Задачи по теории надежности. Практическое 3анятие 1 Определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия. Теоретические сведения
![]()
|
Из (3.14) имеемfc(t) = ce-ct = cPc(t); fc(50) = 4,032*10-3*0,82 = 3,28*10-3 1/час. Из (3.16) получим mtс=1/c=1/4,032*10-3250 час. Задача 3.4. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 час равны: Р1(100) = 0,95; Р2(100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы. Решение. Найдем вероятность безотказной работы изделия: Рс(100)=Р1(100)*Р2(100)=0,95*0,97=0,92 . Найдем интенсивность отказов изделия, воспользовавшись формулой Рс(t)=e-ct или Рс(100)=0,92=e-c100 . По таблице П.7.14[1] имеем с*1000,083 или с=0,83*10-3 1/час . Тогда mtс=1/c=1/(0,83*10-3)=1200 час. Задача 3.5. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна P(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из n = 100 таких же элементов. Решение. Вероятность безотказной работы системы равна Рc(t)= Pn(t)=(0,9997)100. Вероятность Рc(t) близка к единице, поэтому для ее вычисления воспользуемся формулой (3.18). В нашем случае q(t)=1-P(t)=1-0,9997=0,0003. Тогда Рc(t) 1-nq(t)=1-100*0,0003=0,97. Задача.З.6.Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Рc(t)=0,95. Система состоит из n= 120 равнонадежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента. Решение. Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет ![]() Так как Р(t) близка к единице, то вычисления Р(t) удобно выполнить по формуле (3.18). В нашем случае qc(t)=1- Рc(t)=1-0,95=0,05. Тогда ![]() ![]() Задача 3.7. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср =0,32*10-6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 час. Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (З.11) будет λс=ср*n=0,32*10-6*12600=4,032*10-3 1/час. Тогда на основании (З.13) Рc(t)= е-λct или Рc(50)= е-4,032*0,001*50 = 0,82. Задачи для самостоятельного решения Задача 3.8. Аппаратура связи состоит из 2000 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср= 0,33 * 10-5 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы аппаратуры в течении t = 200 час и среднее время безотказной работы аппаратуры. Задача 3.9. Невосстанавливаемая в процессе работы электронная машина состоит из 200000 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ=0,2 * 10-6 1/час. Требуется определить вероятность безотказной работы электронной машины в течении t = 24 часа и среднее время безотказной работы электронной машины. Задача 3.10. Система управления состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср. = 0,16*10-6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течении t = 50 час и среднее время безотказной работы. Задача 3.11. Прибор состоит из n = 5 узлов. Надежность узлов характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t , которая равна: P1(t)=0,98; P2(t)=0,99; P3(t)=0,998; P4(t)=0,975; P5(t)=0,985. Необходимо определить вероятность безотказной работы прибора. Задача 3.12. Система состоит из пяти приборов, среднее время безотказной работы которых равно: mt1=83 час; mt2=220 час; mt3=280 час; mt4=400 час; mt5=700 час . Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы системы. Задача З.1З. Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t = 50 час равна: P1(50)=0,98; P2(50)=0,99; P3(50)=0,998; P4(50)=0,975; P5(50)=0,985. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4 Расчет надежности системы с постоянным резервированием. Теоретические сведения При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,.... соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается (рис .4.1.). Вероятность отказа системы qc(t) определяется формулой ![]() где qj(t) - вероятность отказа j - го элемента . Вероятность безотказной работы системы ![]() где Рj(t) - вероятность безотказной работы j - го элемента. Если Рj(t) =Р(t), j = 0, 1, . . . , m , то ![]() При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем ![]() Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов. Схема общего резервирования показана на рис.4.2. Основная цепь содержит n элементов. Число резервных цепей равно m, т. е. кратность резервирования равна m. Определим количественные характеристики надежности системы с общим резервированием (резервные цепи включены постоянно). Запишем вероятность безотказной работы j - ой цепи ![]() где Рij(t), j=0,1,2,...m; i=1,2,3,...,n - вероятность безотказной работы элемента Эij. Вероятность отказа j - ой цепи ![]() Вероятность отказа системы с общим резервированием ![]() Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием ![]() Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность, т.е. Рij(t)=Pi(t) . (4.9) Тогда ![]() ![]() Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е. Pi(t)=e-it . (4.12) В этом случае формулы (5.10), (5.11) примут вид qc(t)=(1-e-0t)m+1, (4.13) Pc(t)=1-(1-e-0t)m+1, (4.14) ![]() где 0 - интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов. Частота отказов системы с о6щим резервированием ![]() Интенсивность отказов системы с общим резервированием ![]() Среднее время безотказной работы резервированной системы ![]() где Т0 = 1/0 - среднее время безотказной работы нерезервированной системы. Решение типовых задач Задача 4.