Принцип Гамильтона Остроградского для упругого тела
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
1Принцип Гамильтона-Остроградского для упругого тела.Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для упругого тела Принцип Гамильтона – Остроградского для упругого тела Сначала сформулируем этот принцип для систем с конечным числом степеней свободы, подчиненных голономным идеальным связям и загруженных консервативными силами: Среди всех движений, совместимых со связями, достаточно близких к истинному и совпадающих с истинным в начальный и конечный моменты времени, истинное движение сообщает интегралу действия стационарное значение, т.е. Этот принцип переносится и на распределенные системы, когда внешние силы обладают потенциалом. кинетическая энергия системы; потенциальная энергия упругой деформации; потенциальная энергия внешних сил, равная работе внешних сил с обратным знаком. Рассмотрим упругое тело, занимающее объем , загруженное по части поверхности , а на части поверхности заданы перемещения точек поверхности. объемная плотность упругого тела ─ нагрузка компоненты вектора перемещений точек упругого тела компоненты тензорного поля деформаций упругого тела Будем считать, что перемещения и градиенты перемещений малы. Тогда компоненты тензора малых деформаций определятся формулами Коши Материал – линейно-упругий, справедлив закон Гука Кинетическая энергия Потенциальная энергия упругой деформации Здесь учтено, что . Потенциальная энергия внешних сил где объемные силы. Без ограничения общности Запишем интеграл действия в виде , где объемная плотность лагранжиана поверхностная плотность лагранжиана Функционал определен на функциях , имеющих необходимые производные и удовлетворяющие заданным условиям на поверхности , т.е. кинематическим граничным условиям.Вычислим вариацию квадратичного функционала Здесь вариации по Гамильтону: малые; совместимые со связями, изохронные (переставимость операций дифференцирования и варьирования); в начале и в конце движения равны нулю , . , Преобразуем интегралы с использованием формулы Гаусса – Остроградского ; в компонентах Здесь учтено, что на .Выражение для вариации функционала примет вид Необходимое условие стационарности функционала . Тогда на основании основной леммы вариационного исчисления имеем уравнение Эйлера – Остроградского. в объеме Естественные граничные условия на поверхности 2Динамические уравнения теории упругости. Уравнение колебаний в объеме Естественные граничные условия на поверхности объемная плотность лагранжиана поверхностная плотность лагранжиана Учитывая выражения для объемной и поверхностной плотности лагранжиана и , получим динамические уравнения теории упругости в объеме на поверхности на поверхности + начальные условия объемные силы В уравнении движения под знаком дифференцирования В случае изотропного материала где постоянные Ламе . Тогда для изотропного материала имеем или - уравнения Ламе для динамического случая. Естественные граничные условия на Векторная форма записи при и при + граничные и начальные условия. 3Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для одномерных и двумерных систем. Уравнение продольных колебаний стержней Существенные компоненты тензора напряжений и деформаций и . Остальные равны нулю. Гипотеза плоских сечений площадь поперечного сечения – медленно меняющаяся функция Из имеем Естественные граничные условия при Или при Если , то скорость продольных волн Если на торцах стержня заданы внешние сосредоточенные силы, то граничные условия примут вид 4 Уравнение продольных, крутильных и изгибных колебаний стержней. Уравнение продольных колебаний стержней Существенные компоненты тензора напряжений и деформаций и . Остальные равны нулю. Гипотеза плоских сечений площадь поперечного сечения – медленно меняющаяся функция Из имеем Естественные граничные условия при Или при Если , то скорость продольных волн Если на торцах стержня заданы внешние сосредоточенные силы, то граничные условия примут вид Уравнение крутильных колебаний стержней интенсивность внешней нагрузки (распределенный крутящий момент). Депланационные эффекты не учитываются. Используется классическая теория кручения стержней. Центр масс в каждом сечении совпадает с центром жесткости. Интеграл действия имеет вид момент инерции массы стержня единичной длины относительно оси . Уравнение изгибных колебаний стержней Оси главные центральные оси инерции. Справедливы гипотезы Бернулли (гипотеза плоских сечений). Из них следует Существенные компоненты тензоров напряжений и деформаций Интеграл действия имеет вид Естественные граничные условия (если концы стержня свободны от внешних сил) при 5Поправка Релея для случая продольных колебаний стержней При выводе уравнений продольных колебаний стержней предполагалось, что . Однако в силу эффекта Пуассона поперечные перемещения будут отличны от нуля. Уточнение уравнений с учетом этого обстоятельства проделано Релеем в 1877 Пусть стержень имеет две оси симметрии. Тогда в начале координат при перемещения . После интегрирования получим Изменится выражение для кинетической энергии ─ полярный момент ирерции Применим принцип Гамильтона – Остроградского и получим уравнение колебаний, учитывающее эффект Пуассона Однако поправка Релея не учитывается. Покажем это. Пусть характерное время (например, период) характерный размер поперечного сечения характерный размер изменения напряженно-деформированного состояния по оси Тогда Порядок отношения этих величин Таким образом, учет влияния поперечных перемещений является некорректным при . Если , т.