практикум тпу по мсис. Практикум МСиС_0-unlocked (1). Практикум по метрологии, стандартизации и сертификации рекомендовано в качестве учебного пособия
 Скачать 1.25 Mb.
|
|
Косвенные измерения. При косвенных измерениях искомое зна- чение величины находят расчетом на основе прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной известной зависимостью 1 2 , ,..., n y f x x x , (2.4) где 1 2 , ,..., n x x x – подлежащие прямым измерениям аргументы функ- ции y . Результатом косвенного измерения является оценка величины у, которую находят подстановкой в формулу (4) измеренных значений ар- гументов х i Поскольку каждый из аргументов х i измеряется с некоторой по- грешностью, то задача оценивания погрешности результата сводится к суммированию погрешностей измерения аргументов. Однако особен- ность косвенных измерений состоит в том, что вклад отдельных по- грешностей измерения аргументов в погрешность результата зависит от вида функции (4). 20 Для оценки погрешностей существенным является разделение кос- венных измерений на линейные и нелинейные косвенные измерения. При линейных косвенных измерениях уравнение измерений имеет вид: 1 n i i i y b x , (2.5) где i b – постоянные коэффициенты при аргументах х i Результат линейного косвенного измерения вычисляют по формуле (2.5), подставляя в нее измеренные значения аргументов. Погрешности измерения аргументов х i могут быть заданы своими границами i x При малом числе аргументов (меньше пяти) простая оценка по- грешности результата y получается простым суммированием пре- дельных погрешностей (без учета знака), т. е. подстановкой границ х 1 , х 2 ,…, х n в выражение: 1 2 n y x x x . (2.6) Однако эта оценка является излишне завышенной, поскольку такое суммирование фактически означает, что погрешности измерения всех аргументов одновременно имеют максимальное значение и совпадают по знаку. Вероятность такого совпадения практически равна нулю. Для нахождения более реалистичной оценки переходят к статическому сум- мированию погрешности аргументов по формуле: 2 2 1 n i i i y k b x , (2.7) где k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятно- стью (при Р = 0,9 при k = 1,0; Р = 0,95 при k = 1,1; Р = 0,99 при k = 1,4). Нелинейные косвенные измерения – любые другие функциональ- ные зависимости, отличные от (2.5). При сложной функции (2.4) и, в особенности, если это функция не- скольких аргументов, определение закона распределения погрешности результата связано со значительными математическими трудностями. Поэтому в основе приближенного оценивания погрешности нелинейных косвенных измерений лежит линеаризация функции (2.4) и дальнейшая обработка результатов, как при линейных измерениях. Запишем выражение для полного дифференциала функции у через частные производные по аргументам х i : 1 2 1 2 n n y y y dy dx dx dx x x x . (2.8) 21 По определению полный дифференциал функции – это приращение функции, вызванное малыми приращениями ее аргументов. Учитывая, что погрешности измерения аргументов всегда являются малыми величинами по сравнению с номинальными значениями аргу- ментов, можно заменить в формуле (2.8) дифференциалы аргументов n dx на погрешность измерений n x , а дифференциал функции dy на погрешность результата измерения y : 1 2 1 2 n n y y y y x x x x x x . (2.9) Если проанализировать формулу (2.9), то можно получить простое правило оценивания погрешности результата нелинейного косвенного измерения [3]. Погрешности в произведениях и частных. Если измеренные значе- ния 1 2 , ,..., n x x x используются для вычисления 1 2 n y x x x или 1 2 x y x , то суммируются относительные погрешности 1 2 n y x x x , где y y y 2.3. Погрешность записи (округления) числа Погрешность записи (округления) числа определяется как отноше- ние половины единицы младшего разряда числа к значению числа. Например, для нормального ускорения падающих тел g = 9,81 м/с 2 , единица младшего разряда равна 0,01, следовательно, погрешность за- писи числа 9,81 будет равна 0,01 2 9,81 5,1·10 –4 = 0,05 %. 2.4. Цель работы освоение методов проведения однократных прямых и косвенных измерений; усвоение правил обработки, представления (записи) и интерпрета- ции результатов проведенных измерений; приобретение практических навыков применения различных по точности средств измерений, а также анализа и сопоставления точ- ности результатов косвенных измерений с точностью средств из- мерений, используемых при проведении прямых измерений; выявление возможных источников и причин методических по- грешностей; 22 закрепление теоретического материала по разделу «Метрология» изучаемой дисциплины «Метрология, стандартизация и сертифи- кация». 2.5. Используемое оборудование штангенциркуль (далее ШЦ); микрометр; линейка. При записи используемых средств измерений указать их нормиру- емые метрологические характеристики, используя средства измерений. 