Позиционные системы счисления

• Название: Позиционные системы счисления
• Дата: 18.04.2022
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: ege14 3.doc
• Тип: Документы; #483521
• страница: 5 из 14

Ещё пример задания:

Р-19. Решите уравнение .

Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

1. 
   переведём все числа в десятичную систему счисления:
   

2. 
   собирая всё в одно уравнение получаем
   

3. 
   это уравнение имеет два решения, 6 и -8; основание системы счисления – натуральное число, поэтому ответ – 6
   
4. 
   переводим ответ в троичную систему: 6 = 2∙3¹ = 20₃.
   
5. 
   ответ: 20.
   

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

1. 
   можно (но сложнее) решить задачу перебором с помощью программы:
   

a = 1*7**2 + 0 + 1 # перевод "101" в 10-ю систему

c = a - 1 # число "121" в 10-й системе

for i in range(3,100):# перебираем возможные основания

b = 1*i**2 + 2*i + 1 # перевод в 10-ю систему числа "121"

if b == c:

x = i # основание системы счисления (в 10й системе)

break

x3 = ''

while x > 0:# перевод основания в 3-ю систему

x3 += str(x%3)

x //= 3

x3 = x3[::-1]# разворот числа

print(x3)

2. 
   ответ: 20.
   

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

3. 
   вариант программы:
   

for x in range( 3, 37): # среди оснований от 3 до 36

if int( '121', x ) + 1 == int( '101', 7 ):

break

print('в 10 c.c:', x)

s = ''

while x:

s = str( x%3 ) + s

x //= 3

print( 'Ответ в 3 с.с:', s )

4. 
   ответ: 20.
   

Ещё пример задания:

Р-18. Сколько единиц в двоичной записи числа
4²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ – 8

Решение:

1. 
   приведём все числа к степеням двойки:
   

4²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ – 8 = (2²)²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ – 2³ = 2⁴⁰²⁸ + 2²⁰¹⁵ – 2³

2. 
   вспомним, что число 2^N-1 в двоичной системе записывается как N единиц: ,
   а число 2^N–2^K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:
   
3. 
   согласно п. 2, число 2²⁰¹⁵ – 2³ запишется как 2012 единиц и 3 нуля
   
4. 
   прибавление 2⁴⁰²⁸ даст ещё одну единицу, всего получается 2012 + 1 = 2013 единиц
   
5. 
   ответ: 2013.
   

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

5. 
   программа использует встроенную «длинную арифметику» Python:
   

x = bin( 4**2014 + 2**2015 - 8 )
print( x.count( '1' ) )

6. 
   ответ: 2013.
   

Ещё пример задания:

Р-17. Сколько единиц в двоичной записи числа
4²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ – 8⁶⁰⁰ + 6

Решение:

1. 
   приведём все числа к степеням двойки, разложив 6 как 2²+2¹
   

4²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ – 8⁶⁰⁰ + 6 = (2²)²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ - (2³)⁶⁰⁰ + 2² + 2¹ = 2⁴⁰³² + 2²⁰¹⁸ – 2¹⁸⁰⁰ + 2² + 2¹

2. 
   вспомним, что число 2^N-1 в двоичной системе записывается как N единиц: ,
   а число 2^N–2^K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:
   
3. 
   согласно п. 2, число 2²⁰¹⁸ – 2¹⁸⁰⁰ запишется как 218 единиц и 1800 нулей
   
4. 
   прибавление 2⁴⁰³² даст ещё одну единицу, а прибавление 2² + 2¹ – ещё две, всего получается 218 + 3 = 221 единица
   
5. 
   ответ: 221.