Принцип Гамильтона Остроградского для упругого тела
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
Уравнения и граничные условия Тонкая пластина толщиной совершает изгибные колебания. На контуре имеем граничные условия. Например, . Предположим, что часть контура параллельна координатной линии Край Опирание: Переходя к Заделка: Свободный край: Для Собственные колебания прямоугольной пластины с краевыми условиями Навье , граничные условия это наиболее простой случай. Решение представим в виде Подставим в уравнение Обозначим (удлинение пластины). Решение для Этим частотам соответствуют формы колебаний Упорядочим частоты по возрастанию . Если , то рассматриваемая форма характеризуется одной полуволной в одном направлении и одной в другом направлении одна узловая линия две узловые линии ─ ─ Среди собственных частот могут быть кратные. Пример: квадратная пластина + ─ ─ ─ Здесь и любая комбинация второй и третьей форм есть новая форма колебаний, соответствующая той же частоте. 31Плотность собственных частот пластин При изучении спектров собственных колебаний возникает вопрос об оценке количества частот, приходящихся на единицу частотного диапазона. Введем асимптотическую оценку для числа частот , удовлетворяющих условию . Упорядочим спектр собственных частот, например, для пластины с краевыми условиями Навье. Обозначим (волновые числа). Тогда Рассмотрим плоскость волновых чисел Частоты располагаются в узлах сетки. Подсчитаем число частот, меньших заданного значения: зафиксируем . () Нужно подсчитать количество точек (частот), расположенных внутри четверти круга с радиусом . Найдем приближенное, асимптотическое значение. Вычислим площадь и разделим на площадь ячейки. Эта формула при больших достаточно определяет . Плотность частот для пластины с краевыми условиями Навье, т.е. частоты распределены равномерно в частотных диапазонах. Аналогично можно определить распределение частот для пластин с другими краевыми условиями, а также для оболочек. 32Прямоугольная пластина краевыми условиями Леви Для определенности рассмотрим заделку по противоположным кромкам. Тогда граничные условия будут следующими Решение ищем в виде ряда После подстановки получим Краевые условия для , где , Подставим в краевые условия и приравняем нулю определитель коэффициентов при . Получим уравнение частот 33Колебания круговых и кольцевых пластин Задача состоит в нахождении общего решения. Используем метод факторизации, раскладывая оператор на множители и рассматриваются два уравнения Решение удовлетворяет исходному уравнению. Если и содержат линейно независимые решения, то является фундаментальной системой решений уравнения . Круговые пластины По окружной координате произойдет разделение переменных. Подставим в уравнения, которые получились после применения метода факторизации. Получим уравнения Бесселя Решением первого уравнения являются функции Бесселя мнимого аргумента второго - действительного функция Макдональда, функция Неймана Общее решение Если пластина сплошная, то , т.к. функции в нуле при имеют особенность. Граничные условия на контуре, например, или Уравнение частот имеет бесконечное счетное множество корней , номер корня, номер разложения по косинусам. Формы собственных колебаний Форму собственных колебаний характеризуют числа и : количество узловых диаметров; число узловых окружностей ─ ─ ─ ─ ─ ─ по радиусу узловых линий нет одна узловая окружность и т.д. ─ ─ ─ ─ ─ ─ Сама форма , где некоторый коэффициент 34Применение вариационных методов в задачах о собственных колебаниях пластин Прямоугольные пластины. Формула Релея , удовлетворяет, по крайней мере, кинематическим граничным условиям. Круговые пластины. Формула Релея Метод Ритца см. выше в формулах Релея Приравнивание нулю определителя коэффициентов при дает частотное уравнение. В одночастотном приближении получаем формулу Релея. Методы справедливы для пластин с переменными параметрами . Метод Стодолы Основан на методе Релея – Ритца. Разработан и используется для круглых пластин переменной толщины (дисков турбин) Решение ищется в виде некоторый параметр (), по которому в дальнейшем проводится минимизация. Приближающие функции вообще говоря не удовлетворяют даже кинематическим граничным условиям. Применяется формула Релея и по параметру проводится минимизация функции . Используется свойство экстремальности собственных частот Этот метод широко используется для расчета дисков переменной толщины. Если , то интегралы легко вычисляются. Получается достаточно хорошая оценка. 35Асимптотический метод В.В.