Задачи по теории надежности. Практическое 3анятие 1 Определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия. Теоретические сведения

• Название: Практическое 3анятие 1 Определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия. Теоретические сведения
• Дата: 10.12.2021
• Размер: 1.43 Mb.
• Имя файла: Задачи по теории надежности.doc
• Тип: Документы; #299207
• страница: 5 из 9

Решение типовых задач

Задача 8.1. Система состоит из двух одинаковых элементов. Для повышения ее надежности конструктор предложил скользящее резервирование при одном резервном элементе, находящемся в ненагруженном состоянии. Интенсивность отказов элемента равна λ. Требуется найти вероятность безотказной работы P_c(t) резервированной системы, среднее время безотказной работы m_tc системы, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов λ_c(t) резервированной системы.

Решение. В рассматриваемом случае n = 2; m₀ = 1; λ₀ = λn = 2.

На основании формулы (8.1) имеем



или

.

Определим m_tc. Получим



или

.

Определим частоту отказов f_c(t). Имеем



или

Определим интенсивность отказов λ_c(t). Получим



Задача 8.2. Цифровая вычислительная машина состоит из 1024 однотипных ячеек и сконструирована так, что есть возможность заменить любую из отказавших ячеек. В составе ЗИП имеется 3 ячейки, каждая из которых может заменить любую отказавшую. Требуется определить вероятность безотказной работы ЦВМ P_c(t) , среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов λ_c(t). Также требуется определить P_c(t) при t=10000 час. Известно, что интенсивность отказов ячейки λ=0.12∙10^-6 1/час. Под отказом будем понимать событие, когда ЦВМ не может работать из-за отсутствия ЗИПа, т.е. когда весь ЗИП израсходован и отказала еще одна ячейка памяти ЦВМ.

Решение. Так как любая ячейка из состава ЗИПа может заменить любую отказавшую ячейку ЦВМ, то имеет место “скользящее” резервирование. В нашем случае число элементов основной системы n=1024, интенсивность отказов нерезервированной системы λ₀=nλ=1024∙0.12∙10^-6 =1.2310⁴ 1/час, число резервных элементов m₀=3. На основании формулы (8.1) имеем



Определим m_tc. Получим



или

час.

Определим частоту отказов f_c(t). Имеем



Определим интенсивность отказов _c(t). Получим



Определим P_c(t) при t=10000час. Имеем



Задачи для самостоятельного решения

Задача 8.3. Машина состоит из 1024 стандартных ячеек и множества других элементов. В ЗИПе имеется еще две однотипные ячейки, которые могут заменить любую из отказавших. Все элементы, кроме указанных ячеек, идеальные в смысле надежности. Известно, что интенсивность отказов ячеек есть величина постоянная, а среднее время безотказной работы машины с учетом двух запасных ячеек m_tc=60 час. Предполагается, что машина допускает короткий перерыв в работе на время отказавших ячеек. Требуется определить среднее время безотказной работы одной ячейки m_t=m_ti,. Определить вероятность безотказной работы резервированной системы P_c(t), частоту отказов f_c(t), интенсивность отказовλ_c(t) резервированной системы.

Задача 8.4. Система состоит из n однотипных элементов, каждый из которых имеет среднее время безотказной работы m_ti=m_t=1/λ , i= . Для повышения надежности применено скользящее резервирование, при котором m₀ резервных элементов находятся в ненагруженном режиме. Необходимо найти среднее время безотказной работы резервированной системы m_tc. Определить вероятность безотказной работы резервированной системы P_c(t), если m₀ = 2, а также частоту отказов f_c (t), интенсивность отказов λ_с(t) резервированной системы.