е. характерная длина формы колебаний сопоставима с характерным размером поперечного сечения, то поправка существенна. Но тогда исходное уравнение не работает. 6Уточненная теория изгибных колебаний стержней. Уравнения балки Тимошенко Впервые уточнение классической теории, основанной на гипотезах Бернулли, было сделано Релеем. Он учел инерцию вращения Инерционные силы от поворота сечения . Спроектируем их на нормаль и добавим в уравнение Спустя лет (1915 г.) С.П.Тимошенко показал, что это уточнение неправомерно. Вклад дополнительного члена в энергию имеет порядок и если учитывать инерцию вращения, то необходимо учитывать и деформацию поперечных сдвигов. для согласования правила знаков , если В рамках классической теории В силу наличия сдвигов сечения не будут плоскими и перпендикулярными к деформированной оси стержня. Тимошенко предложил: сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными к изогнутой оси балки. некоторый осредненный угол сдвига; угол между нормалью к изогнутой оси балки и следом плоскости поперечного сечения. Этот угол считается пропорциональным поперечной силе. Тогда и независимые функции Для балки Тимошенко тоже существенная компонента тензора деформаций Гипотеза о ненадавливаемости волокон сохраняется. Вычислим потенциальную энергию упругой деформации Оценим порядок энергии сдвига. Поперечная сила . Формула Журавского Пусть характерный прогиб; характерное время (период); характерный размер поперечного сечения; характерная длина (например, длина полуволны изменения прогиба) Тогда Энергия деформаций изгиба Поправка на сдвиг по энергии имеет порядок Учет энергии сдвига необходим при несуществ. существ. Кинетическая энергия Оценим порядок слагаемых Поправка на инерцию вращения имеет порядок Т.е. также как и для соотношения энергии сдвига и энергии изгиба Линейная плотность лагранжиана Из условия имеем Учитывая вид лагранжиана, получим (1) (2) Естественные граничные условия при при () Кинематические условия заделка Неизвестные функции в уравнениях (1) и (2) и Продифференцируем уравнение (2) и вычтем уравнение (1) (2’) Уравнения (2) и (2’) – новая система Пусть . Тогда из уравнения (2’) получим Исключая из первого уравнения, получим Получили уравнение Тимошенко. Точнее оно имеет вид Где коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения. Наличие коэффициента ─ следствие того, что сдвиги неравномерно распределены по поперечному сечению стержня. Для прямоугольного поперечного сечения . Вообще этот параметр можно определить по следующей формуле Тимошенко вычислял энергию сдвига, полагая, что касательные напряжения распределены по формуле Журавского и получил формулу , где Такой подход несколько непоследовательный, хотя и дает хорошие результаты. Если , то получим уравнение колебаний по классической теории изгиба стержней. 7Уравнения колебаний и естественные граничные условия колебаний пластин. Уравнение изгибных колебаний пластин Выполняются классические гипотезы Кирхгофа – Лява теории пластин:
Закон Гука цилиндрическая жесткость Граничные условия на краю край пластины радиус кривизны в некоторой точке контура а) защемленный край б) шарнирно опертый край а) свободный край 8Применение принципа Даламбера для вывода уравнений динамики упругих систем Обычный способ получения уравнений движения механических систем основан на применении принципа Даламбера. Если уравнения равновесия системы известны, то вводя в рассмотрение силы инерции и используя квазистатические соображения, легко получаются соответствующие уравнения движения. Пример. Если инерциальная система, то массовые активные силы, даламберовы силы инерции Продольные колебания стержней Считаем, что , где внешняя распределенная нагрузка, инерционная нагрузка. Изгибные колебания Пластина Принцип Даламбера прост, но преимущество принципа Гамильтона – Остроградского в том, что он дает возможность сведения трехмерной динамической задачи к двумерным и одномерным общим и единообразным методом; позволяет получить также динамические (естественные) граничные условия. 10Операторное уравнение для определения спектров собственных колебаний (собственных частот и форм.) Иллюстрацию свойств спектров собственных колебаний будем проводить на примере изгибных колебаний стержней, дифференциальное уравнение колебаний которых имеет вид Граничные условия примем, например, следующими Уравнению можно удовлетворить, если положить где собственная частота (круговая) подлежит определению, начальная фаза, форма колебаний. После подстановки получим Это есть однородная краевая задача на собственные значения. Значения , при которых существует нетривиальное решение этой задачи, называются собственными частотами а соответствующие им нетривиальные решения собственные формы колебаний. Дифференциальное выражение совместно с граничными условиями задает дифференциальный оператор, который переводит некоторое множество из одного пространства в другое. Уравнение малых колебаний распределенных упругих систем можно записать в виде где и линейные дифференциальные операторы по пространственным переменным, элемент некоторого функционального пространства при любом фиксированном . Как следует из принципа Гамильтона - Остроградского, градиент потенциальной энергии упругой деформации, инерционный оператор, градиент кинетической энергии, упругий оператор. Полагая , получим задачу отыскания спектра колебаний в операторной форме где скалярная, векторная или тензорная функция. 