РТЦиС_метода к лабам. Радиотехнические цепи и сигналы лабораторный практикум

• Название: Радиотехнические цепи и сигналы лабораторный практикум
• Анкор: РТЦиС_метода к лабам.doc
• Дата: 26.12.2017
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: РТЦиС_метода к лабам.doc
• Тип: Практикум; #13019
• страница: 1 из 25

Министерство образования РФ




Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»



РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ

ЦЕПИ И СИГНАЛЫ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Санкт-Петербург

2003

Министерство образования РФ




Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»



РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ

ЦЕПИ И СИГНАЛЫ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2003

УДК 621.396

ББК З 841я7

Р15
Авторы: О. Ю. Абрамов, Ю. Г. Антонов, С. А. Баруздин, А. А. Данилин, М. В. Дмитрюк, М. Т. Иванов, А. Д. Корнеев, А. С. Кривоногов, Ю. Е. Лавренко, Д. О. Москалец, А. Б. Натальин, К. П. Наумов, А. Б. Сергиенко, Д. А. Токарев, В. Н. Ушаков.
Радиотехнические цепи и сигналы: Лабораторный практикум. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2003. 120 с.

Представлены описания 12 лабораторных работ, выполняемых при изучении курсов цикла «Радиотехнические цепи и сигналы».

Предназначен для студентов факультета радиотехники и телекоммуникаций направлений 550400, 551100, 552500 и специальностей 200700, 200800, 201200, 201400, 201600, а также для студентов факультета электроники направления 550700 и специальности 200300.
Рецензенты: кафедра ФиТОР СПбГААП;

доц. В. М. Москалев (ВИКА им. А. Ф. Можайского).

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ISBN 5-7629-0543-8  СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2003

1. Исследование спектров периодических последовательностей импульсов

Цель работы — изучение взаимосвязи структуры сигнала и его спектра на примере анализа периодических последовательностей видео- и радиоимпульсов.

1.1. Теоретические сведения

Гармонический анализ периодических сигналов. Из курса высшей математики известно, что сигнал s(t) (рис. 1.1), имеющий период T и удов­ле­тво­ря­ю­щий на этом периоде условиям Дирихле 1, как правило, выполняющимся в отношении физически реализуемых сигналов, может быть представлен в виде ряда Фурье

, (1.1)

где

; ; ;

.



Рис. 1.1

Здесь a₀, a_n и b_n — коэффициенты разложения, _n — круговая частота гармонического колебания с номером n, f_n — его линейная частота. В радиотехнической практике более удобной является следующая форма записи соотношения (1.1):

, (1.2)

где ; . Из выражения (1.2) следует, что рассматриваемый периодический сигнал s(t) может быть представлен в виде суммы бесконечно большого числа гармонических составляющих, частоты которых кратны значению ₁ = 2/T. Постоянная составляющая a₀/2 при этом может рассматриваться как гармоника с нулевой частотой, амплитудой |a₀|/2 и начальной фазой 0 или  (в зависимости от знака a₀). Представление (1.2) называется вещественной формой ряда Фурье. Совокупность коэффициентов |a₀|/2 и A_n (n = 1, 2, 3, …) образует амплитудный, а _n — фазовый спектры периодического сигнала s(t). Возможный их вид изображен на рис. 1.2, а, б соответственно.



Рис. 1.2

Используя в выражении (1.2) экспоненциальное представление функции cos() по формуле Эйлера, легко получить соотношение

. (1.3)

Включив в область изменения n целую отрицательную полуось и приняв, что для n  0 справедливы равенства ; и , формулу (1.3) можно записать в компактном виде

. (1.4)

Наконец, обозначив в соотношении (1.4) через и приняв , окончательно получим

. (1.5)

Представление (1.5) называется комплексной формой ряда Фурье и, по существу, является разложением вещественного периодического сигнала s(t) в ряд по экспоненциальным функциям с мнимым показателем. Целесообразность введения комплексной формы ряда Фурье обусловлена удобством выполнения математических преобразований при работе со спектрами сигналов. При этом амплитудный и фазовый спектры ( и соответственно) периодического сигнала определены на всей вещественной оси частот. Возможный вид амплитудного спектра приведен, в частности, на рис. 1.3.



Рис. 1.3

Следует отметить, что значения коэффициентов могут быть легко вычислены непосредственно по формуле

. (1.6)

Таким образом, периодический сигнал s(t), удовлетворяющий условиям Дирихле, имеет линейчатый (дискретный) спектр, расположенный в области неотрицательных частот при использовании вещественной формы ряда Фурье и определенный на всей действительной частотной оси в случае его комплексного представления.