Задача 8.5. Бортовая аппаратура спутника включает в себя аппаратуру связи, командную и телеметричекую системы, систему питания и систему ориентации. Аппаратура связи состоит из двух работающих ретрансляторов и одного ретранслятора в ненагруженном резерве. Переключающее устройство предполагается абсолютно надежным. Командная система имеет постоянное резервирование. Системы питания, ориентации и телеметрии резерва не имеют. Заданы интенсивности отказа: каждого комплекта ретранслятора - λ₁ , командной системы - λ₂ , системы телеметрии - λ₃ , системы питания - λ₄ и системы ориентации - λ₅ . Требуется определить вероятность безотказной работы P_c(t) бортовой аппаратуры спутника. Логическая схема для расчета надежности бортовой аппаратуры спутника представлена на рис. 8.2. Здесь I - аппаратура ретранслятора, II - командная система, III - остальные системы.

Задача 8.6. Блок усилителей промышленной частоты включает в себя n = 4 последовательно соединенных усилителя и один усилитель в ненагруженном резерве. Интенсивность отказов каждого работающего усилителя λ= 610 ^-4 1/час. Определить вероятность безотказной работы P_c (t) резервированной системы, среднее время безотказной работы m _tc системы, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов λ_с(t). Определить также P_c (t) при t = 100 час.

Задача 8.7. Блок телеметрии включает в себя два одинаковых приемника. Интенсивность отказов каждого приемника составляет λ= 4∙10^-4 1/час. Имеется один приемник в ненагруженном скользящем резерве. Определить вероятность безотказной работы P_c (t) резервированной системы, среднее время безотказной работы m_tcсистемы, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов λ_c (t). Определить P_c (t) при t= 250 час. Определить P_c (t), когда резерв отсутствует.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 9.

Расчет показателей надежности резервированных устройств

с учетом восстановления
Теоретические сведения
Резервирование, при котором возможно восстановление отказавших элементов, является эффективным средством повышения надежности. Отказ резервированной группы с восстановлением произойдет, если все элементы, составляющие группу, ремонтируются.

При резервировании с восстановлением резерв как бы все время пополняется восстанавливаемыми блоками.

Показатели надежности, как правило, определяются при условии, что в момент включения все элементы работоспособны.

Наиболее часто используются два метода расчета надежности восстанавливаемых систем, которые условно называются: метод интегральных уравнений и метод дифференциальных уравнений.

Будем рассматривать в дальнейшем 2-ой метод. В методе дифференциальных уравнений использовано допущение о показательных распределениях времени между отказами и времени восстановления.

Вначале перечисляются возможные состояния системы и составляется ее математическая (логическая) модель в виде схемы состояний, на которой прямоугольниками или кружками изображаются возможные состояния и стрелками - возможные направления переходов из одного состояния в другое. По схеме состояний составляют систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний.

Для этого целесообразно использовать следующие правила:

• 
  левые части уравнений содержат производные по времени вероятностей соответствующих состояний , а каждый член правой части уравнения получается путем умножения интенсивности перехода, стоящей над стрелкой, связанной с данным состоянием, на соответствующую вероятность состояния;
  
• 
  знак зависит от направления стрелки (плюс, если стрелка направлена острием к состоянию, и минус в противном случае);
  
• 
  число уравнений равно числу состояний; система дифференциальных уравнений должна быть дополнена нормировочным условием, состоящем в том, что сумма вероятностей всех состояний равна единице.
  

Решение системы дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа или каким-либо другим методом позволяет определить требуемые показатели надежности.

Когда перерывы в работе системы допустимы, в качестве показателей надежности используют функцию готовности К_г(t) и функцию простоя K_п(t) или коэффициенты готовности K_г и простоя К_п определяемые в виде

(9.1)



Функция готовности K_г(t) равна по определению вероятности того, что в момент времени t система исправна. Функция простоя К_п(t) равна вероятности того, что в момент времени t система неисправна.

Имеют место соотношения

К_г(t)+K_п(t)=1; (9.2)

К_г+К_п=1.

