Задачи по теории надежности. Практическое 3анятие 1 Определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия. Теоретические сведения

• Название: Практическое 3анятие 1 Определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия. Теоретические сведения
• Дата: 10.12.2021
• Размер: 1.43 Mb.
• Имя файла: Задачи по теории надежности.doc
• Тип: Документы; #299207
• страница: 3 из 9

Определяем f_c(t). Имеем

Определяем _c (t) . Получим

λ_c(t)=

Определяем P_c(50), f_c(50), λ_c(50).Имеем

p_c(50)=e^{-0.0150(1+0.0150)}=e^{-0.51.5∙0.60651.50.91 ,}

f_c(50)=0.01^250e-0.0150=0.010.5e^-0.5310-3 1/час ,

_c(50)= 1/час .

Задача 5.2. Радиопередатчик имеет интенсивность отказов λ₀=0,4*10^-3 1/час. Его дублирует такой же передатчик, находящийся до отказа основного передатчика в режиме ожидания (в режиме облегченного резерва). В этом режиме интенсивность отказов передатчика λ₁= 0,06∙10^-3 1/час. Требуется вычислить вероятность безотказной работы передающей системы в течение времени t = 100 час., а также среднее время безотказной работы m_tс, частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов λ_с(t).

Решение. В рассматриваемом случае кратность резервирования m = 1. Используя формулу (5.З), получим

;

; .

Тогда

(5.13)

Из (5.13) имеем



0.96[1+6.67-6.67(1-0.006)]0.998 .

Определим m_tс по формуле (5.4.). Получим




4668 ч .
Определим f_c(t) . Имеем



=

Перепишем (5.13) в виде



Определим _с(t). Получим



Задача 5.3. Вероятность безотказной работы преобразователя постоянного тока в переменный в течении времени t=1000 час. равна 0,95, т. е. Р(1000) = 0,95. Для повышения надежности системы электроснабжения на объекте имеется такой же преобразователь, который включается в работу при отказе первого (режим ненагруженного резерва). Требуется рассчитать вероятность безотказной работы и среднее время безотказной работы системы, состоящей из двух преобразователей, а также определить частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t) системы.

Решение. В рассматриваемом случае кратность резервирования m = 1. Используя формулу (5.9), получим

(5.14)

Так как для отдельного преобразователя имеет место экспоненциальный закон надежности, то

, (5.15)

где Р(t)- вероятность безотказной работы преобразователя; λ₀ - интенсивность отказов преобразователя в состоянии работы.

Из (5.15) имеем

P(1000)=e^-λo1000 =0,95 .

Из приложения П.7.14 [1] получим

λ₀*1000=0,051,

откуда

λ₀=0,051/10000,5*10^-4 1/час.

Тогда из (5.14) имеем

P_c(1000)=0,95(1+0,05)=0,9975 .

Определим m_tc по формуле (5.10). Получим

m_tc = (m+1)/₀=2/₀=2/(0,5*10^-4) = 40000 час.

Отметим, что среднее время безотказной работы нерезервированного преобразователя равно

m_tc =1/₀=20000 час.

Определим частоту отказов f_c(t) по формуле (5.11). Имеем



Определим _с(t). Получим


Задачи для самостоятельного решения

Задача 5.1 Передающее устройство состоит из одного работающего передатчика (λ=8∙10^-3 1/час) и одного передатчика в облегченном резерве (λ₀ = 8∙10^-4 1/час) . Требуется определить вероятность безотказной работы устройства P_c(t) , среднее время безотказной работы устройства m_tc. Определить Pc(t) при t = 20 час.

Задача 5.2. В радиопередающем канале связной системы используется основной передатчик П₁, два передатчика П₂ и П₃, находящиеся в ненагруженном резерве. Интенсивность отказов основного работающего передатчика равна λ₀=10^-3 1/час. С момента отказа передатчика П₁ в работу включается П₂, после отказа передатчика П₂ включается П₃. При включении резервного передатчика в работу его интенсивность отказов становится равной λ₀. Считая переключатель абсолютно надежным, определить вероятность безотказной работы P_c(t) радиопередающего канала, среднее время безотказной работы m_tc канала. Определить также P_c(t) при t=100 час.

