практикум тпу по мсис. Практикум МСиС_0-unlocked (1). Практикум по метрологии, стандартизации и сертификации рекомендовано в качестве учебного пособия

• Название: Практикум по метрологии, стандартизации и сертификации рекомендовано в качестве учебного пособия
• Анкор: практикум тпу по мсис
• Дата: 10.03.2023
• Размер: 1.25 Mb.
• Имя файла: Практикум МСиС_0-unlocked (1).pdf
• Тип: Практикум; #978097
• страница: 8 из 10

Пример 8
: Универсальным вольтметром В7-17 измерено активное сопротивление цепи при времени преобразования 20 мс на поддиапа- зоне измерения (0–100) кОм. Получено значение измеренного сопро- тивления R = 50 кОм. Оценить погрешность измерения.

84
Решение
Из технического описания на В7-17 находим, что формула, выра- жающая относительную погрешность измерения сопротивления имеет следующий вид: изм
0,2 0,02
%
N
R
R









, тогда: изм
100 Ом
100 %
0,2 0,02
%
0,24 %
50 Ом
N
R
R





 

 




,
50 кОм 0,24 %
0,12 кОм
100 %
R

  
 
Пример 9.
Имеется низкочастотный генератор сигналов Г3-36, на выходе которого установлена частота 50 Гц. Оценить погрешность установки частоты.
Решение.
Из технической документации на генератор находим, что основная погрешность установки частоты F данного генератора определяется по формуле:


0,03 1,5 Гц
F
F
  

И для установленной частоты равняется:


0,03 50 1,5 Гц
3 Гц.
F
  


 
2.6. Суммирование систематических погрешностей прямых измерений
Систематическая погрешность прямых измерений может представ- лять результат суммирования нескольких погрешностей. Источники та- ких погрешностей могут быть самые разнообразные. Например, это мо- жет быть погрешность, обусловленная классом точности СИ, погрешно- сти установочных мер, погрешности влияния внешних условий, по- грешность метода измерения, табличная погрешность, погрешность па- раллакса, округления результатов вычисления и т. д.
Обозначим эти погрешности через:
1 2
3
, , ,
n
  


Принято считать, что систематические погрешности
i
 распределены, как правило, по равномерному закону внутри своих интервалов


;
i
i


 

85
Знаки
i
 и их значения можно рассматривать как случайные вели- чины, тогда суммарная погрешность измерения при отсутствии корре- ляции между
i
 оценивается по формуле:
2 2
2 2
2 1
2 3
1
,
n
n
i
i
k
k







 



 

где k – коэффициент, соответствующий выбранной доверительной веро- ятности.
Коэффициент k,как показывают расчеты, зависит от числа n по- грешностей
i
 и от соотношения c их величин. Значение c определяется следующим образом: среди всех составляющих погрешностей выбира- ется наибольшая по модулю и ближайшая к ней, а затем вычисляется значение c как отношение первой ко второй, после чего значение k находится по табл. 2.1.
Таблица 2.1
Значения коэффициентов k
c
α = 0,90
α = 0,95
α = 0,99
n = 2
n = 3
n = 4
n = 2
n = 3
n = 4
n = 2
n = 3
n = 4 1 0,967 0,958 0,946 1,101 1,120 1,120 1,276 1,376 1,410 2 0,942 0,945 0,945 1,054 1,086 1,096 1,215 1,313 1,360 3 0,918 0,926 0,935 1,019 1,046 1,062 1,157 1,283 1,284 4 0,906 0,912 0,918 0,996 1,017 1,032 1,116 1,182 1,223 5 0,900 0,905 0,911 0,982 0,997 1,012 1,089 1,143 1,179
Расчет суммарной погрешности

можно проводить и без учета числа составляющих
i
 . При этом при доверительных вероятностях:
0,90;
0,95;
0,99






используются соответственно коэффициенты:
1; 1,1; 1,4.
k
k
k



Суммарная погрешность здесь может получиться несколько завы- шенной. Что для большинства практических задач несущественно.
Можно встретить и другие рекомендации оценивания суммарной погрешности. Так, оценка сверху погрешности результата измерения может быть представлена простым суммированием модулей составляю- щих:
1
n
i
i





