Пояснительная записка Цель данного пособия помочь студентам глубже разобраться в разделах теоретической механики Кинематика и Динамика, научить применять представленные методы решения к практическим задачам.
 Скачать 3.08 Mb.
|
|
z dφ Работа при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси z равна работе суммы моментов всех сил, приложенных к телу, относительно этой оси, А φ При этом тело вращается ускоренно, если А Тело вращается с постоянной скоростью, если А φ=0 Тело вращается замедленно, если А φ<0 Мощность. Золотое правило механики Величину работы, совершаемую в единицу времени, называют мощностью Если работа, производимая машиной в равные промежутки времени, неодинакова, то мощность является переменной величиной. В таких случаях вводят понятие средней мощности, равное отношению всей работы А к промежутку времени Δt, за который она совершена t А N ср Мощность в данный момент равна первой производной от работы повремени dt dА N ср Мощность силы Р при поступательном движении твердого тела равна произведению модуля силы на модуль скорости и косинус угла между направлениями силы и скорости N = PV cos (P, v), 89 Мощность момента силы М при вращательном движении твердого тела равна произведению величины момента на угловую скорость вращениям Мощность имеет размерность дж/сек. Определение мощности по крутящему моменту. В расчетах для определения мощности по крутящему моменту применяют зависимость кр = 9560 N/n, где N выражено в кВт, а n — в об мин Движущие силы, силы полезных и вредных сопротивлений. При работе к машине приложены 1. Движущие силы — силы, которые приводят машину в движение. Работа движущих сил всегда положительна, поскольку направление их всегда совпадает с направлением движения. 2. Силы полезных сопротивлений — силы, для преодоления работы которых и создана машина. Работа сил полезных сопротивлений всегда отрицательна, так как машина совершает работу против сил полезного сопротивления. 3. Силы вредных сопротивлений — силы, появляющиеся в механизмах машины вследствие ее несовершенства (силы трения, сопротивления среды и т. д. Работа сил вредных сопротивлений всегда отрицательна, так как они направлены против движения. Золотое правило механики. В идеальных машинах и механизмах силы вредных сопротивлений отсутствуют, поэтому мощность движущих сил равна мощности сил полезного сопротивления N дв. =N п Пусть к механизму приложены две силы движущая Р и сила полезного сопротивления Q. Соответственно проекции скоростей точек приложения сил Р и Q на направления самих сил равны V p и V Q . Тогда N дв. = PV P и N n =QV Q или по N дв. =N п ; PV P = QV Q Это равенство называют золотым правилом механики. Его формулируют так сколько выигрываем в силе, столько теряем вскорости, и наоборот. 90 Золотое правило можно выразить через перемещения сколько выигрываем в силе, столько теряем в перемещении. В идеальном механизме работа движущих сил за любой промежуток времени равна работе сил полезного сопротивления А д =А п ; тогда PS p = QS Q , где S p и S q — проекции перемещений точек приложения сил Р и Q на направления самих сил. Золотое правило механики позволяет находить зависимость между движущей силой Р и полезным сопротивлением Q для любого идеального механизма. В реальном механизме всегда присутствуют силы вредного сопротивления, поэтому выигрыш в силе всегда меньше величины, получаемой по золотому правилу механики Q P Q P S PS V PV Q ; где ŋ — коэффициент полезного действия, характеризующий степень совершенства механизма (машины. Тест №15 Работа и мощность Вопросы группы А 1. Что называется механической работой 2. Совершается ли механическая работа, если на движущееся тело действуют взаимно уравновешивающиеся силы 3. Совершается ли работа, если при действии силы на тело оно не перемещается 4. Какой вид имеет формула работы, когда направление силы совпадает с направлением пути 5. Какой вид имеет формула работы, когда сила направлена