Принцип Гамильтона Остроградского для упругого тела
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
Основной вариационный принцип теории собственных колебаний Будем исходить из интеграла действия при отсутствии внешних сил (*) Здесь произвольные фиксированные моменты времени, т.е. не варьируются. Рассмотрим интеграл действия на множестве гармонических по времени движений Получим выражения для и Где и максимальные по времени значения кинетической и потенциальной энергий Подставляя выражения для и в (*), получим основной вариационный принцип теории собственных колебаний в виде Из этого принципа вытекают еще три: 1. при условии 2. при условии Эквивалентность этих принципов основному вариационному принципа вытекает из правила множителей Лагранжа в задачах на условный экстремум. Согласно этому методу достаточно рассмотреть вариацию функционалов и 3. , где дробь Релея , Отсюда следует вариационный принцип Релея Среди форм движений истинными будут те, которые сообщают дроби Релея стационарное значение. 17Минимальное свойство низшей собственной частоты Теоремы сравнения Задача на собственные значения Рассмотрим дробь Релея Этот функционал будем рассматривать на элементах , тогда и подавно . Так как положительно определенные операторы, то числитель и знаменатель в дроби Релея положительны и, следовательно, дробь Релея ограничена снизу. Это означает, что она (дробь Релея) имеет точную нижнюю грань. Пусть точная нижняя грань функционала , т.е. и пусть элемент, на котором достигается эта точная нижняя грань. Тогда , т.е. квадрат низшей собственной частоты, а соответствующая ей первая форма собственных колебаний. Итак: формула Релея. Для формула Релея дает оценку сверху. Пример: изгибные колебания стержня + граничные условия при . Теоремы сравнения а) Пусть имеем две упругие системы и задачи на отыскание собственных частот где симметричные, положительно определенные операторы и пусть В этом случае говорят, что первая система более жесткая. Тогда для всех собственных частот обеих систем справедливо неравенство б) Аналогичная теорема справедлива и для систем с различной «инерционностью». Пусть В этом случае говорят, что первая система более инерционная. Тогда Докажем, например, теорему б) Т.к. то . Это неравенство имеет место для всех и поэтому . Аналогично доказывается и теорема а). 18Методы определения собственных частот и форм собственных колебаний. Классификация методов. вполне непрерывный Классификация методов 1. Точные и приближенные Точные: метод разделения переменных, метод интегральных преобразований, метод ТФКП, методы теории потенциалов и т.д. Это методы математической физики. Приближенные: метод последовательных приближений, метод малого параметра, вариационные методы, смешанные методы и т.д. 2. Аналитические и численные (деление условное) Аналитические: метод малого параметра, метод последовательных приближений Численные: методы дискретизации, метод сеток, МКЭ 3. Непрерывные и дискретные Дискретные основаны на сведении распределенной системы к системе с конечным числом степеней свободы Существуют комбинированные методы 19 Методы физической дискретизации(Дискретизация масс) Методы архаичны, но до сих пор используются в инженерной практике. Дискретизация масс Распределенная масса системы заменяется дискретной. Система остается распределенной по упругости. Используем принцип Даламбера, принцип суперпозиции элементы матрицы податливостей (матрицы единичных перемещений) Для собственных колебаний решение ищем в виде После подстановки имеем систему линейных уравнений Или в матричной форме Это стандартная алгебраическая проблема на собственные значения. Ее решение собственные формы Этот метод можно интерпретировать как метод численного решения интегрального уравнения собственных колебаний Дискретный аналог Основная трудность в реализации метода построение матрицы . 20Вариационные методы определения собственных частот и форм колебаний. Вариационная формулировка задачи Рассмотрим квадратичный функционал , Т.е. собственные формы и частоты являются стационарными точками функционала . Для примера изгибных колебаний стержня Покажем, что Итак, задача сводится к отысканию стационарных точек функционала Возникает вопрос, на каком классе функций искать стационарные точки? Известно, что решения дифференциального уравнения собственных колебаний должны удовлетворять условию , должны быть четыре раза дифференцируемы и, кроме того, удовлетворять всем граничным условиям. Точка является стационарной для . Однако видно, что не содержит четвертых производных. Они исчезли при интегрировании по частям. Это означает, что можно определить на функциях , у которых вторая производная интегрируема с квадратом Эти функции принадлежат энергетическому пространству , т.е. эти функции имеют конечную энергетическую норму и удовлетворяют по крайней мере кинематическим граничным условиям. 1)Метод Релея 2)Метод Ритца 3)Метод Бубнова-Галеркина 21Метод Релея и некоторые оценки, вытекающие из него: формулы Данкерли и Саутвелла Формула Релея Для изгибных колебаний стержней Если есть, например, дополнительные сосредоточенные массы, то Минимум реализуется на первая собственная форма. При любой другой формула Релея дает оценку сверху для основной частоты. Некоторые оценки, вытекающие из формулы Релея. Формулы Данкерли и Саутвелла Предположим, что упругая система распадается по кинетической энергии на парциальных систем Пример Тогда уравнение для определения собственных частот и форм можно записать в виде градиент составляющей кинетической энергии . Для выше приведенного примера Пусть первая собственная форма колебаний. Тогда или Обозначим квадрат парциальной частоты. Тогда и окончательно получим формулу Данкерли Аналогично, если упругая система распадается на парциальных систем по потенциальной энергии, т.