Часто рассматривают установивший режим эксплуатации при t . Тогда и система дифференциальных уравнений переходят в систему алгебраических уравнений.

Когда перерывы в работе системы недопустимы, в качестве показателей надежности используются условные вероятности непрерывной безотказной работы в течение заданного времени выполнения задачи при условии, что в начальный момент времени все элементы системы работоспособны. В рассматриваемом случае имеются “поглощающие” состояния и необходимо решить полную систему дифференциальных уравнений при соответствующих начальных условиях.

При нескольких работоспособных состояниях

(9.3)

где n число работоспособных состояний; P_j(t) вероятность jго работоспособного состояния.

Часто число неработоспособных состояний значительно меньше числа работоспособных. При этом удобнее вычислять коэффициент простоя

(9.4)

где P_l(t) вероятность lго неработоспособного состояния; m+1 - общее число состояний.

Особенности расчетарезервированных систем

Система, состоящая из равнодежных одного основного и k резервных элементов, может находиться в любом из (k+2) состояний: 0 - все элементы работоспособны; 1 - один элемент в неработоспособном состоянии; j когда j элементов в неработоспособном состоянии; k+1 когда (k+1) элементы в неработоспособном состоянии.

Предполагается, что при замене работающего элемента на резервный перерыва в работе системы не происходит, поэтому отказ системы наступает при одновременной неработоспособности основного и всех резервных элементов (состояние k+1).

Рассмотрим случай ненагруженного резерва с абсолютно надежным переключателем и с одной ремонтной бригадой, обслуживающей систему (ограниченное восстановление). По предположению, элементы в ненагруженном резерве имеют интенсивность отказов =0. Если число неработоспособных элементов оказывается больше одного, то существует очередь на ремонт.

Схема состояний системы представлена на рис. 9.1. Система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

P₀(t)+P₁(t) ;

:

:

P_j1(t)(+)P_j(t)+P_j+1(t) ; ; (9.5)

:

:

P_k(t)P_k+1(t).

При t система (9.5) переходит в систему алгебраических уравнений:

P₀+P₁=0 ;

:

:

P_j1 (+)P_j + P_j+1=0 ; ; (9.6)

:

:

P_k P_k+1=0.

Для решения системы (9.6) необходимо добавить уравнение

. (9.7)

В результате решения системы (9.6) совместно с уравнением (9.7) получим установившиеся значения коэффициентов простоя и готовности:

(9.8)

Если та же система, состоящая из k+1 элементов, обслуживается (k+1) ремонтными бригадами (неограниченное восстановление), то очередь на ремонт отсутствует. Схема состояний для ненагруженного резерва и неограниченного восстановления представлена на рис. 9.2. В результате решения системы уравнений при P_j(t)=0 получим:

(9.9)

Рассуждая аналогично, получим:

для ограниченного восстановления

K_г=1K_п ; (9.10)

для неограниченного восстановления

(9.10^a)



Рассмотрим резервированные системы, для которых отказы недопустимы, но ремонт отказавшего элемента производится во время выполнения задачи. Если система состоит из основного элемента и k элементов в нагруженном резерве, то для случая ограниченного восстановления схема состояний представлена на рис.9.5. При попадании системы в состояние (k+1) происходит отказ системы, который недопустим и приводит к невыполнению поставленной задачи.

Вероятность безотказной системы работы

(9.11)

найдена в предположении, что при t=0 в системе нет неиспользованных элементов, т.е.

P₀(0)=1; P₁(0)= ... =P_k+1(0)=0.

Вероятность отказа системы в течении времени выполнения задачи также является условной вероятностью и равна

(9.12)

Важным показателем является среднее время безотказной работы

(9.13)

При решении системы уравнений, составленных по схеме состояний с помощью преобразований Лапласа, целесообразно использовать правило, облегчающее расчет. Для определения среднего времени безотказной работы достаточно найти преобразование Лапласа вероятности безотказной работы P(s) и подставить в него s=0. .