под углом к направлению пути 6. Что принимается за единицу работы в СИ 7. Какой вид имеет формула работы, совершаемой под действием силы тяжести 8. Какой формулой устанавливается связь между мощностью и скоростью равномерного движения Вопросы группы В 91 1. Какова размерность работы в СИ 2. Какое существует соотношение между килограммометром и Джоулем 3. В каком случае работа является отрицательной 4. Что называется работой в широком смысле этого слова 5. Совершается ли работа при свободном падении тел 6. Совершается ли работа в процессе вращения Земли вокруг Солнца 7. Что называется мощностью вопроса Ответы гр.А № вопроса Ответы гр.В A=FScosa 1кГм работа, которую совершает сила в 1 Н на пути в 1 м Да, здесь совершается положительная работа ускоряющей силы Да, совершается если сила замедляет движение тела A=FS Нм работа, которую совершает сила в Н на пути в 1 м мера изменения энергии A = mgH Дж величина, измеряемая произведением путина составляющую силы вдоль пути Дано сумма положительной и отрицательной работ в пределах одного периода равна нулю A=FSsina 1кГм=9,8Дж Нет, не совершается Дж кГм величина, измеряемая Нет, так как здесь 92 произведением силы на пройденный путь движение происходит без сопротивления N=AV величина численно равная отношению работы ко времени, за которое она совершена N=A/t величина, измеряемая произведением совершенной работы на время работы Коэффициент полезного действия. Коэффициентом полезного действия (кпд) машины называют отношение работы сил полезного сопротивления А п к работе движущих сил АД, те А п / АД Кпд. характеризует степень совершенства машины. Чем меньше работа сил вредного сопротивления А, тем вышек. п. д. Коэффициентом полезного действия механизма называют отношение работы, отводимой от механизма, к работе, подводимой к нему. Подводимая работа является работой движущих сила отводимая — работой сил полезного сопротивления. Так как мощность — это работа в единицу времени, ток. п. д. равен отношению мощности сил полезного сопротивления N n к мощности движущих сил Ад, те п N Д Последовательное и параллельное соединения механизмов и машин. Механизмы и машины могут быть соединены между собой последовательно и параллельно. Последовательным называют соединение, при котором полезное сопротивление предыдущего элемента является движущей силой для 93 последующего. Коэффициент полезного действия машины (механизма, состоящей из последовательно соединенных элементов, равен произведению кпд. этих элементов ŋ= ŋ 1 ŋ 2 ŋ 3 …. ŋ Параллельным называют соединение, при котором полезные сопротивления и движущие силы составляющих элементов не зависят друг от друга. Пусть полная работа движущих сил распределяется между элементами следующим образом Ад = Ад+ Ад + …+А дn Тогда полная работа сил полезного сопротивления А п = Ад ŋ 1 + Ад ŋ 2 + Ад ŋ n и общий коэффициент полезного действия равен ŋ 0 = Σ Ад ŋ i / А дi Теоремы динамики 1. Теорема об изменении количества движения материальной точки Произведение массы точки m на скорость V, которой она обладает в данный момент, называют количеством движения материальной точки. Произведение силы Р на время Δt, в течение которого она действует, называют импульсом силы. Теорема об изменении количества движения материальной точки при действии постоянных сил формулируется следующим образом изменение количества движения материальной точки под действием постоянных сил равно импульсу силы за этот же промежуток времени, те Проектируя это векторное равенство на оси координат, получаем три скалярных равенства mv Kx — mv 0x = ΣX Δt mv Ky — mv 0y = ΣY Δt mv Kz — mv 0z = ΣZ Δt Количество движения и импульс силы в системе (СИ) имеют размерность [mv]=м*кг*сек -1 [Pt]=H сек=м*кг*сек -1 Если импульс сил ΣP Δt за некоторый промежуток времени равен нулю, то скорость постоянна V k = V 0 = const 94 Если проекция импульса сил на какую-нибудь ось равна нулю ΣX Δt=0, то проекция скорости на эту ось постоянна V kх V 0х = const Методические указания к решению задач При решении задач с применением закона об изменении количества движения материальной точки целесообразно придерживаться следующего порядка 1. Выбрать объект рассмотрения принять егоза материальную точку изобразить точку в текущий момент времени показать векторы скоростей в начальный и конечный моменты времени. 