Болотина для определения спектров собственных колебаний Под асимптотическими методами обычно понимается большая группа приближенных методов, основанных на свойствах решений обыкновенных дифференциальных уравнений, проявляющихся либо при очень больших значениях некоторых параметров, либо очень малых значениях. Несмотря на указанные выше замечания, область применения асимптотических методов оказывается довольно широкой. Шире, чем это дается их математическим обоснованием. Асимптотические методы применяются обычно в области, где обычные методы дают неудовлетворительные результаты. Например, все вариационные методы, методы малого параметра и др. хорошо работают при определении низших частот. При определении высших частот объем вычислений значительно возрастает. Основы асимптотических методов заложены Курантом, Вейлем и др. Один из асимптотических методов применительно к теории колебаний механических систем разработан академиком В.В.Болотиным – асимптотический метод Болотина. Идея асимптотического метода В некоторых случаях напряженно-деформированное состояние может быть разбито на два состояния: безмоментное и преимущественно изгибное состояние (типа краевого эффекта). Например, цилиндрическая оболочка при действии внутреннего давления приближенное решение Слева , справа Решения типа простой краевой эффект (Гольденвейзер, Новожилов – теория простого краевого эффекта) Основная идея асимптотического метода Болотина – идея простого краевого эффекта. Рассмотрим стержень. Пусть характер изменяемости достаточно большой. Тогда во внутренней области решение будет , в качестве которого можно использовать решение для для краевых условий Навье. При произвольных краевых условиях это решение не будет справедливо вблизи краев. Чтобы удовлетворить заданным граничным условиям, добавляется решение типа краевого эффекта у каждого края, так что у левого края условия будут удовлетворены, если , у правого ─ . Причем решения и должны быть затухающими по мере удаления от краев во внутреннюю область. Этот метод работает не всегда. В некоторых случаях краевой эффект вырождается. (Для стержней работает, для прямоугольных пластин работает) порождающее решение динамические краевые эффекты Если краевые условия – условия Навье, то , И тогда Если краевые условия произвольные, то . Подставим в уравнение выражение для имеет корни , соответствуют порождающему решению при Вблизи левого конца ─ чтобы решение затухало при возрастании Итак Для правого конца Удовлетворим граничным условиям Левый конец Уравнения для определения постоянных Правый конец Исключим Это уравнение частот, полученное из условия склеивания (стыковки) решений слева и справа ─ асимптотическое значение частоты для высших форм колебаний. Условие склеивания состоит в том, что фазовые постоянные решений, построенных справа и слева, должны отличатся на целое число , т.е. чтобы решения стыковались в фазе невязка решений Даже для первых форм асимптотическое выражение для частоты дает довольно точное значение. Возникает вопрос, как оценить погрешность? Погрешность определяется тем, насколько быстро затухают корректирующие решения, т.е. выражения ; . Зона протяженности краевого эффекта . Таким образом, зона краевого эффекта не превышает длины полуволны в форме колебаний. 36Применение асимптотического метода к расчету прямоугольных пластин + граничные условия при . Порождающее решение для внутренней области Схема решения: 1. Вблизи каждого края строим корректирующие решения – решения типа динамического краевого эффекта. 2. Корректирующее решение в сумме с порождающим решением должно удовлетворять заданным краевым условиям на заданной стороне пластины. 3. Корректирующие решения должны убывать при удалении от края во внутреннюю область. 4. Такие решения строятся у всех четырех краев. Затем производится склеивание решений. Условие склеивания дает уравнение собственных частот. Подставим порождающее решение в уравнение колебаний Если и известны, то известна и частота. Обозначим неизвестная величина. Тогда Строим решение типа динамического краевого эффекта для края . Для определенности рассмотрим заделанный край. Здесь . Обозначим . Тогда и подставим в уравнение Характеристическое уравнение Корни уравнения , соответствуют ─ порождающему решению. соответствуют корректирующему решению Таким образом имеем Для краевых условий имеем Отсюда На противоположном краю Для краевых условий при (характеристическое уравнение то же самое) имеем Склеиваем решения . Тогда получаем Это уравнение получается при склеивании решений в одном направлении. Аналогично, если имеем также заделки на других краях Получаем систему уравнений для определения , т.