Для оценки суммарной погрешности измерения простое суммиро- вание модулей составляющих считается более целесообразным, когда

86
число суммируемых погрешностей
3
n
 , поскольку в этом случае ве- роятность того, что все составляющие погрешности имеют одинаковые знаки, существенно выше, чем в случае, когда
3
n
 .
Пример 10.
Два резистора с сопротивлениями
1 50 Ом
R

и три с сопротивлениями
2 100 Ом
R

соединены последовательно, причем их систематические погрешности равны
1 1 Ом
R
  
и
2 2 Ом
R
  
. Опре- делить сопротивление цепи и его погрешность.
Решение
Общее сопротивление вычисляется по формуле:
1 2
2 3
R
R
R


,
2 50 3 100 400 Ом.
R
 
 

При вычислении суммарной погрешности нужно иметь ввиду следующее: если есть уверенность, что знаки погрешностей сопротив- лений одинаковы и знаки погрешностей сопротивлений также одинаковы, то можно использовать суммирование модулей составляю- щих погрешностей, поскольку их по существу только две:
1 2
2 3
8 Ом.
R
R
R
      
Но если такой уверенности нет, то целесообразнее применить геометрическое суммирование, например при вероятности 0,95. Тогда:
2 2
1 2
1,1 2 3
1,1 14 4,1 4 Ом.
R
R
R
  
 
  
 
 

Результат измерения в случае суммирования модулей погрешно- стей запишется:
400 Ом,
8 Ом.
R
R

  
Если суммирование погрешностей геометрическое, то
400 Ом,
4 Ом при 0,95.
R
R


  

2.7. Литература
1.
ГОСТ 8.401-80 ГСИ. Классы точности средств измерений. Об- щие требования.
2.
ГОСТ Р 8.736-2011 ГСИ. Измерения прямые многократные. Ме- тоды обработки результатов измерений. Основные положения.

87
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3
ОЦЕНИВАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
3.1. Цель
 изучить основные понятия концепции неопределенности, методы оценивания неопределенности результатов измерений,
 научиться выявлять источники возникновения неопределенностей измерений, оценивать неопределенности результатов прямых и косвенных измерений и представлять результат измерения.
3.2. Основные положения концепции неопределенности измерений
Неопределенность измерений – неотрицательный параметр, харак- теризующий рассеяние значений величины, приписываемых измеряе- мой величине на основании используемой информации.
Неопределенности измерений, также как и погрешности измере- ний, могут быть классифицированы по различным признакам: по месту
(источнику) их проявления на методические, инструментальные и субъ- ективные; по их проявлению на случайные, систематические и грубые; на абсолютные и относительные по способу их выражения.
По характеру проявления неопределенности измерений делятся на два типа: неопределенности по типу А и по типу В.
 неопределенность по типу А статистическими методами;
 неопределенность по типу В оценивают нестатистическими мето- дами;
При этом предлагается два метода оценивания неопределенностей
А и В:
 для неопределенности типа А – использование известных стати- стических оценок среднеарифметического и среднеквадратическо- го, используя результаты измерений и опираясь, в основном, на нормальный закон распределения полученных величин;
 для неопределенности типа В – использование априорной нестати- стической информации, опираясь, в основном, на равномерный за- кон распределения возможных значений величин в определенных границах.
Таким образом, подчеркнем еще раз: деление на систематические и случайные погрешности обусловлено природой их возникновения и проявления в ходе выполнения измерений, а деление на неопределенно- сти, вычисляемые по типу А и по типу В – методами их получения и использования при расчете общей неопределенности.