2. Приложить все активные (заданные) силы. 3. Отбросить связи, заменив их реакциями. При этом никаких сил инерции добавлять ненужно. Выбрать систему координат. 5. Составить теорему об изменении количества движения в проекциях на оси координат. 6. Выразить все члены, входящие в эти уравнения через известные и искомые величины. 7. Решить эти уравнения относительно искомых. Тест №16 Импульс силы. Количество движения Для каждого вопроса указать правильный ответ 1. Что называется импульсом силы 2. Что называется количеством движения 3. Какой величиной является импульс силы векторной или скалярной 4. Какой величиной является количество движения векторной или скалярной 5. Какова размерность импульса силы в СИ 6. Какова размерность количества движения в СИ 7. Какое имеется соотношение между импульсом силы и изменением количества движения 8. В чем состоит закон сохранения количества движения № вопроса Ответы 95 равен изменению количества движения, которое происходит в направлении действия силы скалярной векторной величина, измеряемая произведением силы на время ее действия При взаимодействии любого числа тел. Составляющих замкнутую систему, общая сумма их количества движения остается неизменной Нс величина, измеряемая произведением массы тела на скорость его движения Сумма количества движения данных тел остается постоянной независимо от действия внешних сил изменению кинетической энергии тела, происходящему в результате действия на это тело данной силы 2. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки Половину произведения массы точки на квадрат ее скорости называют кинетической энергией этой материальной точки в данный момент времени. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки формулируется следующим образом изменение кинетической энергии материальной точки за некоторый промежуток времени равно сумме работ приложенных к ней сил на соответствующем перемещении, те. A V m V m 2 2 2 0 2 Если А >0 (работа движущих сил больше работы сил сопротивления, то скорость точки увеличивается V к >V 0 Если А =0 (работа движущих сил равна работе сил сопротивления, то скорость точки не изменяется к const Если А >0 (работа движущих сил меньше работы сил сопротивления, то скорость точки уменьшается к 96 Кинетическая энергия – скалярная величина в отличие от импульса сил и количества движения, являющихся векторами. Методические указания к решению задач При решении задач необходимо придерживаться следующего порядка 1. Выбрать объект рассмотрения, принять егоза материальную точку, изобразить ее в текущий момент времени. 2. Приложить активные (заданные) силы. 3. Отбросить связи, заменив их реакциями. 4. Составить теорему об изменении кинетической энергии для определенного промежутка времени (отрезка пути. 5. Выразить кинетическую энергию в начальный и конечный моменты времени и работу всех сил, приложенных к точке, через заданные и искомую величины. 5. Решить полученное уравнение относительно искомой величины. Тест №17 Кинетическая и потенциальная энергия . Закон сохранения энергии при свободном падении. Для каждого вопроса указать правильный ответ. Который может быть в группе Аи группе В 1. Какая энергия называется кинетической 2. Какой вид имеет формула кинетической энергии 3. В каких единицах измеряется кинетическая энергия 4. Какая энергия называется потенциальной 5. Какой вид имеет формула потенциальной энергии 6. В каких единицах измеряется потенциальная энергия 7. В каких случаях может быть использована формула FS=mV 2 /2? 8. В каких случаях может быть использована формула FS=m(V 2 )/2 – (mV 0 2 )/2? 