройденный за время движениям мм м 4 5. Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя 10 с, достигло скорости 50 мс. Определить путь, пройденный телом за это время S=200 мм мм Тест № 3 КИНЕМАТИКА вариант 2 Вопросы Ответы Код |