2.6. Программа работы 2.6.1. Произвести однократные измерения диаметра и высоты ци- линдра средствами измерений различной точности: штангенциркулем, микрометром и линейкой. Результаты измерений записать в табл. 2.1. В качестве цилиндра 1 выбрать цилиндр меньшей высоты. Результаты прямых измерений диаметра и высоты цилиндров запи- сать в таблицу с той точностью, с какой позволяет измерить средство измерений. Таблица 2.1 Результаты измерений Измеряемый параметр Цилиндр 1 (маленький) Цилиндр 2 (большой) микрометр ШЦ ШЦ линейка Диаметр d , мм Высота h , мм Объем V , мм Отн.погреш. V Абс. погреш. V , мм 3 2.6.2. Определить объем цилиндра, используя соотношение: 2 4 d h V , мм 3 , (2.10) где = 3,14 – числовой коэффициент; d – диаметр цилиндра, мм; h – высота цилиндра, мм. 2.6.3. Определить относительную погрешность измерений, выра- женную в относительных единицах V V V . (2.11) 23 Для определения относительной погрешности измерений V необ- ходимо формулу (2.11) преобразовать в удобную для расчета, используя формулу (2.9) (см. п. 2.2). В полученной формуле d , h – погрешности средств измерений, используемых при измерениях. При косвенных измерениях физических величин очень часто ис- пользуются табличные данные или иррациональные константы. В силу этого используемое при расчетах значение константы, округленное до некоторого знака, является приближенным числом, вносящим свою до- лю в погрешность измерений. Эта доля погрешности определяется как погрешность записи (округления) константы (см. п. 2.3). 2.6.4. Определить погрешность вычисления объема по формуле V V V , мм 3 (2.12) 2.6.5. Округлить погрешности измерений и записать результат из- мерений объемов цилиндров V V V мм 3 . (2.13) Для того чтобы записать окончательный результат косвенных из- мерений, необходимо произвести округление погрешности измерений V в соответствии с МИ 1317 [4], согласовать числовые значения ре- зультата и погрешности измерений (см. п. 2.4). 2.6.6. Изобразить на рисунках области, в которых находятся ре- зультаты измерений объемов, полученные разными средствами измере- ний для каждого из цилиндров. Пример приведен на рисунке 2.1. Рис. 2.1. Области результатов измерений объема цилиндра Первая точка (например, V 2 ) проставляется произвольно, ей при- сваивается значение объема цилиндра, погрешность измерения которого больше. Затем необходимо выбрать масштаб и проставить все осталь- ные точки. На рисунке показать погрешность метода. V 2 – ΔV 2 V 2 V 1 – ΔV 1 V 1 V 1 + ΔV 1 V 2 + ΔV 2 24 2.6.7 Оформить отчет и сделать вывод (пример оформления ти- тульного листа см. в приложении А). В выводе оценить полученные результаты измерений, выявить возможные источники и причины методических погрешностей. 2.7. Контрольные вопросы 1. Назовите основные виды измерений. 2. По каким признакам классифицируются погрешности измерения? 3. Назовите и охарактеризуйте основные виды погрешностей измерений. 4. Как определить погрешность записи числа? 5. Как определить погрешность результата косвенного измерения? 2.8. Используемая литература 1. РМГ 29–99 Рекомендации по межгосударственной стандартизации. ГСИ. Метрология. Основные термины и определения. 2. Р 50.2.038–2004 Рекомендации по метрологии. ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределенно- сти результата измерений. − М., Издательство стандартов, 2004. 3. Борисов Ю.И., Сигов А.С., Нефедов В.И. Метрология, стандарти- зация и сертификация: учебник. − М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2012. 4. МИ 1317–2004 Методические указания. ГСИ. Результаты и харак- теристики погрешности измерений. Формы предоставления. Спо- собы использования при испытаниях образцов продукции и кон- троле их параметров. 25 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 3.1. Введение Необходимость выполнения прямых многократных измерений устанавливают в конкретных методиках измерений. При статистической обработке группы результатов прямых много- кратных независимых измерений выполняют следующие операции: исключают известные систематические погрешности из результа- тов измерений; вычисляют оценку измеряемой величины; вычисляют среднее квадратическое отклонение результатов изме- рений; проверяют наличие грубых погрешностей и при необходимости ис- ключают их; проверяют гипотезу о принадлежности результатов измерений нормальному распределению; вычисляют доверительные границы случайной погрешности (дове- рительную случайную погрешность) оценки измеряемой величины; вычисляют доверительные границы (границы) неисключенной си- стематической погрешности оценки измеряемой величины; вычисляют доверительные границы погрешности оценки измеряе- мой величины. Проверку гипотезы о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, проводят с уровнем значимости q от 10 % до 2 %. Конкретные значения уровней значимости должны быть указа- ны в конкретной методике измерений. Для определения доверительных границ погрешности оценки из- меряемой величины доверительную вероятность P принимают рав- ной 0,95. 