7класс геометрия. Праскова мария валериевна учитель математики мбоу гундинская сош
![]()
|
§ 1. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА В результате изучения параграфа 1 учащиеся должны уметь доказывать теорему о сумме углов треугольника и ее следствия; знать, какой угол называется внешним углом треугольника, какой треугольник называется остроугольным, тупоугольным, прямоугольным; уметь решать задачи типа № 223, 224, 225, 226, 228, 229, 234. Урок 1. ТЕОРЕМА О СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА Цели: доказать теорему о сумме углов треугольника, следствия из нее; ввести понятия остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников; рассмотреть задачи на применение доказанных утверждений. I. Анализ результатов контрольной работы. 1. Проанализировать характерные ошибки, допущенные в контрольной работе. 2. Выполнить работу над ошибками. II. Изучение нового материала. 1. Решить задачу по готовому чертежу на доске (см. рис.). На рисунке ВД || АС. Найдите сумму углов треугольника ABC. ![]() 2. Вслед за решением этой задачи перед учащимися ставится вопрос: случайно ли сумма углов данного треугольника ABC оказалась равной 180° или этим свойством обладает любой треугольник? Поиск ответа естественно приводит к формированию теоремы о сумме углов треугольника. 3. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника (рис. 124 учебника). 4. Устно решить задачи № 223 (а, б, г), 225, 226. 5. Перед введением классификации треугольников по углам (п. 31) учащимся задается вопрос: «Может ли треугольник иметь: а) два прямых угла; б) два тупых угла; в) один прямой и один тупой угол?». Ответы должны быть обоснованы с помощью теоремы о сумме углов треугольника. 6. Записать в тетрадях вывод из этих ответов (следствие из теоремы о сумме углов треугольника): в любом треугольнике либо все три угла острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой. 7. Ввести понятия остроугольного, тупоугольного и прямоугольного треугольников и обратить внимание учащихся на названия сторон прямоугольника, треугольника - гипотенуза и катет (рис. 126 учебника, модели треугольников). III. Закрепление изученного материала. 1. Решить задачи № 227(a) и 224 на доске и в тетрадях. 2. Решить задачу № 228 (а, в) на доске и в тетрадях. Решение 1) Рассмотрим два случая: а) угол при основании равен 40°, тогда второй угол при основании равнобедренного треугольника тоже равен 40°; значит, угол при вершине равен 180° - (40° + 40°) = 100°; б) угол при вершине равен 40°, тогда углы при основании равны (180° - 40°) : 2 = 70°. Ответ: 40°; 40° и 100° или 40°; 70°. 2) Опираемся на доказанное в задаче № 226 утверждение: углы при основании равнобедренного треугольника острые. Значит, угол при вершине равен 100°, а углы при основании равны (180° - 100°) : 2 = 40°. Ответ: 100°; 40° и 40°. 3. Решить задачу № 229 на доске и в тетрадях. IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучить пункты 30-31; ответить на вопросы 1; 3; 4; 5 на с. 89; решить задачи № 223 (б), 228 (б), 230. Урок 2. ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА. ТЕОРЕМА О ВНЕШНЕМ УГЛЕ ТРЕУГОЛЬНИКА Цели: закрепить знания учащихся о сумме углов треугольника при решении задач; ввести понятие внешнего угла треугольника; доказать теорему о внешнем угле треугольника; учить решению задач. Ход урока 1. Проверка усвоения изученного материала. 1. Один учащийся на доске доказывает теорему о сумме углов треугольника. 2. Второй учащийся решает на доске задачу № 230. 3. Устно со всем классом решаем задачи по готовым чертежам. Вычислите все неизвестные углы треугольника (по рис. 1-8). ![]() ![]() II. Изучение нового материала. 1. Ввести понятие внешнего угла треугольника. 2. Доказать теорему о внешнем угле треугольника (рис. 125 учебника). 3. Устно решить задачу: в треугольнике ABC ∠В = 110°. Чему равны: а) сумма остальных внутренних углов треугольника? б) внешний угол при вершине В? 4 ![]() Найдите внутренние и внешний угол СДF треугольника КСД. III. Решение задач. 