9. При свободном падении тело в некоторой точке имеет общее количество кинетической и потенциальной энергии, равное Дж. Чему была равна первоначальная энергия этого тела 10. Какую максимальную кинетическую энергию может приобрести тело по условиям предыдущей задачи 97 вопроса Ответы гр.А вопроса Ответы гр.В в тех же единицах, что и работа в тех же единицах, что и мощность энергия, зависящая от взаимного расположения тел или частей тела энергия, обусловленная механическим движением тел …=mH …=mgH …=mV 2 /2 …=mV/2 когда кинетическая энергия полностью расходуется на совершаемую работу когда работа совершается за счет частичного изменения кинетической энергии тела Дж Дж 0 энергия падающего тела энергия тела, поднятого над Землей когда тело при движении испытывает сопротивление. Связь между теоремами, принципом Даламбера и основным уравнением динамики материальной точки Основное уравнение динамики точки, движущейся прямолинейно под действием постоянной силы Р, имеет вида Р Учитывая, что а = — Р и , получаем математическое выражение принципа Даламбера для материальной точки Р + Р и =0. 98 Если материальная точка движется равноускоренно и за время Δt увеличивает скорость с v 0 до v k , то Тогда основное уравнение динамики можно записать в виде P t V V m 0 или mv k - mv 0 = Р Δt Это равенство выражает теорему об изменении количества движения материальной точки, движущейся прямолинейно под действием постоянной силы. Если материальная точка, двигаясь равноускоренно, прошла путь s, то S V V a 2 2 0 2 Тогда основное уравнение динамики примет вид S V V m P 2 2 0 2 или PS A V m V m 2 2 2 0 2 Это равенство представляет математическое выражение теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки, движущейся под действием постоянной силы. Все теоремы динамики представляют собой результат математических преобразований второго закона Ньютона для материальной точки. Основное уравнение, принцип Даламбера и теоремы динамики материальной точки одинаково применимы для решения любой задачи, но каждое из них позволяет рассмотреть одно и тоже движение с разных точек зрения. Основное уравнение динамики устанавливает зависимость ускорения точки от действующей на нее силы. Его применение выгодно, когда заданы силы и требуется найти ускорение точки. Принцип Даламбера позволяет задачу динамики свести к задаче статики. Принцип Даламбера целесообразно применять для нахождений величин реакций, а также при рассмотрении движения механической системы материальных точек. Теорема об изменении количества движения дает возможность определять изменение скорости точки как результат действия силы во времени, 99 те. импульса. Эту теорему выгодно применять, когда заданы силы и продолжительность их действия. Теорема об изменении кинетической энергии позволяет рассматривать движение с энергетической точки зрения. Ее применение целесообразно в тех случаях, когда удается подсчитать работу, совершенную силами, приложенными к материальной точке. Четыре способа решения задачи динамики точки Основное уравнение движения твердого тела Принцип Даламбера Теорема об изменении количества движения Теорема об изменении кинетической энергии mα x = ΣX = Т – F тр – G sin α mα y = ΣY = N– G cos α проекции ускорения α x =α=(V 2 –V 0 2 )/ 2S; α y =0 N= G cos α;F тр = ƒN=ƒ G cosα Подставив α x , m=G/g и F тр , получим G (V 2 –V 0 2 )/ 2S g = Т- ƒ G cosα - G sin α, откуда Т G((V 2 –V 0 2 )/ 2gS + +ƒ cosα + sin α) ΣX =0; Т – F тр – G sin α-Р и =0 ΣY =0; N– G cos α=0 Силы инерции Р и = mα x = G (V 2 –V 0 2 )/ 2S g Из второго уравнения N= G cos α, подставив Р и , F тр = ƒN= ƒ G cosα, получим Т- ƒ G cosα - G sin α - G (V 2 –V 0 2 )/ 2S g=0, откуда Т G((V 2 –V 0 2 )/ 2gS + +ƒ cosα+ sin α) ( mv 1 ) x - ( mv 0 ) x =Σ X Δt= Т – F тр – G sin α) Δt ( mv 1 ) y - ( mv 0 ) y =Σ Y Δt= (N– G cos α) Δt Имеем Δt=2S/( V 1 +V 0 ) и V 1y = V 0y =0 Из второго ур-ия имеем N= G cos α и F