е. В этом случае справедлива формула Саутвелла 22Вариационный метод Ритца В соответствии с вариационным принципом отыскание собственных частот и форм эквивалентно отысканию стационарных точек функционала в пространстве , т.е. Классический метод Ритца состоит в замене в вариационной задаче пространства конечномерным подпространством или, точнее, последовательностью конечномерных подпространств . Пусть пространство, натянутое на координатные или базисные функции . Решение, сообщающее стационарное значение функционалу , ищем в виде Система координатных (базисных) функций должна удовлетворять следующим условиям: 1. Каждая из них должна принадлежать энергетическому пространству , в частности иметь конечную энергетическую норму (), удовлетворять, по крайней мере, кинематическим граничным условиям, иметь обобщенные производные до порядка оператора С включительно. 2. Взятые в любом числе они должны быть линейно независимыми. 3. Система координатных функций должна быть полной в . Тогда где Например, изгибные колебания стержней Вместо функционала получим Относительно коэффициентов получим систему уравнений В матричной форме обобщенная алгебраическая проблема собственных значений или где Если , то формула РелеяРитца. Если подставить вместо и их выражения, то получим просто формулу Релея. Если членов разложения достаточно много, то для основной частоты получим хорошее приближение; для высших частот грубая оценка, но более точная, чем по формуле Релея. 23Метод БубноваГалеркина Исходим из уравнения собственных колебаний упругой системы (*) уравнение с дифференциальными операторами. Умножим уравнение на тестовую функцию и интегрируем по области. В результате получим Для , некоторое тестовое пространство. Если, например, содержит все функции, то уравнение (*) удовлетворяется в классическом смысле, т.е. в каждой точке. Дискретная форма тестового пространства приводит к методу каллокаций. Решение уравнения (*) ищем в виде , (**) где должны удовлетворять всем граничным условиям. Согласно методу БубноваГалеркина результат подстановки (**) в левую часть (*) должен быть ортогонален ко всем координатным функциям, т.е. или где Если в методе Ритца координатные (базисные функции) удовлетворяют всем граничным условиям, то , т.е. равно энергетическому произведению, например для стержня То разрешающая система метода БубноваГалеркина совпадает с разрешающей системой метода Ритца. 24Продольные, крутильные и изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения. Продольные колебания стержней постоянного поперечного сечения , (для крутильных колебаний ) а) Граничные условия: . Из частотное уравнение б) Граничные условия: . Из частотное уравнение в) Граничные условия: . Из частотное уравнение При собственная частота равна Другие граничные условия б) Граничные условия: . , гр. условия для :
Случай Первая частота мала, мало Изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения В рамках гипотез Бернулли – Эйлера и без учета инерции вращения и энергии поперечных сдвигов уравнение для форм собственных колебаний имеет вид Если Стержень, опертый по концам Граничные условия Уравнению и граничным условиям удовлетворяют функции Стержень, защемленный по концам Граничные условия: Удовлетворяя граничным условиям, получим систему однородных уравнений Частотное уравнение Обозначим и перепишем частотное уравнение Трансцендентное уравнение имеет бесконечное счетное множество корней Частоты выше, чем у шарнирно опертой балки Определим формы колебаний Из первого уравнения имеем Пусть . тогда или 25Балочные (фундаментальные) функции Подобным образом можно найти собственные частоты и формы изгибных колебаний стержней при других опорных закреплениях. Формы собственных колебаний стержней постоянного поперечного сечения называются балочными функциями. Основные свойства балочных функций а) Ортогональность Это свойство вытекает из ранее доказанных общих свойств форм собственных колебаний. Однако проверим Умножаем скалярно и вычтем одно из другого, интегрируем по частям равно нулю при любых сочетаниях краевых условий. б) Квадрат нормы балочной функции выражается через значения функции и ее производных в концевых точках в) Системы балочных функций полны в соответствующих пространствах . Любая функция может быть разложена в равномерно сходящийся ряд Балочные функции широко используются в задачах динамики и устойчивости стержней, пластин и оболочек. 26Метод начальных параметров в задачах об изгибных колебаниях стержней Этот метод берет свое начало от Коши. Возрожден был А.Н.Крыловым (1930). Называется метод Коши – Крылова. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение го порядка частных линейно независимых решений образуют фундаментальную систему Определитель этой матрицы (Вронского) отличен от нуля Если , где единичная матрица, то система решений называется нормальной фундаментальной системой. Если нормальная фундаментальная система, то общее решение однородного уравнения можно записать в виде где ─ начальные условия. Если уравнение неоднородное , то частное решение неоднородного уравнения можно найти по формуле Коши , где функция Грина (ядро Коши) для задачи Коши. Если уравнение с постоянными коэффициентами и нам известна фундаментальная система Коши, то функция , а частное решение Окончательно общее решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид В этом состоит математическая сторона метода. Применим метод к задачам об изгибных колебаниях стержней (А.