1. Решить задачу № 232 под руководством учителя на доске и в тетрадях. Дано: ∠CBE — внешний угол треугольника ABC; ∠CBE = 2∠A. Доказать: ΔАВС — равнобедренный. ![]() Решение: Проведем биссектрисы BF и ВД смежных углов СВЕ и ABC, тогда ВЕ ⊥ ВД (см. задачу № 83). BF || АС, так как ∠1 = ∠2 = ∠3. а углы 1 и 3 соответственные при пересечении прямых BF и АС секущей АВ. ВД ⊥ АС, так как ВД ⊥ BF, a BF || AC. В треугольнике ABC биссектриса ВД является высотой, следовательно, треугольник ABC - равнобедренный (см. задачу № 133). 2. Обратное утверждение также верно, а именно: если треугольник равнобедренный, то внешний угол при вершине, противолежащей основанию треугольника, в два раза больше угла при основании. Действительно, этот внешний угол равен сумме двух углов при основании равнобедренного треугольника, а так как углы при основании равны, то данный внешний угол в два раза больше угла при основании треугольника. 3. Решить задачу № 234 на доске и в тетрадях (рассмотреть два случая). IV. Самостоятельная работа обучающего характера (15-20 мин). Вариант I 1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 96°. Найдите два других угла треугольника. 2. В треугольнике СДЕ с углом ∠E = 32° проведена биссектриса CF, ∠СFД = 72°. Найдите ∠Д. Вариант II 1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 108°. Найдите два других угла треугольника. 2. В треугольнике СДЕ проведена биссектриса CF, ∠Д = 68°, ∠Е = 32°. Найдите ∠CFД. Вариант III 1. В равнобедренном треугольнике MNP с основанием МР и углом ZN= 64° проведена высота МН. Найдите АРМН. 2. В треугольнике СДЕ проведены биссектрисы СК и ДР, пересекающиеся в точке F, причем ZДРК = 78°. Найдите /.СЕД. Вариант IV 1. В равнобедренном треугольнике СДЕ с основанием СЕ и ∠Д = 102° проведена высота СН. Найдите ∠ДСН. 2. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и BN, пересекающиеся в точке К, причем ∠AKN = 58°. Найдите ∠ACB. V. Итоги урока. Домашнее задание: изучить пункты 30-31; ответить на вопросы 1-5 на с. 89; решить задачи № 233, 235 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА (§ 2) Урок 1. ТЕОРЕМА О СООТНОШЕНИЯХ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА Цели: рассмотреть теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника, следствия из этих теорем; научить применять эти знания при решении задач. I. Анализ результатов самостоятельной работы. II. Изучение нового материала. 1 ![]() Дано: ΔМОС; КМ = ОМ; К ∈ МС. Доказать: 1) ∠1 > ∠3; 2) ∠MOC > ∠3. Доказательство: 1) Треугольник ОМК - равнобедренный с основанием ОК, поэтому ∠1 = ∠2. Угол 2 - внешний угол треугольника ОКС, поэтому ∠2 > ∠3. Значит, ∠1 = ∠2 и ∠2 > ∠3, следовательно, ∠1 > ∠3. 2) Так как точка К лежит на МС, то ∠MOC > ∠1, а так как ∠1 > ∠3, то ∠MОC > ∠3. 2. Сформулировать и доказать первое утверждение теоремы: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол (по рис. 127 учебника). 3. Устно решить задачу № 236. 4. Перед доказательством второго утверждения теоремы (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона) напомнить учащимся, какая теорема называется обратной данной, и предложить привести примеры обратных теорем, изученных ранее. 5. Дать возможность учащимся самостоятельно сформулировать утверждение, обратное первому утверждению. На классной доске и в тетрадях учащиеся делают следующую запись:
6. Доказательство обратного утверждения проводится методом от противного. В связи с этим, после того как сформулирована обратная теорема, записаны ее условие и заключение, полезно вспомнить, что при сравнении двух отрезков, например, СД и EF, возможен один и только один из трех случаев: СД > EF; СД = EF; СД < EF. Поэтому если мы предполагаем, что СД не больше EF, то возможны два случая: либо СД = EF, либо СД < EF. После этих предварительных рассуждений учащимся легче понять, почему при доказательстве теоремы, предположив, что АВ не больше АС, мы рассматриваем два возможных случая: либо АВ = АС, либо АВ < АС. 7. Устно решить задачу № 237. 8. Следствие 1 учащиеся доказывают самостоятельно. 9. Следствие 2, выражающее признак равнобедренного треугольника, учащиеся доказывают с помощью учителя. III. Закрепление изученного материала. 1. Решить следующие задачи (по готовым чертежам): 1) В треугольнике ABC угол С тупой, К - произвольная точка на стороне АС. Докажите, что ВК < АВ. 2) В треугольнике ABC на стороне АС отмечена точка Д так, что ДС = ВС. Докажите, ∠В > ∠A. 2. Решить задачу № 240. IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучить п. 32; ответить на вопросы 6-8 на с. 89-90; решить задачи № 239, 241. Урок 2. НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА Цели: доказать теорему о неравенстве треугольника; учить решать задачи, используя изученные теоремы и следствия из них; развивать логическое мышление учащихся. I. Проверка усвоения изученного на предыдущем уроке материала. 1. Фронтальный опрос. 2. Два человека записывают в это время на доске решения домашних задач для последующей проверки с классом. II. Объяснение нового материала. 1. Доказательство теоремы о неравенстве треугольника. 2. Решение задачи № 251 (есть решение в учебнике на странице 75). После этого записать в тетрадях вывод: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше разности двух других сторон: в – с < а < в + с; а – с < в < а + с; а – в < с < а + в. 3. Устно решить задачу № 248. III. Решение задач. 1. Решить задачу № 249. Решение Рассмотрим два случая: 1) стороны равнобедренного треугольника 25 см, 25 см и 10 см. По теореме о неравенстве треугольника имеем: 25 < 25 + 10 верное. 25 < 35 верное. Значит, основание равно 10 см; 2) стороны равны 10 см, 10 см и 25 см. По теореме о неравенстве треугольника получим 25 < 10 + 10; 25 < 20 неверное. Ответ: основание равно 10 см. 2. Самостоятельно решить задачу № 250 (а). 3. Решить задачу № 253 на доске и в тетрадях. Решение 1) Пусть внешний угол при вершине А равнобедренного треугольника ABC острый, тогда ∠BAC тупой. Следовательно, ВС - основание треугольника, а потому ∠B = ∠C и АВ = АС. 2) ВС > АВ и ВС > АС, так как против тупого угла лежит большая сторона треугольника. Поэтому, учитывая условия задачи, имеем: ВС - АВ = 4 (см), отсюда ВС = АВ + 4. 3) АВ + АС + ВС = 25 см, или 2АВ + ВС = 25 см. Но ВС = АВ + 4, тогда 2АВ + АВ + 4 = 25; 3АВ = 21; АВ = 7 см, ВС = 11 см, АС = 7 см. Ответ: 7 см, 11 см, 7 см. 4. Решить задачу № 246 по рисунку 129 учебника на доске и в тетрадях. IV. Итоги урока. Домашнее задание: выучить материал пунктов 30-33; ответить на вопросы 1-9 на с. 89-90; решить задачи № 242, 250 (б, в). Урок 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Цели: повторить и обобщить изученный материал; выработать умение учащихся применять изученные теоремы при решении задач; развивать логическое мышление учащихся; подготовить учащихся к контрольной работе. I. Актуализация опорных знаний учащихся. 1. Проверка доказательства теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника и теоремы о неравенстве треугольника (у доски и за первыми партами - на листочках; это позволяет проверить у учащихся знание теорем и накопить отметки). 2. Фронтальная работа с классом: 1) ответы на вопросы 1-9 на с. 89-90; 2) устно решить задачу: существует ли треугольник со сторонами 4 м, 5 м и 8 м; со сторонами 6 см, 12 см и 3 см; со сторонами 9 дм, 9 дм и 7 дм? 3. Собрать листочки у работающих на месте и выслушать ответы учащихся, работающих у доски. II. Решение задач. ![]() Дано: ΔABC; АА1 - биссектриса; СД || АА1 и Д ∈ АВ. Доказать: АС = АД. Доказательство: Так как по условию АА1 - биссектриса треугольника ABC, то ∠1 = ∠2. ∠1 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АА1 и СД и секущей АД. Из равенств ∠1 = ∠2; ∠1 = ∠4; ∠2 = ∠3 следует, что ∠3 = ∠4, тогда по признаку равнобедренного треугольника имеем, что треугольник ДАС - равнобедренный, значит, по определению АС = АД. 2. Решить задачу 1: в прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ = 10 см. Найдите СД, если точка Д лежит на гипотенузе АВ и ВД = СД. Д ![]() Найти: СД. Решение: ∠2 = ∠5, так как по условию СД = ДВ. ∠1 + ∠2 = 90°; ∠В + ∠А = 90°; но ∠2 = ∠В, поэтому ∠А = ∠1, значит, треугольник АДС - равнобедренный, тогда АД = СД. Итак, СД = ВД по условию, АД = СД по доказанному, следовательно, СД = 1/2АВ = 5 см. Ответ: 5 см. 3. Решить задачу 2: отрезок ЕК — биссектриса треугольника ДЕС. Докажите, что КС < ЕС. Урок 4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4 (1 час) Цели: проверить знания и умения учащихся в решении задач и применении изученного материала. I. Организация учащихся на выполнение работы. II. Выполнение работы по вариантам. В ![]() 1. На рисунке 1 ∠ABE = 104°, ∠ДCF = 76°, АС = 12 см. Найдите сторону АВ треугольника ABC. 2. В треугольнике СДЕ точка М лежит на стороне СЕ, причем ∠СМД - острый. Докажите, что ДЕ > ДМ. 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны треугольника. В ![]() 1. На рисунке 2 ∠BAE = 112°, ∠ДВF = 68°, BС = 9 см. Найдите сторону АС треугольника ABC. 2. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне MN, причем ∠NKP - острый. Докажите, что КР < МР. 3. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 77 см. Вариант III (для более подготовленных учащихся) 1. На рисунке 1 ∠CBM = ∠ACF; РΔABC = 34 см, ВС = 12 см. Найдите сторону АС треугольника ABC. 2. В треугольнике MNK ∠K = 37°, ∠M = 69°, NP - биссектриса треугольника. Докажите, что МР < РК. 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой па 12 см. Найдите стороны треугольника. Вариант IV (для более подготовленных учащихся) 1. На рисунке 2 ∠EAM = ∠ДBF; ВС = 17 см, РΔABC = 45 см. Найдите сторону АВ треугольника ABC. 2. В треугольнике СДЕ ∠E = 76°, ∠Д = 66°, ЕК - биссектриса треугольника. Докажите, что КС > ДК. 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см меньше другой. Найдите стороны треугольника. IV. Итоги урока. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ (§ 3) Урок 1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Цели: рассмотреть некоторые свойства прямоугольных треугольников и показать, как они применяются при решении задач. I. Анализ результатов контрольной работы. ![]() 1. Устно решить задачу № 254 (использовать демонстрационный равнобедренный прямоугольный треугольник). 2. Решить задачу № 255 на доске и в тетрадях. Дано: ΔСДЕ; СД = ДЕ; CF ⊥ ДЕ; ∠Д = 54°. Найти: ∠ECF. Решение: По условию треугольник СДЕ - равнобедренный, тогда ∠Е = ∠ДСЕ = (180° - 54°) : 2 = 63° (углы при основании равнобедренного треугольника равны). Так как CF ⊥ ДЕ по условию, то треугольник CFE - прямоугольный, в нем ∠CFE = 90°, ∠Е = 63°; тогда ∠ECF = 180° - (90° + 63°) = 27°. Ответ: 27°. 3. Рассмотреть свойство 1° и посоветовать учащимся запомнить его, поскольку оно часто используется при решении задач. 4. Доказательство свойств 2° и 3° следует провести учителю самому с записью условия и заключения прямого и обратного утверждений на доске в виде таблицы. Эту таблицу учащиеся должны воспроизвести в своих тетрадях.
![]() 1. Устно решить задачи по готовым чертежам на доске: 1) Дано: ΔАВС (рис. 1). Найти: углы ΔАВС. 2) Дано: a || в (рис. 2). Найти: углы треугольника MON. ![]() Дано: ΔАВС (рис. 3); ∠C = 90°, ∠ВАД = 120° - внешний угол; АС + АВ = 18 см. Найти: АС и АВ. ![]() ∠CAB = 180° - 120° = 60° (смежные углы), тогда ∠B = 90° - 60° = 30° (по свойству 1°); АС = 1/2AВ (свойство 2°; катет, лежащий против угла в 30°). По условию АС + АВ = 18 см; 1/2АВ + АВ = 18 см; 1 · 1/2AB = 18 см, АВ = 12 см; значит, АС = 18 - 12 = 6 (см). Ответ: АВ = 12 см; АС = 6 см. 3. Решить задачу № 260. Д ![]() Найти: углы ΔДМС. Решение: Так как МО = 1/2ДМ, то по свойству 3° ∠Д = 30°, тогда ∠C = 30°, ∠M = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°. Ответ: ∠Д = ∠C = 30°; ∠М = 120°. IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучить п. 34; повторить пункты 15—33; ответить на вопросы 10 и 11 на с. 90; решить № 256, 259. |