88
В Руководстве используются новые термины, которые отсутствуют в РМГ 29-99:
Стандартная неопределенность
– неопределенность, выраженная в виде стандартного отклонения.
Расширенная неопределенность
– величина, задающая интервал вокруг результата измерения, в пределах которого, как ожидается, находится большая часть распределения значений, которые с достаточ- ным основанием могут быть приписаны измеряемой величине.
Расширенная неопределенность является аналогом доверительных границ погрешностей измерений. Причем каждому значению расши- ренной неопределенности соответствует вероятность охвата Р.
Вероятность охвата
– вероятность, которой, по мнению операто- ра, соответствует расширенная неопределенность результата измерений.
Вероятность охвата определяется с учетом вероятностного закона рас- пределения неопределенности и аналогом ее в классической теории яв- ляется доверительная вероятность.
Коэффициент охвата
– коэффициент, зависящий от вида распре- деления неопределенности результата измерений и вероятности охвата и численно равный отношению расширенной неопределенности, соот- ветствующей заданной вероятности охвата, к стандартной неопределен- ности.
Число степеней свободы
– параметр, статистического распределе- ния, равный числу независимых связей оцениваемой статистической выборки.
В табл. 3.1, приведенной ниже, даны соответствия между термина- ми, используемыми в классической теории погрешностей и концепции неопределенности.
Таблица 3.1
Классическая теория погрешности
Концепция неопределенности
Погрешность результата измерения
Неопределенность результата измерения
Случайная погрешность
Неопределенность, оцениваемая по типу А
Неисключенная погрешность
Неопределенность, оцениваемая по типу В
Среднеквадратическое отклонение погрешности результата измерений
Стандартная неопределенность результата измерения
Доверительные границы результатов измерения
Расширенная неопределенность результата измерения
Доверительная вероятность
Вероятность охвата (покрытия)
Коэффициент (квантиль) распределения погрешности
Коэффициент охвата (покрытия)

89
3.3. Методика оценивания результата измерений и его неопределенности
Оценивание результата измерений и его неопределенности прово- дится в следующей последовательности:
 составление уравнения измерений;
 оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопреде- ленностей);
 оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности;
 составление бюджета неопределенности;
 оценка расширенной неопределенности результата измерений;
 представление результата измерений.
3.3.1. Составление уравнения измерения
В концепции неопределенности под уравнением измерения пони- мается математическая зависимость между измеряемыми величинами
X
1
, X
2
,…X
k
, а также другими величинами, влияющими на результат из- мерения X
k
+1
, X
k
+2
,…X
m
, и результатом измерения Y
1 2
1 2
( ,
,...
,
,
, ...,
).
m
k
k
k
Y
f X X
X X
X
X



(3.1)
В концепции неопределенности величины X
1
, X
2
, …, X
m
называются входными величинами, используемые для оценивания неопределенно- сти результата измерения, а результат измерения Y – выходной величи- ной измерения.
В качестве основы для составления уравнения измерения использу- ется уравнение связи (в классическом понимании), то есть зависимость
Y = f(X
1
, X
2
, …, X
k
). Далее в результате анализа условий измерений и ис- пользуемых СИ, устанавливаются другие факторы, влияющие на ре- зультат измерений. При этом величины X
k
+1
, X
k
+2
, …, X
m
,описывающие эти факторы, включают в уравнение (3.1), даже если они незначительно могут повлиять на результат Y. Задача оператора – по возможности наиболее полно учесть все факторы, влияющие на результат измерения.
3.3.2. Оценка входных величин и их стандартных отклонений
(неопределенностей)
Пусть имеются результаты n
i
измерений входной величины X
i
, где
i = 1…m. Как известно, при нормальном распределении наилучшей оценкой этой величины является среднее арифметическое
1 1
i
n
i
iq
q
i
x
x
n



. (3.2)
Стандартную неопределенность типа А определяют как средне- квадратическое отклонение по формуле

90 2
1 1
( )
( )
(
)
(
1)
i
n
i
i
iq
i
A
А
q
i
i
u x
u x
x
x
n n






. (3.3)
Для вычисления стандартной неопределенности по типу В исполь- зуют:
 данные о предыдущих измерений величин, входящих в уравнение измерения;
 сведения, имеющиеся в метрологических документах по поверки, калибровки и сведения изготовителя о приборе;
 сведения о предполагаемом вероятностном распределении значе- ний величин, имеющихся в научно-технических отчетах и литера- турных источниках;
 данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о по- ведении и свойствах соответствующих (подобных) СИ и материалов;
 неопределенность используемых констант и справочных данных;
 нормы точности измерений, указанные в технической документа- ции на методы и СИ;
 другие сведения об источниках неопределенностей, влияющих на результат измерения.
Неопределенности этих данных обычно представляют в виде гра- ниц отклонения значения величины от ее оценки. Наиболее распростра- ненный способ формализации неполного знания о значении величины заключается в постулировании равномерного закона распределения возможных значений этой величины в указанных границах (нижней b
i
–
и верхней b
i
+
) для i-й входной величины. При этом стандартную не- определенность по типу В определяют по известной формуле для сред- неквадратического отклонения результатов измерений, имеющих рав- номерный закон распределения:
( )
2 3
i
i
i
B
b
b
u x




