РТЦиС_метода к лабам. Радиотехнические цепи и сигналы лабораторный практикум

• Название: Радиотехнические цепи и сигналы лабораторный практикум
• Анкор: РТЦиС_метода к лабам.doc
• Дата: 26.12.2017
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: РТЦиС_метода к лабам.doc
• Тип: Практикум; #13019
• страница: 8 из 25

4.1. Теоретические сведения

Последовательный колебательный контур (рис. 4.1, а) удобно рассматривать как четырехполюсник. На резонансной частоте он обладает низким входным сопротивлением и для обеспечения колебательного режима должен подключаться к источнику сигнала с достаточно малым выходным сопротивлением , таким, чтобы выполнялось условие , где  — волновое, или характеристическое сопротивление контура.



а б
Рис. 4.1

Пренебрегая сопротивлением нагрузки (полагая его достаточно боль­шим,  >> r), запишем дифференциальное уравнение для выходного напряжения четырехполюсника :

, (4.1)

где в качестве входного воздействия взята взвешенная функция включения (функция Хевисайда). Однородному дифференциальному уравнению

(4.2)

соответствует характеристическое уравнение



с корнями ; здесь  = r/(2L), («собственная» резонансная частота контура). Решение неоднородного дифференциального уравнения (4.1) ищут в виде суммы решения уравнения (4.2) и так называемого частного решения уравнения (4.1), которое при выбранном входном воздействии оказывается просто константой U:

.

Используя очевидные начальные условия , i(0) = 0, находят константы и и записывают решение

,

которое при нормировке к U = 1 В становится безразмерной переходной характеристикой четырехполюсника g(t). Так как импульсная характеристика h(t) = dg/dt, получают

, t  0. (4.3)

График h(t) приведен на рис. 4.1, б. В выражении (4.3) приближение сделано в предположении малых потерь, , а также введена постоянная времени последовательного колебательного контура. Здесь  — нагруженная добротность контура, определяемая соотношением

. (4.4)

Комплексный коэффициент передачи последовательного колебательного контура в так называемом приближении малых расстроек рассчитывается просто:

=



=. (4.5)

Здесь принято ,  — в приближении малых расстроек.

Комплексный коэффициент передачи может быть также получен в результате применения к импульсной характеристике h(t) прямого преобразования Фурье

. (4.6)

Нижним пределом интеграла в выражении (4.6) берут 0, так как импульсная характеристика физически реализуемого четырехполюсника существует только при t  0. С использованием введенной постоянной времени результат (4.5) записывается в виде

.

АЧХ и ФЧХ цепи определяются выражениями

, . (4.7)

Входное сопротивление последовательного колебательного контура на резонансной частоте мало и равно эквивалентному сопротивлению потерь,  = r. Поэтому последовательные контуры часто используют как режекторные фильтры для подавления сигнала на резонансной частоте.
Параллельный колебательный контур представляет собой параллельное соединение L и C элементов (рис. 4.2, а). Используют высокодобротные катушки индуктивности и конденсаторы с малыми потерями, причем потерями в конденсаторе в большинстве случаев пренебрегают и собственные потери контура представляют сопротивлением , отнесенным к индуктивности. Для удобства анализа схемы последовательное соединение и L пересчитывают в параллельное соединение эквивалентного сопротивления и L, пренебрегая квадратом сопротивления потерь по сравнению с квадратом индуктивного сопротивления, (L)² >>. На резонансной частоте параллельный контур имеет достаточно высокое эквивалентноесопротивление ,  где , как и для последовательного контура — волновое или характеристическое сопротивление, равное сопротивлению одной ветви контура на резонансной частоте, ;  — собственная (ненагруженная) добротность колебательной системы. Для сохранения в контуре колебательного режима добротность должна быть достаточно велика, следовательно, подключаемые к нему сопротивления источника сигнала (генератора) и нагрузки должны быть большими (,  ).



а б
Рис. 4.2

Для исследования временных характеристик параллельного контура источник напряжения u(t) (рис. 4.2, а) заменяют источником тока , а параллельно подключенные к контуру сопротивления и пересчитывают с учетом в эквивалентное сопротивление (рис. 4.2, б) в соответствии с равенством , где ,  — нагруженная добротность параллельного контура. Иногда используют понятие внешней добротности , которая связывает собственную и нагруженную добротности .

Импульсной реакцией или импульсной характеристикой параллельного колебательного контура принято называть напряжение при воздействии на контур дельта-импульса тока (при экспериментальном определении импульсной характеристики используют достаточно короткий импульс). Импульснаяреакция параллельного контура имеет колебательный характер и может быть записана как

. (4.8)

Здесь . Приближение (4.8) с учетом того, что (напомним, что , где  — «собственная» резонансная частота контура), принимают для высокодобротного контура. Вводят также понятие постоянной времени нагруженного параллельного контура и записывают выражение (4.8) в форме

, . (4.9)

Из выражений (4.3) и (4.9) следует, что является интервалом времени между точками, соответствующими спаду огибающей импульсной характеристики в e = 2,72… (основание натуральных логарифмов) раз.



а б
Рис. 4.3

Из выражения (4.6) следует, что при безразмерном размерностью h(t) является 1/с. При определении импульсной характеристики параллельного колебательного контура было принято воздействие в виде дельта-импульса тока, а в качестве реакции — напряжение на контуре, поэтому размерностью здесь будет Ом — размерность отношения , — а размерностьюh(t) будет Ом/с = 1/Ф, что поясняет присутствие в выражениях (4.8) и (4.9) множителя 1/С. Комплексный коэффициент передачи параллельного колебательного контура записывается как

, (4.10)

где  — абсолютная расстройка, как и для последовательного колебательного контура. Можно показать, что если  — полоса заграждения контура на уровне 0,707 от максимума АЧХ, то  — добротность контура, практически совпадающая с нагруженной добротностью контура, определенной через временные характеристики. Из выражения (4.10) определяют АЧХ и ФЧХ цепи (рис. 4.3, б)

, . (4.11)




Рис. 4.4
Снизить влияние сопротивлений и на колебательный контур можно, используя так называемое частичное включение контура: генератор и нагрузка подключаются к отводу катушки индуктивности и к части емкостной ветви (рис. 4.4) контура. Используют коэффициенты включения

, .

При подключении источника напряжения u(t) к части индуктивной ветви контура он может быть заменен генератором тока , под­клю­чен­ным к контуру вида рис. 4.2, б. В этом случае комплексная частотная характеристика приобретает вид

,

где  — эквивалентная нагруженная добротность,  — эквивалентное сопротивление контура с учетом собственных и внешних потерь,  — собственные потери контура (от коэффициентов включения не зависят), ,  — пересчитанные с учетом частичного включения сопротивления генератора и нагрузки. Подбором коэффициентов включения удается обеспечить требуемую полосу пропускания контура и расчетное эквивалентное сопротивление. Это особенно важно при использовании параллельного контура в качестве нагрузки в резонансных усилителях и генераторах.