Гармонический анализ непериодических сигналов. Известное из математики обобщение разложения периодического сигнала в ряд Фурье на случай непериодического сигнала s(t) (рис. 1.4) приводит к следующему результату:

, (1.7)




Рис. 1.4
где  — спектральная функция сигнала s(t), вычисляемая путем прямого преобразования Фурье, а именно:

. (1.8)

Соотношение (1.7) называется обратным преобразованием Фурье. Установлено, что приведенные выражения (1.7) и (1.8) справедливы, если сигнал s(t) на любом конечном интервале времени удовлетворяет условиям Дирихле и является абсолютно интегрируемым на всей временной оси, т. е.

.

Спектральная функция сигнала s(t) является в общем случае комплексной и может быть записана в экспоненциальной форме

,

где  — амплитудный, а  — фазовый спектры сигнала s(t). Из формулы (1.8) следует, что

.




Рис. 1.5
Поскольку первое и второе слагаемые в данном соотношении являются соответственно четной и нечетной функциями частоты, становится очевидным, что амплитудный спектр есть четная, а фазовый — нечетная функции частоты. Возможные структуры этих спектров представлены на рис. 1.5, а, б соответственно. С использованием указанных свойств спектральной функции выражение (1.7) может быть записано в виде

.

Последнее соотношение наглядно иллюстрирует «физический» смысл спектральной функции : из него следует, что сигнал s(t), удовлетворяющий названным условиям, может быть представлен в виде суммы бесконечно большого числа гармонических составляющих, частоты которых непрерывно заполняют интервал от 0 до , начальные фазы задаются функцией , а амплитуды являются бесконечно малыми и их частотная зависимость описывается законом .

Итак, непериодические сигналы характеризуются непрерывным (сплошным) спектром, причем амплитудный спектр является четной, а фазовый — нечетной функциями частоты.

Связь между спектрами одиночного импульса и периодической последовательности импульсов. Пусть задан одиночный импульсный сигнал s(t) (см. рис. 1.4) со спектральной функцией . Пусть имеется также периодическая последовательность импульсов , сформированная путем повторения исходного импульсного сигнала s(t) с периодом Т (см. рис. 1.1, не обращая внимания на обозначение оси ординат). Комплексный спектр периодического сигнала , согласно соотношению (1.5), характеризуется набором коэффициентов , n  , . Ответ на вопрос о связи между спектральной функцией сигнала s(t) и комплексным спектром периодической последовательности имеет важный практический смысл. Указанная связь легко устанавливается. Действительно, с учетом выражений (1.1), (1.2), (1.5) и (1.8) можно записать следующее:



Данные соотношения свидетельствуют о том, что значения комплексного спектра периодического сигнала с точностью до постоянного (размерного) коэффициента 1/Т совпадают с отсчетами спектральной функции исходного одиночного импульса s(t), взятыми на соответствующих частотах. Другими словами, огибающие амплитудного и фазового дискретных спектров периодического сигнала совпадают по форме с амплитудным и фазовым непрерывными спектрами исходного одиночного импульсного сигнала, что иллюстрируется на рис. 1.6, а, б.



Рис. 1.6

Спектры радиосигналов с амплитудной модуляцией (АМ). Пусть задан некий сигнал A(t)  0 (рис. 1.7) со спектральной функцией , модуль которой изображен на рис. 1.8.



Рис. 1.7 Рис. 1.8

Сигнал s(t) вида A(t) cos(₀t + ₀), где ₀ и ₀ — круговая частота и начальная фаза некоторого гармонического колебания, называется радиосигналом с АМ, осуществляемой по закону A(t). При этом, как правило, несущая частота ₀ радиосигнала s(t) существенно превосходит эффективную ширину спектра модулирующего сигнала A(t), называемого часто видеосигналом. Возможная структура радиосигнала s(t) изображена на рис. 1.9. Его спектральная функция легко вычисляется:

(1.9)



Рис. 1.9 Рис. 1.10

Учитывая сделанное предположение о соотношении частоты и ширины спектра видеосигнала A(t), полученное выражение удобно записать в следующей форме:



Такая запись позволяет утверждать, что при выполнении указанных условий спектральная функция радиосигнала с АМ пропорциональна спектральной функции исходного видеосигнала, смещенной вдоль частотной оси на значение несущей частоты. Амплитудный спектр радиосигнала s(t) представлен на рис. 1.10.

В случае АМ периодическим видеосигналом для нахождения спектра соответствующего радиосигнала удобно воспользоваться вещественной формой ряда Фурье. Пусть модулирующий сигнал имеет вид

.

Тогда радиосигнал s(t) может быть записан в следующей форме:



которая наглядно отражает спектральный состав АМ-радиосигнала s(t), представленный в области положительных частот. Возможные структуры амплитудных спектров видео- и радиосигналов s_п(t) и s(t) изображены на рис. 1.11, а, б соответственно.



Рис. 1.11

Как легко видеть, характер трансформации спектра при АМ периодическим видеосигналом по существу не отличается от предыдущего случая.