РТЦиС_метода к лабам. Радиотехнические цепи и сигналы лабораторный практикум
![]()
|
Содержание отчетаОтчет по работе должен включать в себя следующее:
Контрольные вопросы
![]()
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТЕЙ ВЕРОЯТНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВЦель работы — исследование одномерных функций распределения вероятностей и плотностей вероятностей значений случайных сигналов. 3.1. Теоретические сведенияСлучайные сигналы могут быть стационарными и нестационарными. Для стационарного сигнала усредненные характеристики не зависят от выбора начального отсчета времени. В данной работе рассматриваются стационарные сигналы. Основной характеристикой случайных сигналов являются функции распределения вероятностей их значений. По функциям распределения могут быть определены все другие характеристики сигнала, в том числе его среднее значение, дисперсия, корреляционная функция, вероятность попадания в заданный интервал значений. Одномерная функция распределения вероятностей F(U) случайного сигнала (t) есть вероятность того, что значение сигнала не превысит уровень U: F(U) = P( U). Основные свойства функции F(U):
Для функции распределения F(U), имеющей производную, вводят понятие плотности вероятностей ![]() Основные свойства функции p(U):
![]()
Для исследуемых в работе сигналов предполагается выполнение условия эргодичности. Из него следует, что средние параметры случайного процесса, определенные по множеству реализаций, с единичной вероятностью равны средним параметрам, определенным по одной реализации. Для таких сигналов одномерная функция распределения F(U) равна отношению времени, в течение которого значения сигналов не превышают заданный уровень U, ко всему времени T измерения сигнала (3.2) (рис. 3.1, а): ![]() Указанное свойство используется в измерительном приборе для измерения функции распределения. Структурная схема измерителя приведена на рис. 3.1, в. Опорное напряжение U и случайный сигнал (t) подаются на два входа компаратора (сравнивающего устройства). Если (t) > U, напряжение на выходе компаратора равно нулю, а при (t) U оно равно ![]() Выход компаратора соединен с интегратором, выполненным в виде RC цепи. При f RC >> 1, где f — ширина спектра случайного сигнала, напряжение на выходе компаратора равно ![]() ![]() Рис. 3.1 Напряжение с выхода интегратора подается на вход «Y» осциллографа, а опорное напряжение на вход «Х». При медленном изменении опорного напряжения U на экране осциллографа появляется изображение F(U) — функции распределения вероятностей значений исследуемого случайного сигнала (t). Метод измерения плотности вероятности основан на формуле численного дифференцирования функции ![]() ![]() Если U мало и постоянно, то p(U) пропорционально разности F(U + U) – F(U), т. е. разности напряжений на выходах двух измерителей функции распределения сигналов (t) при опорных напряжениях U + U и U соответственно на первом и втором измерителях (рис. 3.2). ![]() Рис. 3.2 В работе исследуются функции распределения и плотности вероятности для следующих случайных сигналов. Треугольный сигнал со случайной начальной фазой (рис. 3.3, а). Он имеет равномерное распределение вероятностей значений напряжения (рис. 3.3, б, в), описываемое следующими выражениями: ![]() ![]() ![]() Рис. 3.3 Шум усилителя. Он имеет гауссовскую функцию распределения (рис. 3.4, а, б). Для него ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 3.4 Напряжение (t) на выходе амплитудного детектора. На вход детектора подается сумма двух сигналов: узкополосного шума ![]() ![]() ![]() ![]() Напряжение (t) имеет функцию распределения, соответствующую обобщенному закону Рэлея (рис. 3.5, а, б): ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При ![]() ![]() Рис. 3.5 Гармонический сигнал с постоянной амплитудой и случайной фазой. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем функцию распределения напряжения случайного сигнала (t). Это стационарный сигнал, поэтому можно положить t = 0. Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Используя определение функции распределения и выражения (3.6), последнее равенство можно записать в виде ![]() для ![]() Из рис. 3.6, а видно также, что ![]() Плотность распределения вероятностей значений : ![]() Графики функций ![]() ![]() Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей функция распределения суммы независимых случайных величин с близкими значениями дисперсий стремится к гауссовскому закону распределения при увеличении числа слагаемых, независимо от вида функций распределения слагаемых. Аналитическое выражение для функции распределения суммы сигналов удобно получать через характеристическую функцию. ![]() Рис. 3.6 Характеристическая функция (x) сигнала (t) связана с плотностью распределения вероятностей p() преобразованием Фурье ![]() ![]() Для суммы случайных величин ![]() ![]() Для независимых случайных величин ![]() а потому ![]() где ![]() ![]() Последовательное использование зависимостей (3.10), (3.9) и (3.8) позволяет получить плотность распределения вероятностей суммы независимых сигналов по известным плотностям распределения отдельных слагаемых. Найдем распределение суммы двух независимых случайных сигналов с одинаковым равномерным распределением. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Характеристические функции сигналов ![]() ![]() ![]() Согласно выражению (3.10) характеристическая функция суммы сигналов ![]() Плотность распределения вероятностей суммы сигналов ![]() Зависимости ![]() ![]() Рис. 3.7 ![]() Рис. 3.8 Для сигнала ![]() ![]() ![]() ![]() Графики зависимостей p() приведены на рис. 3.8. Видно, что с увеличением числа слагаемых плотность распределения их суммы стремится к гауссовскому распределению (ср. с рис. 3.4 при ![]() |