3.2. Основные понятия и определения В зависимости от характера проявления различают систематиче- скую ( C ) и случайную ( 0 ) составляющие погрешности измерений, а также грубые погрешности (промахи). Грубые погрешности (промахи ) возникают из-за ошибочных дей- ствий оператора, неисправности СИ или резких изменений условий из- мерений, например внезапное падение напряжения в сети электропита- ния. К ним тесно примыкают промахи – погрешности, зависящие от 26 наблюдателя и связанные с неправильным обращением со средствами измерений. Систематическая погрешность измерения (систематическая погрешность C ) – это составляющая погрешности результата измере- ний, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при по- вторных измерениях одной и той же физической величины. Считается, что систематические погрешности могут быть обнару- жены и исключены. Однако в реальных условиях полностью исключить систематическую составляющую погрешности измерения невозможно. Всегда остаются какие-то факторы, которые нужно учитывать, и кото- рые будут составлять неисключенную систематическую погрешность. Неисключенная систематическая погрешность ( НСП) − состав- ляющая погрешности результата измерений, обусловленная погрешно- стями вычисления и введения поправок на влияние систематических по- грешностей или систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие ее малости. Неисключенная систематическая погрешность характеризуется ее границами. Границы неисключенной систематической погрешности Θ при числе слагаемых N 3 вычисляют по формуле: 1 N i i , (3.1) где i – граница i-й составляющей неисключенной систематической погрешности. При числе неисключенных систематических погрешностей N 4 вычисление проводят по формуле 2 1 N i i k , (3.2) где k – коэффициент зависимости отдельных неисключенных система- тических погрешностей от выбранной доверительной вероятности Р при их равномерном распределении (при Р = 0,95, k = 1,1; при Р = 0,99, k = 1,4). Здесь Θ рассматривается как доверительная квазислучайная по- грешность. Случайная погрешность измерения ( 0 ) – составляющая погреш- ности результата измерений, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинако- вой тщательностью, одной и той же физической величины. 27 Для уменьшения случайной составляющей погрешности проводят многократные измерения. Случайная погрешность оценивается доверительным интервалом x P t S , (3.3) где P t – коэффициент Стьюдента для данного уровня доверительной ве- роятности Р д и объема выборки n (число измерений) . Доверительные границы погрешности результата измерения – границы интервала, внутри которого с заданной вероятностью находит- ся искомое (истинное) значение погрешности результата измерений. Выборка – ряд из х результатов измерений {х i }, i = 1, ... , п (п > 20) , из которых исключены известные систематические погрешности. Объем выборки определяется требованиями точности измерений и возможно- стью производить повторные измерения. Вариационный ряд – выборка, упорядоченная по возрастанию. Гистограмма – зависимость относительных частот попадания ре- зультатов измерения в интервалы группирования от их значений, пред- ставленная в графическом виде. Оценка закона распределения – оценка соответствия экспери- ментального закона распределения теоретическому распределению. Проводится с помощью специальных статистических критериев. При п < 15 не проводится. Точечные оценки закона распределения – оценки закона распре- деления, полученные в виде одного числа, например оценка дисперсии результатов измерений или оценка математического ожидания и т. д. Средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду измерений (средняя квадратическая погрешность результата измерений) − оценка S x рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения, вычисляемая по формуле: 2 1 1 1 n x i i S x x n , (3.4) где i x – результат i-го единичного измерения; x – среднее арифметиче- ское значение измеряемой величины из n единичных результатов. Примечание. На практике широко распространен термин среднее квадратическое отклонение – (СКО) . Под отклонением в соответствии с приведенной выше формулой понимают отклонение единичных ре- зультатов в ряду измерений от их среднего арифметического значения. В метрологии это отклонение называется погрешностью измерений. 28 Средняя квадратическая погрешность результата измерений среднего арифметического − оценка x S случайной погрешности сред- него арифметического значения результата измерений одной и той же величины в данном ряду измерений, вычисляемая по формуле 2 1 1 x x i S S x x n n n , (3.5) где x S – средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений, полученная из ряда равноточных измерений; n |