Задача 5.3. Устройство автоматического поиска неисправностей состоит из двух логических блоков. Среднее время безотказной работы этих блоков одинаково и для каждого из них равно m_t= 200 час. Требуется определить среднее время безотказной работы устройства m_tc для двух случаев: а) имеется ненагруженный резерв всего устройства; б) имеется ненагруженный резерв каждого блока.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №6

Расчет надежности системы с поэлементным резервированием.
Теоретические сведения

При поэлементном резервировании резервируются отдельно элементы системы. Определим количественные характеристики надежности системы.

Запишем вероятность отказа i - ой группы. Имеем

; (6.1)

где q_ij(t) - вероятность отказа элемента Э_ij на интервале времени (0, t). Запишем вероятность безотказной работы j-ой группы. Получим

; , (6.2)

где P_ij(t) - вероятность безотказной работы элемента Э_ij на интервале времени (0,t); m_i - кратность резервирования элемента j-ой группы. Запишем вероятность безотказной работы системы с поэлементным резервированием



или

(6.3)

Для равнонадежных элементов системы и m_i=m=const имеем:

P_ij(t)=P(t) ; (6.4)

P_c(t) =[1-[1-P(t)]^m+1]ⁿ . (6.5)

Если

P_ij(t)=P_i(t), (6.6)

то формула (6.З) примет вид

. (6.7)

При экспоненциальном законе надежности, когда P_i(t)=e^-it,

(6.8)

В этом случае формула (6.5) примет вид

(6.9)

а среднее время безотказной работы системы определяется соотношением

(6.10)

Подставляя (6.9) в (6.10),получим

(6.11)

где v_j=(j+1)/(m+1) .
Решение типовых задач

Задача 6.1.Для повышения надежности усилителя все его элементы дублированы. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы. Необходимо найти вероятность безотказной работы усилителя в течение t =5000 час. Состав элементов нерезервированного усилителя и данные по интенсивности отказов элементов приведены в табл.6.1.

Таблица 6.1.

Элементы	Количество элементов	Интенсивность отказов элемента , 10-5 1/час
Транзисторы	1	2,16
Резисторы	5	0,23
Конденсаторы	3	0,32
Диоды	1	0,78
Катушки индуктивности	1	0,09

Решение. В рассматриваемом случае имеет место раздельное резервирование с кратностью m_i = m= 1, число элементов нерезервированного усилителя n = 11. Тогда, используя данные табл.6.1., на основании формулы (6.8) получим



Так как λ_i<<1, то для приближенного вычисления показательную функцию можно разложить в ряд и ограничиться первыми двумя членами разложения: 1-exp(-5000 λ_i)5000 λ_i.

Тогда



=1-2510^-6[2.16²+50.23²+30.32²+0.78²+0.09²]10^{-100.985 .}

Задача 6.2. Схема расчета надежности резервированного устройства приведена на рис.6.2. Интенсивности отказов элементов имеют следующие значения : λ₁=0,23*10^-3 1/час; λ₂=0,5*10^-4 1/час; λ₃=0,4*10^-3 1/час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы. Необходимо найти среднее время безотказной работы устройства, вероятность безотказной работы устройства, интенсивность отказов устройства.

Решение.

(6.12)

где P_c(t) - вероятность безотказной работы устройства. Очевидно

P_c(t) =P_I(t)∙P_II(t)∙P_III(t) . (6. 13)

Здесь P_I(t), P_II(t), P_III(t) - вероятность безотказной работы I, II и III группы элементов. Имеем

P_I(t) =1-q_I(t); q_I(t)=[1-P₁(t) ]²;

P_I(t) =1-[1-P₁(t) ]²=2P₁(t) -P₁²(t);

P_II(t) =P₂(t) ;

P_III(t) =1-q_III(t); q_III(t)=[1-P₃(t) ]²;

P_III(t) =1-[1-P₃(t) ]²=2P₃(t) -P₃²(t) .

Из (16.13) имеем

P_c(t) =[2P₁(t) -P₁²(t)]P₂(t) [2P₃(t) -P₃²(t)]=

=4P₁(t) P₂(t) P₃(t) - 2P₁²(t)P₂(t) P₃(t)- 2P₁(t)P₂(t) P₃²(t)+P₁²(t)P₂(t) P₃²(t).

Так как P₁(t) = ; P₂(t) = ; P₃(t) = , то

P_c(t) =4 - 2 - +

или

P_c(t) =4e^{-0,68*0,001*t}-2e^{-0,91*0,001*t}-2e^{-1,08*0,001*t}+e^{-1,31*0,001*t} . (6.14)

Подставляя (6.14) в (6.12), получим



или



час .

Известно, что

. (6.15)

Oпределим f_c(t). Имеем

(6.16)



или