, (3.4) а для симметричных границ
i
i
i
b
b
b



 , по формуле
( )
3
i
i
B
b
u x

(3.5)
В случае других законов распределений формулы для вычисления неопределенности по типу В будут другие. В частности, если известно одно значение величины X
i
, то это значение принимается в качестве оценки. При этом стандартную неопределенность вычисляют по формуле
( )
,
p
i
B
U
u x
k

(3.6) где U
p
– расширенная неопределенность, k – коэффициент охвата.

91
Если коэффициент охвата не указан, то, с учетом имеющихся све- дений, принимают предположение о вероятностном распределении не- определенности величины X
i
. Если такие сведения отсутствуют, то для определения коэффициента охвата можно воспользоваться данными табл. 3.2 [1,3].
Таблица 3.2
Предполагаемое распределение неопределенности входной величины
Вероятность охвата Р, которой соответствует U(x
i
)
Коэффициент охвата k
Равномерное распределение
0,99–1,0 1,71–1,73 0,95 1,65
Нормальное распределение
1,0 (предел допускаемых значений)
3 0,997 3 0,99 2,6 0,95 2
Неизвестное распределение
2
Если известны граница суммы неисключенных систематических погрешностей, распределенных по равномерному (равновероятному) закону θ(Р) или расширенная неопределенность в терминах концепции неопределенности U
p
, то коэффициенты охвата при числе неисключен- ных систематических погрешностей m > 4, зависит от доверительной вероятности. Коэффициент охвата k = 1,1 при Р = 0,95; k = 1,4 при
Р = 0,99 [1,3].
Неопределенности входных величин могут быть коррелированны.
Для вычисления коэффициента корреляции r(x
i
, x
q
) используют согласо- ванные пары результатов измерений
(
,
)
iw
jw
x
x
, где w = 1, 2, …n
ij
; n
ij
– чис- ло согласованных пар результатов измерений
(
,
)
iw
jw
x
x
. Вычисления про- водят по известной формуле из статистики и теории вероятности


1 2
2 1
1
(
) (
)
,
(
)
(
)
ij
ij
iq
n
qw
iw
i
j
w
i
j
n
n
qw
iw
i
j
w
w
x
x
x
x
r x x
x
x
x
x











. (3.7)
Значимость коэффициента корреляции определяется критерием от- сутствия или наличия связи между аргументами [3].

92 3.3.3. Оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности
Оценку измеряемой величины у вычисляют как функцию оценок входных величин X
1
, X
2
, …, X
m
, по формуле (3.1), предварительно внеся на все источники неопределенности, имеющие систематический харак- тер, – поправки.
Вычисление суммарной неопределенности выходной величины проводят по тем же формулам, которые используются для расчета по- грешностей косвенных измерений в классической концепции погрешно- сти измерений.
В случае некоррелированных оценок входных величин, суммарную стандартную неопределенность
)
( y
u
c
вычисляют по формуле
2 2
1
( )
( )
m
c
i
i
i
f
u y
u x
x













(3.8) и в случае коррелированных оценок – по формуле
2 2
1 1
1
,
( )
( )
( , ) ( ) ( )
m
m m
c
i
i
j
i
j
i
i
j
i
i
j
f
f
f
u y
u x
r x x u x u x
x
x
x























(3.9) где
( , )
i
j
r x x
– коэффициент корреляции; ( )
i
u x – стандартная неопреде- ленность i – входной величины, вычисленная по типу А или типу В;
i
f x
 
