Позиционные системы счисления

• Название: Позиционные системы счисления
• Дата: 18.04.2022
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: ege14 3.doc
• Тип: Документы; #483521
• страница: 6 из 14

Ещё пример задания:

Р-16. Сколько единиц в двоичной записи числа
4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80

Решение:

1. 
   приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 2⁶+2⁴
   

4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80 = (2²)²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + (2³)⁸⁰⁰ – 2² – 2¹ = 2⁴⁰³² – 2²⁰¹⁸ + 2²⁴⁰⁰ – 2⁶ – 2⁴

2. 
   перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
   

2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ – 2⁶ – 2⁴

3. 
   вспомним, что число 2^N-1 в двоичной системе записывается как N единиц: ,
   а число 2^N–2^K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:
   
4. 
   согласно п. 2, число 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ запишется как 382 единицы и 2018 нулей
   
5. 
   добавляем старшее слагаемое 2⁴⁰³², получаем число 2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸, в котором 383 единицы и в конце (после последней единицы) – 2018 нулей:
   

6. 
   выделим из этого значения последнюю единицу со следующими 2018 нулями как отдельное слагаемое (число 2²⁰¹⁸):
   

,

где число K содержит 382 единицы в старших разрядах; таки образом, интересующее нас число равно

7. 
   согласно п. 2, число 2²⁰¹⁸ – 2⁶ запишется как 2012 единиц и 6 нулей; также выделим последнюю единицу с последующими нулями как отдельное слагаемое:
   

где число L содержит 2011 единиц

8. 
   теперь остаётся найти, сколько единиц будет в двоичной записи числа 2⁶ – 2⁴, согласно п. 2 находим, что оно содержит 2 единицы
   
9. 
   таким образом, общее число единиц равно 382 + 2011 + 2 = 2395
   
10. 
    ответ: 2395.
    

Решение (способ 2, Е.А. Смирнов, Нижегородская область):

1. 
   приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 2⁶+2⁴
   

4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80 = (2²)²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + (2³)⁸⁰⁰ – 2² – 2¹ = 2⁴⁰³² – 2²⁰¹⁸ + 2²⁴⁰⁰ – 2⁶ – 2⁴

2. 
   перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
   

2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ – 2⁶ – 2⁴

3. 
   представим – 2²⁰¹⁸ = – 2²⁰¹⁹ + 2²⁰¹⁸ и – 2⁶ = – 2⁷ + 2⁶
   

2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁹ + 2²⁰¹⁸ – 2⁷ + 2⁶– 2⁴

4. 
   слагаемое 2⁴⁰³² в двоичной записи содержит 1 единицу
   
5. 
   слагаемое 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁹ содержит 381 единицу (число 2^N–2^K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей: )
   
6. 
   слагаемое 2²⁰¹⁸ – 2⁷ содержит 2011 единиц, слагаемое 2⁶– 2⁴ содержит 2 единицы
   
7. 
   позиции единиц во всех этих слагаемых не совпадают, поэтому общее количество единиц равно 1 + 381 + 2011 + 2 = 2395
   

ответ: 2395

Решение (способ 3, А.И. Козлов, г. Северобайкальск):

1. 
   приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 2⁶+2⁴
   

4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80 = (2²)²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + (2³)⁸⁰⁰ – 2² – 2¹ = 2⁴⁰³² – 2²⁰¹⁸ + 2²⁴⁰⁰ – 2⁶ – 2⁴

2. 
   перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
   

2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ – 2⁶ – 2⁴

3. 
   выражение 2²⁴⁰⁰–2⁴ дает 2396 единиц и 4 нолика в конце, откуда вычеркиваем (заменяем на ноль) единичку, стоящую на седьмом месте справа (2⁶) и, соответственно на 2019 месте справа (2²⁰¹⁸). Следовательно, остается 2394 единички.
   
4. 
   С учетом того, что 2⁴⁰³² дает нам одну единицу, в итоге получаем 2395 единиц
   
5. 
   Ответ: 2395