Задачи по теории надежности. Практическое 3анятие 1 Определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия. Теоретические сведения
![]()
|
Решение типовых задач Задача 8.1. Система состоит из двух одинаковых элементов. Для повышения ее надежности конструктор предложил скользящее резервирование при одном резервном элементе, находящемся в ненагруженном состоянии. Интенсивность отказов элемента равна λ. Требуется найти вероятность безотказной работы Pc(t) резервированной системы, среднее время безотказной работы mtc системы, а также частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов λc(t) резервированной системы. Решение. В рассматриваемом случае n = 2; m0 = 1; λ0 = λn = 2. На основании формулы (8.1) имеем ![]() или ![]() Определим mtc. Получим ![]() или ![]() Определим частоту отказов fc(t). Имеем ![]() или ![]() Определим интенсивность отказов λc(t). Получим ![]() Задача 8.2. Цифровая вычислительная машина состоит из 1024 однотипных ячеек и сконструирована так, что есть возможность заменить любую из отказавших ячеек. В составе ЗИП имеется 3 ячейки, каждая из которых может заменить любую отказавшую. Требуется определить вероятность безотказной работы ЦВМ Pc(t) , среднее время безотказной работы mtc, частоту отказов fc(t), интенсивность отказов λc(t). Также требуется определить Pc(t) при t=10000 час. Известно, что интенсивность отказов ячейки λ=0.12∙10-6 1/час. Под отказом будем понимать событие, когда ЦВМ не может работать из-за отсутствия ЗИПа, т.е. когда весь ЗИП израсходован и отказала еще одна ячейка памяти ЦВМ. Решение. Так как любая ячейка из состава ЗИПа может заменить любую отказавшую ячейку ЦВМ, то имеет место “скользящее” резервирование. В нашем случае число элементов основной системы n=1024, интенсивность отказов нерезервированной системы λ0=nλ=1024∙0.12∙10-6 =1.23104 1/час, число резервных элементов m0=3. На основании формулы (8.1) имеем ![]() Определим mtc. Получим ![]() или ![]() Определим частоту отказов fc(t). Имеем ![]() ![]() Определим интенсивность отказов c(t). Получим ![]() Определим Pc(t) при t=10000час. Имеем ![]() Задачи для самостоятельного решения Задача 8.3. Машина состоит из 1024 стандартных ячеек и множества других элементов. В ЗИПе имеется еще две однотипные ячейки, которые могут заменить любую из отказавших. Все элементы, кроме указанных ячеек, идеальные в смысле надежности. Известно, что интенсивность отказов ячеек есть величина постоянная, а среднее время безотказной работы машины с учетом двух запасных ячеек mtc=60 час. Предполагается, что машина допускает короткий перерыв в работе на время отказавших ячеек. Требуется определить среднее время безотказной работы одной ячейки mt=mti,. Определить вероятность безотказной работы резервированной системы Pc(t), частоту отказов fc(t), интенсивность отказовλc(t) резервированной системы. Задача 8.4. Система состоит из n однотипных элементов, каждый из которых имеет среднее время безотказной работы mti=mt=1/λ , i= ![]() Задача 8.5. Бортовая аппаратура спутника включает в себя аппаратуру связи, командную и телеметричекую системы, систему питания и систему ориентации. Аппаратура связи состоит из двух работающих ретрансляторов и одного ретранслятора в ненагруженном резерве. Переключающее устройство предполагается абсолютно надежным. Командная система имеет постоянное резервирование. Системы питания, ориентации и телеметрии резерва не имеют. Заданы интенсивности отказа: каждого комплекта ретранслятора - λ1 , командной системы - λ2 , системы телеметрии - λ3 , системы питания - λ4 и системы ориентации - λ5 . Требуется определить вероятность безотказной работы Pc(t) бортовой аппаратуры спутника. Логическая схема для расчета надежности бортовой аппаратуры спутника представлена на рис. 8.2. Здесь I - аппаратура ретранслятора, II - командная система, III - остальные системы. Задача 8.6. Блок усилителей промышленной частоты включает в себя n = 4 последовательно соединенных усилителя и один усилитель в ненагруженном резерве. Интенсивность отказов каждого работающего усилителя λ= 610 -4 1/час. Определить вероятность безотказной работы Pc (t) резервированной системы, среднее время безотказной работы m tc системы, частоту отказов fc(t), интенсивность отказов λс(t). Определить также Pc (t) при t = 100 час. Задача 8.7. Блок телеметрии включает в себя два одинаковых приемника. Интенсивность отказов каждого приемника составляет λ= 4∙10-4 1/час. Имеется один приемник в ненагруженном скользящем резерве. Определить вероятность безотказной работы Pc (t) резервированной системы, среднее время безотказной работы mtcсистемы, частоту отказов fc(t), интенсивность отказов λc (t). Определить Pc (t) при t= 250 час. Определить Pc (t), когда резерв отсутствует. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 9. Расчет показателей надежности резервированных устройств с учетом восстановления Теоретические сведения Резервирование, при котором возможно восстановление отказавших элементов, является эффективным средством повышения надежности. Отказ резервированной группы с восстановлением произойдет, если все элементы, составляющие группу, ремонтируются. При резервировании с восстановлением резерв как бы все время пополняется восстанавливаемыми блоками. Показатели надежности, как правило, определяются при условии, что в момент включения все элементы работоспособны. Наиболее часто используются два метода расчета надежности восстанавливаемых систем, которые условно называются: метод интегральных уравнений и метод дифференциальных уравнений. Будем рассматривать в дальнейшем 2-ой метод. В методе дифференциальных уравнений использовано допущение о показательных распределениях времени между отказами и времени восстановления. Вначале перечисляются возможные состояния системы и составляется ее математическая (логическая) модель в виде схемы состояний, на которой прямоугольниками или кружками изображаются возможные состояния и стрелками - возможные направления переходов из одного состояния в другое. По схеме состояний составляют систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний. Для этого целесообразно использовать следующие правила: левые части уравнений содержат производные по времени вероятностей соответствующих состояний ![]() знак зависит от направления стрелки (плюс, если стрелка направлена острием к состоянию, и минус в противном случае); число уравнений равно числу состояний; система дифференциальных уравнений должна быть дополнена нормировочным условием, состоящем в том, что сумма вероятностей всех состояний равна единице. Решение системы дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа или каким-либо другим методом позволяет определить требуемые показатели надежности. Когда перерывы в работе системы допустимы, в качестве показателей надежности используют функцию готовности Кг(t) и функцию простоя Kп(t) или коэффициенты готовности Kг и простоя Кп определяемые в виде ![]() ![]() ![]() Функция готовности Kг(t) равна по определению вероятности того, что в момент времени t система исправна. Функция простоя Кп(t) равна вероятности того, что в момент времени t система неисправна. Имеют место соотношения Кг(t)+Kп(t)=1; (9.2) Кг+Кп=1. Часто рассматривают установивший режим эксплуатации при t . Тогда ![]() Когда перерывы в работе системы недопустимы, в качестве показателей надежности используются условные вероятности непрерывной безотказной работы в течение заданного времени выполнения задачи ![]() При нескольких работоспособных состояниях ![]() где n число работоспособных состояний; Pj(t) вероятность jго работоспособного состояния. Часто число неработоспособных состояний значительно меньше числа работоспособных. При этом удобнее вычислять коэффициент простоя ![]() где Pl(t) вероятность lго неработоспособного состояния; m+1 - общее число состояний. Особенности расчетарезервированных систем Система, состоящая из равнодежных одного основного и k резервных элементов, может находиться в любом из (k+2) состояний: 0 - все элементы работоспособны; 1 - один элемент в неработоспособном состоянии; j когда j элементов в неработоспособном состоянии; k+1 когда (k+1) элементы в неработоспособном состоянии. Предполагается, что при замене работающего элемента на резервный перерыва в работе системы не происходит, поэтому отказ системы наступает при одновременной неработоспособности основного и всех резервных элементов (состояние k+1). Рассмотрим случай ненагруженного резерва с абсолютно надежным переключателем и с одной ремонтной бригадой, обслуживающей систему (ограниченное восстановление). По предположению, элементы в ненагруженном резерве имеют интенсивность отказов =0. Если число неработоспособных элементов оказывается больше одного, то существует очередь на ремонт. Схема состояний системы представлена на рис. 9.1. Система дифференциальных уравнений имеет следующий вид: ![]() : : ![]() ![]() ![]() ![]() : : ![]() При t система (9.5) переходит в систему алгебраических уравнений: P0+P1=0 ; : : Pj1 (+)Pj + Pj+1=0 ; ![]() : : Pk Pk+1=0. Для решения системы (9.6) необходимо добавить уравнение ![]() В результате решения системы (9.6) совместно с уравнением (9.7) получим установившиеся значения коэффициентов простоя и готовности: ![]() Если та же система, состоящая из k+1 элементов, обслуживается (k+1) ремонтными бригадами (неограниченное восстановление), то очередь на ремонт отсутствует. Схема состояний для ненагруженного резерва и неограниченного восстановления представлена на рис. 9.2. В результате решения системы уравнений при Pj(t)=0 получим: ![]() Рассуждая аналогично, получим: для ограниченного восстановления ![]() ![]() для неограниченного восстановления ![]() ![]() ![]() Рассмотрим резервированные системы, для которых отказы недопустимы, но ремонт отказавшего элемента производится во время выполнения задачи. Если система состоит из основного элемента и k элементов в нагруженном резерве, то для случая ограниченного восстановления схема состояний представлена на рис.9.5. При попадании системы в состояние (k+1) происходит отказ системы, который недопустим и приводит к невыполнению поставленной задачи. Вероятность безотказной системы работы ![]() найдена в предположении, что при t=0 в системе нет неиспользованных элементов, т.е. P0(0)=1; P1(0)= ... =Pk+1(0)=0. Вероятность отказа системы в течении времени выполнения задачи также является условной вероятностью и равна ![]() Важным показателем является среднее время безотказной работы ![]() При решении системы уравнений, составленных по схеме состояний с помощью преобразований Лапласа, целесообразно использовать правило, облегчающее расчет. Для определения среднего времени безотказной работы достаточно найти преобразование Лапласа вероятности безотказной работы P(s) и подставить в него s=0. . |