е. для определения частот . Для произвольных краевых условий тангенсы фазовых постоянных ( для заделки, для опирания, для стандартных опорных закреплений затабулированы) ; ; Пример Уравнение частот после решения которого определяются частоты Решение уравнения частот 1.) Графически Строятся различные линии при Собственным частотам соответствуют точки пересечения кривых. Узлы прямоугольной сетки соответствуют частотам для пластины с граничными условиями Навье. Для квадратной пластины , защемленной по контуру, можно получить формулу, определяющие «диагональные» частоты для случая и 2.) Использование метода последовательных приближений Для рассматриваемого примера Обозначим При берется в качестве нулевого приближения Схема метода последовательных приближений . Пока не получим совпадение с заданной точностью. По вычисленным определяется частота . Обычно 3 = 4 приближения дает точность 4 – 5 знаков. 37Собственные колебания круговых цилиндрических оболочек. Рассмотрим колебания замкнутой круговой цилиндрической оболочки Простейший случай – краевые условия Навье при Эти условия эквивалентны следующим Для краевых условий Навье можно получить точное решение Такой вид решений принят для того, чтобы произошло разделение (сравни ). Граничные условия удовлетворяются. Если подставить эти ряды в исходные уравнения, то для каждого сочетания и получим систему линейных уравнений для . Обозначим для удобства . Тогда (*) Условие существования ненулевого решения Здесь при (инерционные члены) Раскроем определитель Имеем 3 значения для частоты . Для каждого значения , подставляя его в систему (*) найдем Если зафиксировать и , то получим три значения для частоты и соответствующие им формы колебаний Имеем три функциональные степени свободы. число полуволн формы колебаний в продольном направлении число волн формы колебаний в окружном направлении
Для трех форм узловые линии будут одни и те же. Выделяют 3 различных класса форм: 1. Преимущественно поперечные формы 2. Преимущественно продольные формы 3. Преимущественно крутильные формы Обычно низшей (основной) частоте соответствует самая простая форма колебаний (для стержней, пластин). Для оболочек это не так. Минимальному значению частоты соответствует не самая простая форма. Для поперечных движений минимальное значение частоты достигается при . В этом случае можно пренебречь членами (как для пологих оболочек) Общие положения, касающиеся ортогональности форм собственных колебаний, остаются справедливыми и в оболочках. Элементы есть вектор – функции (нужно брать сумму произведений соответствующих координат) Тогда условие ортогональности по кинетической энергии запишется 38Осесимметричные и преимущественно изгибные колебания. Осесимметричные колебания цилиндрических оболочек Если , то, казалось бы, . Но на самом деле это не так, потому что для осесимметричной деформации просто не зависят от . Если , то второе уравнение перепишется как Учитывая, что , получим Волновое уравнение крутильных колебаний. Представим . После подстановки в уравнение получим Обозначим . Первое и третье уравнение перепишутся для осесимметричной деформации так Эта система описывает продольно-поперечные колебания. Система разделяется, если . частота продольных колебаний частота поперечных колебаний Если оболочка достаточно длинная и тонкая, то . Поэтому приближенно можно записать Преимущественно поперечные колебания происходят, когда тангенциальными силами можно пренебречь. Проинтегрируем в этом случае 1-е уравнение и подставим 1-ую производную во второе уравнение. В результате получим 39Собственные колебания пологих оболочек. Уравнения и граничные условия Рассмотрим тонкую упругую оболочку постоянной толщины, отнесенную к ортогональной криволинейной системе координат Гипотезы классической теории оболочек 1. Гипотезы Кирхгофа – Лява; 2. Перемещения и деформации малы; 3. Материал линейно упругий Уравнения колебаний могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона – Остроградского. Можно использовать принцип Даламбера, только необходимо поставить в соответствие гипотезы, относящиеся к деформированию оболочки, и гипотезы об учете инерционных членов. Перемещения Инерционные члены: нормальные и тангенциальные Если рассматривают преимущественно изгибные колебания, то членами пренебрегают. Запишем уравнения из принципа Даламбера , где для собственных колебаний , Если , то знаки у и различны. Граничные условия на : На каждом краю по 4 условия в общем случае. Количество граничных условий зависит от вида оператора. Для преимущественно изгибных колебаний по 2 условия. Выпишем эти условия для альтернативного случая. Край