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента mt = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы mtc, а также частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов λс(t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях: а) нерезервированной системы, б) дублированной системы при постоянно включенном резерве. Решение. а) ![]() где λс - интенсивность отказов системы; λi - интенсивность отказов i - го элемента ; n = 10. λ i=1/mti = 1/1000=0,001; i = 1,2, . . .,n ; =i; λ c=0,001*10=0,01 1/час; mtc=1/ λc=100 час; fc(t)= λc(t) Pc(t); Pc(t)=e-λct; fc(50)= λce-λct=0,01*e-0,01*506*10-3 1/час; λc(50)=0,01 1/час. б) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() fc(50)=4.810-3 1/час ; λc(50)=5.710-3 1/час . Задача 4.2. В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала λ=10-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы системы Рс(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы mtc, частоту отказов fc(t), интенсивность отказов λ с(t) системы. Решение. В данном случае n=1; i= ; 0=n=;m=1. По формуле (4.14) имеем Рс(t)=1-(1-e-t)2; Рс(10)=1-(1-e-0,1)2 . e-0,1=0,9048 . Тогда Рc(10)=1-(1-0,9048)2 =1-0,095221-0,01=0,99 . Определим mtс. Из формулы (4.4) имеем ![]() Определим частоту отказов fc(t). Получим ![]() Определим интенсивность отказов с(t). Имеем ![]() 3адача 4.З. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы Рс(t) = 0,9 при t =10 час., необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов. Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равнонадежных элементах равна Pc(t)=1-(1-e-nt)2 или Pc(t)=1-[1-Pn(t)]2, где P(t)=e-t . Здесь Р(t) - вероятность безотказной работы одного элемента. Так как должно быть 1-[1-Pn(t)]20,9, то ![]() Разложив ![]() ![]() Учитывая, что P(t)= ехр (-t)1-t , получим 1-t1-6,32*10-5 или (6,32*10-5)/t=(6,32*10-5)/10=6,32*10-6 1/час. Задачи для самостоятельного решения 3адача 4.1. Приемник состоит из трех. блоков: УВЧ, УПЧ и УНЧ. Интенсивности отказов этих блоков соответственно равны: λ1= 4∙10-4 1/час; λ2= 2,5∙10-4 1/час; λ3= 3∙10-4 1/час. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы приемника при t=100 час для следующих случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется общее дублирование приемника в целом. Задача 4.2. В радиопередатчике, состоящем из трех равнонадежных каскадов ( n = 3) применено общее постоянное дублирование всего радиопередатчика. Интенсивность отказов каскада равна λ=5∙10-4 1/час. Определить Pc(t), mtc, fc(t), λc(t) радиопередатчика с дублированием. Задача 4.3. Радиоэлектронная аппаратура состоит из трех блоков I, II, III . Интенсивности отказов этих трех блоков соответственно равны: λ1, λ 2, λ 3. Требуется определить вероятность безотказной работы аппаратуры Pc(t) для следующих случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется дублирование радиоэлектронной аппаратуры в целом. Задача 4.4. Нерезервированная система управления состоит из n = 4000 элементов. Известна требуемая вероятность безотказной работы системы Рс(t) = 0,9 при t = 100 час. Необходимо рассчитать допустимую среднюю интенсивность отказов одного элемента, считая элементы равнонадежными, для того чтобы приближенно оценить достижение заданной вероятности безотказной работы при отсутствии профилактических осмотров в следующих случаях: а) резервирование отсутствует ; б) применено общее ду6лирование. Задача 4.5. Устройство обра6отки состоит из трех одинаковых блоков. Вероятность безотказной ра6оты устройства Рy(ti) в течение ( 0, ti) должна быть не менее 0,9. Определить, какова должна быть вероятность безотказной работы каждого блока в течение ( 0, ti ) для случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой всего устройства в целом; в) имеется пассивное раздельное резервирование с неизменной нагрузкой по блокам. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5 Резервирование замещением в режиме облегченного (теплого) резерва и в режиме ненагруженного (холодного) резерва. Теоретические сведения В этом случае резервные элементы находятся в облегченном режиме до момента их включения в работу. Надежность резервного элемента в этом случав выше надежности основного элемента, так как резервные элементы находятся в режиме недогрузки до момента их включения в работу. Вероятность отказа резервированной системы с облегченным резервированием определяется соотношением ![]() где ![]() Здесь λ1 - интенсивность отказа резервного элемента в режиме недогрузки до момента включения его в работу ; λ0 - интенсивность отказа резервного элемента в состоянии работы; m - кратность резервирования или количество резервных элементов. Вероятность безотказной работы системы с облегченным резервированием определяется формулой ![]() Определим среднее время безотказной работы системы с облегченным резервированием. Имеем ![]() где ![]() Определим частоту отказов fc(t) системы с облегченным резервированием. Имеем ![]() Определим интенсивность отказов с(t) системы с облегченным резервированием. Получим ![]() При 1 =0 имеем режим ненагруженного (холодного) резерва. Вероятность отказа резервированной системы с ненагруженным резервированием определяется соотношением ![]() Вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом определяется формулой ![]() Определим среднее время безотказной работы системы с ненагруженным резервом. Имеем ![]() Определим частоту отказов fc(t) системы с ненагруженным резервом. Имеем ![]() Определим интенсивность отказов с(t) системы с ненагруженным резервом. Получим ![]() Решение типовых задач Задача 5.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента mt = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти вероятность безотказной работы системы Рс(t), среднее время безотказной работы системы mtс, а также частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов с (t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях: а) нерезервированной системы, б) дублированной системы при включении резерва по способу замещения (ненагруженный резерв). Решение: а) ![]() где λс - интенсивность отказов системы, i - интенсивность отказов i - го элемента; n = 10, ![]() ![]() ![]() ![]() fc(t)=c(t)pc(t) ; c(50)=c ; fc(50)=c ![]() c(50)=0.01 1/час . б) mtc= ![]() mtc= ![]() Определяем Рc(t) по формуле ![]() Так как λ0=λс , то Pc(t)=e-сt(1+ct) . |