тр = ƒN= ƒ G cosα, подставив Δt, m=G/g и F тр , в первое, получим G( V 1 –V 0 )/g = = (Т – F тр – G sin α) * 2S/( V 1 +V 0 ), откуда ТАТ F тр – G sin α)S сила трения F тр = ƒ G cosα. Подставив три, получим G(V 2 – V 0 2 )/ g= = (Т- ƒ G cosα - G sin α)S, откуда Т G((V 2 –V 0 2 )/ 2gS + +ƒ cosα+ sin α) 100 Тест №18 Работа. Мощность. Энергия. Для каждого вопроса указать правильные ответы из варианта Аи варианта В 1. При каких условиях совершается механическая работа 2. Что называется механической работой 3. Когда работа считается отрицательной 4. Что принимается за единицу работы в СИ. Дайте определение и укажите размерность. 5. Что называется мощностью 6. Что принимается за единицу мощности в СИ. Дайте определение и укажите размерность. 7. Что называется потенциальной энергией тела, поднятого над Землей 8. Что называется кинетической энергией тела 101 9. В чем состоит закон сохранения энергии в механических явлениях № вопр. Вариант А № вопр. Вариант В кгм 2 /с 3 кГм процесс перемещения тела при действии на него силы Кгм 2 /с 2 …работа, совершаемая силой в Н на пути 1 м энергия, зависящая от положения тел относительно друг друга величина, равная отношению работы ко времени, в течение которого эта работа была совершена Энергия никогда не исчезает бесследно и никогда не возникает из ничего работа, совершаемая силой в 1 кГ на пути в 1 м величина, характеризующая быстроту выполнения работы величина, измеряемая работой, которую способно совершить тело при полной потере скорости когда тело при движении испытывает сопротивление или движется без трения, нос изменением скорости Движение не создается и не уничтожается, а лишь меняет свою форму или передается от одного тела к другому величина, измеряемая произведением силы на путь, пройденный телом в направлении дейсвия силы величина, измеряемая работой, совершаемой при подъеме тела на данную высоту мощность такого двигателя, который за каждую секунду совершает работу в 1 Дж если в результате ее свершения скорость движения тела уменьшается энергия тела, обусловленная его механическим движением когда тело перемещается величина, измеряемая 102 под действием приложенной к нему силы произведением силы на время ее действия Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Две задачи динамики вращательного движения Момент инерции твердого тела Моментом инерции I z твердого тела относительно некоторой оси z называют сумму произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния ее до оси вращения, те Квадратный корень из отношения момента инерции тела к его массе называют радиусом инерции M I r z i . Откуда I z =Mr i 2 Момент инерции имеет размерность в СИ [кгм 2 ] Моменты инерции различных тел приведены в таблицах. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Произведение момента инерции тела Iz относительно некоторой осина угловое ускорение ε равно алгебраической сумме моментов всех внешних сил ΣM z , действующих на тело относительно этой же оси, те Равенство называют основным уравнением вращательного движения твердого тела. Моменты инерций однородных тел Идеально тонкий стержень I z = MR 2 /3 = ⅓Ml 2 sin 2 α, где М- масса стержня 103 Идеально тонкая окружность I z = Прямой круглый цилиндр I z = MR 2 /2 Полый цилиндр I z = M (R 2 – r 2 ) / 2 Сплошной диск I x = I y = MR 2 /4; I z = MR 2 /2 Сплошной четырехугольник I z =⅓Mα Прямой круглый конус I z =3/10 Боковая поверхность конуса I z = MR 2 /2 Шар I z =2/5 Поверхность шара I z = 2 MR 2 /3 Две задачи динамики вращательного движения Первая основная задача По заданному закону вращательного движения твердого тела φ = f(t) вокруг неподвижной оси z и моменту инерции тела I z относительно этой оси найти момент равнодействующей силы М, вызывающей это вращение. Эта задача по существу сводится к нахождению углового ускорения ε рассматриваемого тела. Подставив найденные ε ив уравнение I z ε= ΣM z , определяют искомый момент равнодействующей силы М z |