Уравнения колебаний пологих оболочек (1) (2) В уравнении (1) нет членов типа . Получены они из общих уравнений равновесия и принципа Даламбера. Затем отброшены лишние инерционные члены, введена функция усилий. 40Волны в неограниченной упругой изотропной среде. Волны расширения и волны сдвига. Под волной будем понимать процесс распространения колебаний. Волновые решения необходимы для понимания картины динамического поведения упругого тела. Волны расширения и волны сдвига Рассматривается неограниченная однородная изотропная упругая среда. Уравнение колебаний упругой среды (уравнения Ламе) или в векторной форме компоненты вектора перемещений Рассмотрим частный случай: так называемую плоскую волну , . Тогда уравнения разделяются Имеем три волновых уравнения типа Решение этого уравнения имеет вид где и любые гладкие функции, скорость распространения волны. Итак Плоская упругая волна представляет собой две независимо распространяющиеся волны. В первой из них перемещение совпадает с направлением распространения самой волны. Эта волна называется продольной и скорость ее распространения равна . В другой волне смещения точек лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Такая волна называется поперечной, скорость ее распространения равна . Выразим скорости распространения волн через технические упругие постоянные Отношение скоростей не зависит от и . При Свойства поперечной и продольной волн Для поперечной волны имели , т.е. объемная деформация равна нулю. Однако т.е. поперечная волна сопровождается «вращением» элемента. По этой причине эти волны еще называют так: поперечные – волны сдвига – вихревые – эквиволюминальные (равнообъемные). Для продольной волны , т.е. распространение такой волны сопровождается объемной деформацией. Однако Эти волны называют дилатационные продольные – волны расширения – безвихревые (не совсем точное название, поскольку безвихревые движения, вообще говоря, сопровождаются и деформациями сдвига) Разделение упругой волны на две независимо распространяющиеся части можно провести и в общем случае произвольной (неплоской) волны. Теорема Гельмгольца: Произвольное векторное поле может быть представлено в виде суммы безвихревого и вихревого полей. То есть, скалярный потенциал векторный потенциал Подставляя это разложение в уравнения Ламе, получим в сейсмике P─волны (первичные) в сейсмике S─волны (вторичные) 41Дисперсионное уравнение. Фазовая и групповая скорости. Типы дисперсий Рассмотрим уравнение распространение колебаний линейный дифференциальный оператор, некоторый полином от Пусть это уравнение допускает решение в виде монохроматической бегущей волны амплитуда. Понимается волновое число. частота, фазовая скорость (скорость распространения точки с постоянной фазой , ) После подстановки в уравнение получим Которое связывает волновое число с частотой . Это уравнение называется дисперсионным. Например, в случае волнового уравнения дисперсионное уравнение В общем случае из дисперсионного уравнения находим частоту как функцию волнового числа. Фазовая скорость волны при этом определяется как Таким образом, волны с разными длинами могут распространятся с разными скоростями Вследствие этого произвольное возмущение будет искажаться. Явление расползания возмущений называется дисперсией. Поэтому кроме фазовой скорости вводят понятие групповой скорости. Для выяснения этого понятия рассмотрим волну, представляющую собой сумму двух гармонических волн с равными амплитудами, но разными частотами и ─ огибающая Пакет из двух волн Скорость распространения огибающей и есть групповая скорость В случае произвольных волновых пакетов (группы волн) следует провести Фурье-анализ и получим тот же результат С групповой скоростью переносится энергия волнового движения. Получим связь между фазовой и групповой скоростями. Если , то - нормальная дисперсия Если , то - аномальная дисперсия Если , то - дисперсии нет В неограниченной изотропной упругой среде все волны распространяются без дисперсии, т.к. и . Заметим, что и не связаны со скоростью частиц среды. Волны переносят данное состояние от частицы к частице. 42Поверхностные волны Релея (─ волны в изотропном упругом полупространстве) Поверхность свободна от напряжений Естественно искать решение динамических уравнений Ламе в виде решений, затухающих при , то есть Опуская выкладки, сформулируем основные результаты. Скорость распространения волн Релея , где корень уравнения Здесь При Вообще, для Волны Релея распространяются без дисперсии 43Приложение к сейсмологии Землетрясение – колебания земной поверхности вследствие высвобождения упругой энергии в какой-либо точке Земли. В первую очередь доходят волны расширения с скоростью (P – волны), затем волны сдвига со скоростью (S – волны). После отражения от поверхности образуются релеевские волны; длины их больше, частоты выше, поэтому они более слабо демпфируются и очаг их распространения значительно больше, чем волн расширения (пример Румынское землетрясение, толчки которого ощущались в Москве). 44 Продольные волны и волны кручения в призматических стержнях. Элементарная и уточненная теории изгибных волн в стержнях. |