11Свойства дифференциальных операторов и (упругого и инерционного операторов) Будем рассматривать эти операторы в гильбертовом пространстве функций , где некоторая область из евклидова пространства . Например, при . Скалярное произведение и норма Пусть область определения оператора , область определения оператора . Оператор всегда имеет более высокие производные по координатам, чем оператор . Поэтому , т.е. область определения оператора составляет подмножество . 1. Оператор , как всякий дифференциальный оператор, является неограниченным. Иллюстративный пример. При оператор . Область определения этого оператора , имеющие непрерывные производные до 4-го порядка включительно и удовлетворяют граничным условиям Для ограниченных операторов выполняется условие Вычислим норму оператора , на множестве функций Так как , то при 2. Оператор является симметричным, т.е. Для примера , . Здесь внеинтегральные члены в силу граничных условий равны нулю. 3. Оператор является самосопряженным, т.е. он симметричен и, кроме того, из тождества где и фиксированы, а следует, что , а По другому: если сопряженный оператор имеет ту же область определения и на 4. Операторы и положительно определенные. Симметричный оператор называется положительным, если для имеет место неравенство причем тогда и только тогда, когда . Симметричный оператор называется положительно определенным, если для справедливо неравенство где , или по-другому Если оператор положительный, но не положительно определенный, то это означает, что системе можно сообщить сколь угодно большое смещение по норме, затратив на это сколь угодно малую энергию. Положительная определенность операторов и есть следствие положительной определенности потенциальной энергии упругой деформации и кинетической энергии . 12Действительность частот собственных колебаний. Ортогональность собственных форм по потенциальной и кинетической энергии. Пусть квадрат собственной частоты, а соответствующая ей собственная форма колебаний Умножим скалярно на Так как и , то . Ортогональность форм собственных колебаний Собственные формы, соответствующие различным собственным частотам, ортогональны по кинетической и потенциальной энергии. Умножим скалярно и вычтем из первого второе , так как оператор симметричный И, кроме того, . Тогда получим Поскольку , то ортогональность по кинетической энергии А из выражения следует ортогональность по потенциальной энергии Пример: изгибные колебания стержня + граничные условия Ортогональность по кинетической энергии Если , то имеем обычное условие ортогональности. Ортогональность по потенциальной энергии 13Структура спектра частот собственных колебаний. Полнота системы форм собственных колебаний Если положительно определенный оператор, то тогда всегда существует обратный оператор , а оператор вполне непрерывный. Поэтому спектр собственных частот ограниченной (по размерам) упругой системы будет дискретным с единственной точкой сгущения на бесконечности. В окрестности бесконечно удаленной точки находится бесконечное множество частот. В случае неограниченных систем спектр может быть сплошным Полнота системы форм собственных колебаний Речь идет об ограниченных упругих системах, т.е. системах с дискретным спектром собственных частот, не имеющих конечных точек сгущения. Понятия из функционального анализа Рассмотрим гильбертово пространство область Пусть ортонормированная в система функций. Числа называются коэффициентами Фурье функции , а формальный ряд Рядом Фурье функции по системе . Неравенство Бесселя Для того, чтобы ряд Фурье сходился к функции в необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Парсевале (условие замкнутости) Если для ряд Фурье по системе сходится к , то система называется полной (замкнутой) в . Для того, чтобы система была полной в необходимо и достаточно чтобы любую функцию из некоторого множества, плотного в , можно было сколь угодно точно приблизить линейными комбинациями функций этой системы. Как следует из общих теорем функционального анализа, система форм собственных колебаний является полной по потенциальной и кинетической энергии. 15Энергетическое пространство упругого оператора. Энергетическая норма. Энергетическое пространство положительно определенного оператора Пусть положительно определенный оператор в . Область определения оператора и всюду плотная в . Введем на новое скалярное произведение Можно убедиться, что все свойства скалярного произведения выполняются. Область с новым скалярным произведением будет пространством. Введем норму в этом пространстве, связанную с введенным скалярным произведением Так как положительно определенный оператор поэтому Новое нормированное пространство может оказаться не полным. Пополним его, т.е. присоединим к нему все предельные элементы последовательностей, сходящиеся по норме . Пополненное пространство будет гильбертовым пространством и оно называется энергетическим пространством оператора и обозначим с энергетической нормой . Если , то либо , либо есть добавленный элемент, т.е. существует последовательность такая, что при . Исходное пространство и энергетическое пространство изоморфны. Если по энергии, то и по норме исходного пространства . 16Вариационные принципы теории собственных колебаний. |