Н.Крылов, Н.И.Безухов) фундаментальная система решений, но она не является нормальной. Нормальную фундаментальную систему сформируем на основе функций Крылова Обозначим , то и вообще : при дифференцировании номер функции Крылова понижается на единицу. Таким образом, нормальная фундаментальная система решений уравнения собственных колебаний стержней Решение для форм колебаний можно записать где амплитудные значения прогиба, угла поворота, момента и поперечной силы в начальном сечении стержня. Частное решение неоднородного уравнения Метод начальных параметров удобен для определения част и форм многопролетных балок с кусочно-постоянной жесткостью. Пример. Учитывая выражения для функций Крылова, частотное уравнение получим в виде . Обозначим . Из первого уравнения получим . Для форм колебаний имеем Матричная форма метода начальных параметров Введем вектор . При Аналогично . Для Уравнение частот получим из граничных условий на правом конце. 27Методы расчленения в теории собственных колебаний стержней (метод динамических податливостей, метод динамических жесткостей). При исследовании колебаний сложных систем их удобно расчленить на отдельные более простые подсистемы. Расчленение можно осуществить либо устранением связей между ними (метод динамических податливостей), либо наоборот введением дополнительных связей (метод динамических жесткостей). Это динамические аналоги метода сил и метода перемещений в статике стержневых систем. а) метод динамических податливостей Решение ищется для одночастотного режима. Вспомогательная задача – основную систему загружают вибрационными силами с единичной амплитудой и решается задача о вынужденных колебаниях. ─ матрица динамических податливостей. трансцендентные функции Условие существования ненулевого решения ─ уравнение частот. В строительной механике рассматриваются статические, а здесь гармонические воздействия на систему. Поэтому этот метод иногда называют методом гармонических коэффициентов влияния. Пример. Условие совместности деформаций динамические податливости балки и массы с пружинами, т.е. амплитудные значения перемещений точек приложения силы под действием единичной гармонической силы. Частотное уравнение При Динамическая податливость второй подсистемы Частотное уравнение б) метод динамических жесткостей перемещения (угловые). Решается задача о вынужденных колебаниях при кинематическом возбуждении. амплитудные реакции по направлению го обобщенного перемещения от го единичного гармонического воздействия, число стержней – число условий сопряжения Матрица динамических жесткостей Условия сопряжения обобщенных динамических сил – условия равновесия в узлах Частотное уравнение Реакции простых систем на единичные гармонические перемещения затабулированы. Пример Определить Граничные условия С учетом граничных условий Изложенные методы являются точными. 28Влияние осевых усилий на собственные изгибные колебания стержней при сжатии Уравнение для определения собственных частот и форм Если граничные условия произвольные, то составляется характеристическое уравнение и т.д. Если граничные условия – шарнирное опирание, то можно принять Граничные условия удовлетворяются автоматически. Удовлетворим уравнению Если , то ая Эйлерова сила Приложение сжимающих усилий снижает частоту собственных колебаний, растягивающих – повышает. При , когда наступление нейтрального равновесия. Пусть (растягивающее усилие). Тогда Если , то (штриховые линии на рисунке). Стержень превращается в струну. Так как , то Для стержня , для струны (пренебрегаем изгибом) и положив получим. Для других граничных условий факт неучета первого слагаемого для струны сохраняется. 29Влияние инерции вращения и деформаций поперечного сдвига на изгибные колебания стержней Рассмотрим балку Тимошенко Пусть стержень оперт по концам , где угол сдвига Одно из уравнений Тимошенко Так как на концах стержня ускорения и перемещения равны нулю , то здесь и тогда и граничные условия записываются как обычно Эти граничные условия позволяют искать решение в виде Подставим в уравнение Это – биквадратное уравнение, которое дает два значения для собственных частот (напомним, что исходные уравнения содержат две независимые функции и .) Формы колебаний будут определятся следующим образом Отличаются значениями числовых коэффициентов Эти соотношения характеризуют форму колебаний. Одна частота соответствует преимущественно изгибным колебаниям, вторая – преимущественно сдвиговым. Обозначим или , где радиус инерции. Частота соответствует частотам колебаний балки Бернулли. Величина одна из скоростей распространения упругих волн. Введем также . Здесь также одна из скоростей распространения упругих волн. С учетом этих обозначений перепишем частотное уравнение Если стержень достаточно тонкий, то . Тогда получим, что , т.е. очень высокая частота, а частота изгибных колебаний будет совпадать со значением, полученным по классической теории. Покажем это Если предположить, что искомая частота низкая, то . Если частота высокая, то пренебрегаем последним слагаемым и . Обычно принимают Если , то можно пользоваться классической теорией. 30Собственные колебания прямоугольных пластин. Граничные условия Навье. |