– коэффициенты чувствительности выходной величины по от- ношению ко входной величине x
i
.
3.3.4. Составление бюджета неопределенности
Под бюджетом неопределенности понимается формализованное представление полного перечня источников неопределенности измере- ний по каждой входной величине с указанием их стандартной неопре- деленности и вклада их в суммарную стандартную неопределенность результата измерений. В табл. 3.3 приведена рекомендуемая форма представления бюджета неопределенности.
Таблица 3.3
Входная величи- на
Оценка входной величины
Стандарт- ная неопре- деленность
Тип оцени- вания, закон рас- пределения
Коэффи- циент чувстви- тельности
Вклад в суммарную стандартную неопределенность
Х
1
x
1
)
(
1
x
u
А или В
1
x
f


)
(
)
(
1 1
1
x
u
x
f
y
u




Х
2
x
1
)
(
2
x
u
А или В
2
x
f


)
(
)
(
2 2
2
x
u
x
f
y
u




… … … …
…
…
Х
m
x
1
)
(
m
x
u
А или В
m
x
f


)
(
)
(
m
m
m
x
u
x
f
y
u




Y
)
(
i
x
f
y

)
( y
u



m
i
i
с
y
u
y
u
1 2
)
(
)
(

93 3.3.5. Оценка расширенной неопределенности результата измерений
Расширенная неопределенность равна произведению стандартной неопределенности u(y) результата измерений на коэффициент охвата k:
U(y) =k u(y). (3.10)
Руководство по неопределенности [1] рекомендует рассматривать все результаты измерений при доверительной вероятности (вероятности охвата) Р = 0,95. При этой вероятности преимущественно определять число степеней свободы по эмпирической формуле Велча-
Саттерствейта
4 4
4 1
( )
c
eff
m
i
i
i
u
u x
f
x













(3.11)
При этом коэффициент охвата определяется при вероятности
Р = 0,95 по формуле
0,95
(
)
P
eff
k t



,
(3.12) где
P
t
– коэффициент Стьюдента (см. таблицу Г.1 приложение Г).
Формулу для оценки суммарной стандартной неопределенности
(3.8) можно записать в более простом виде
2 2
( )
( )
( )
c
B
A
u y
u y
u y


,
(3.12) так же как и формулу (3.11) для определения числа степеней свободы
2 2
2
( )
1
( )
B
eff
eff
A
u y
f
u y










 
,
(3.13) где
1
eff
f
n
 
– число степеней свободы при прямых измерениях входной величины; n – число измерений;
( ), ( )
B
A
u y u y – оценка стандартных не- определенностей, вычисленных по типу А и по типу В, соответственно.
При оценке вклада неопределенности (см. формулу 3.11) по типу А принимают
1
i
i
n

  , по типу В
i

  . При этих условиях легко пока- зать из формулы (3.11), что, если по типу А оценивается неопределен- ность только одной входной величины, то формула (3.11) упрощается
4 4
( )
(
1)
( )
A
eff
A
u y
n
u y


 
, (3.14) где n
A
– число повторных измерений входной величины, оцениваемой по типу А.

94 3.3.6. Представление результата измерений
При представлении результатов измерений Руководство рекомен- дует приводить достаточное количество информации, чтобы можно бы- ло проанализировать и/или повторить весь процесс получения результа- та измерений и вычисления неопределенностей, а именно:
 алгоритм получения результата измерений;
 алгоритм расчета всех поправок для исключения систематических погрешностей и их неопределенней;
 неопределенности всех используемых данных и способы их полу- чения;
 алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенно- стей, включая значение коэффициента охвата k.
Таким образом, в документации по результатам измерений необхо- димо представлять:
u
c
– суммарную неопределенность;
U
p
– расширенную неопределенность;
k – коэффициент охвата;
u
i
– данные о входных величинах;
eff

– эффективное число степеней свободы.
В протоколе измерений, как правило, делается следующая запись, если результатом измерения является длина детали: «Длина детали со- ставляет 153,2 мм. Расширенная неопределенность результата измере- ний составляет ± 1,4 мм при коэффициенте охвата равном 2» или «из- мерения показали, что длина детали находится в интервале (151,8–
154,6) мм при коэффициенте, равном 2». По умолчанию предполагается, что эти результаты соответствуют вероятности охвата 0,95.