Виленкин Рассказы о множествах. Рассказы о множествах 3е издание
 Скачать 9.06 Mb.
|
|
Всегда ли площадь линии равна нулю? Конечно, после того, как читатель познакомился с линиями, про- ходящими через все точки квадрата, он может ожидать чего угодно. Но все же, может ли линия иметь площадь? Ведь еще Евклид гово- рил, что линия — это длина без ширины. А там, где нет ширины, откуда же взяться площади? Да и в определении канторовой линии сказано, что она не содержит ни одного целого куска плоскости. От- куда же в этом случае взяться площади? Но не торопитесь давать безапелляционный ответ. Прежде чем исследовать вопрос, надо договориться о точном смысле употребляемых слов. Что значат слова «линия имеет ну- левую площадь» или «линия имеет ненулевую площадь»? Возьмем Рис. 60 самую обычную линию — прямо- линейный отрезок. Так как его ши- рина равна нулю, то отрезок мож- но поместить внутрь прямоуголь- ника сколь угодно малой площа- ди, нужно лишь выбрать ширину этого прямоугольника достаточно малой. Точно так же и окруж- ность можно поместить внутрь многоугольника со сколь угодно малой площадью. Для этого до- статочно вписать в нее правиль- ный многоугольник с очень боль- шим числом сторон и описать аналогичный многоугольник. Об- ласть, заключенная между эти- ми двумя многоугольниками, бу- дет иметь малую площадь (тем меньшую, чем больше сторон у на- ших многоугольников), а окружность целиком лежит в этой области (рис. 60). Теперь уже ясно, что означают слова «линия имеет нулевую пло- щадь». Они значат, что, какое бы маленькое положительное число ε Всегда ли площадь линии равна нулю? 131 мы ни взяли, найдется многоугольная область, содержащая линию и такая, что площадь области меньше чем ε. А если хоть для одного положительного ε такой области не удастся найти, тогда площадь линии не равна нулю. Чтобы это определение стало яснее, применим его не к таким простым линиям, как отрезок или окружность, а к более сложным. Одной из таких линий является, конечно, ковер Серпинского. Най- дем, чему равна его площадь. Для этого вспомним, что площадь всего квадрата была равна 1. На первом шаге мы выбросили цен- тральный квадрат, имевший площадь 1 9 . В результате получилась многоугольная область с площадью 8 9 . На втором шаге мы выбро- сили 8 квадратиков, каждый из которых имел площадь 1 81 . После этого осталась многоугольная область с площадью 8 9 − 8 81 = 64 81 = 8 9 2 Теперь уже ясно, что после третьего шага останется многоугольная область с площадью 8 9 3 , потом — с площадью 8 9 4 и т. д. Но ес- ли взять любую правильную дробь и возводить ее во все большую и большую степень, то в пределе получим нуль: если 0 < q < 1, то lim n→∞ q n = 0. В частности, lim n→∞ 8 9 n = 0. Но, по определению предела, это озна- чает, что для любого ε > 0 найдется такое n, для которого 8 9 n < ε. Следовательно, после n шагов у нас получится многоугольная об- ласть, площадь которой меньше чем ε. А эта область целиком на- крывает ковер Серпинского. Выходит, площадь ковра Серпинского равна нулю. Казалось бы, полный триумф определения Евклида. Даже у та- кой сложной линии, как ковер Серпинского, площадь равна нулю. Но праздновать победу преждевременно. Ведь никто не заставлял нас выбрасывать такие большие куски. Поступим более экономно и разделим квадрат не на 9, а на 25 равных частей (то есть каждую сторону разделим на 5 частей). Выбросим центральный квадратик, площадь которого равна, очевидно, 1 25 . Теперь читателю, вероят- но, хочется разделить каждый из оставшихся 24 квадратиков на 25 132 Глава III. Удивительные функции и линии частей и выбросить центральную часть. Но это было бы опять неэко- номно. Вместо этого возьмем отрезки, ограничивающие выброшен- ный квадратик, и продолжим их до пересечения со сторонами боль- шого квадрата. У нас получатся 4 квадрата (по углам) и 4 прямо- угольника. В каждом квадрате и каждом прямоугольнике проведем кресты с шириной перекладин 1 25 и выбросим центральные части крестов (рис. 61). Так как площадь каждой центральной части рав- на 1 625 , то площадь всех квадратиков, выброшенных на втором шаге, равна 8 625 . На третьем шаге точно так же выбрасываем 64 квад- ратика с общей площадью 64 25 3 = 64 15625 и т. д. Теперь уже площади Рис. 61 выбрасываемых квадратиков обра- зуют геометрическую прогрессию 1 25 + 8 25 2 + 64 25 3 + . . . со знаменателем 8 25 . Сумма этой прогрессии равна лишь 1 17 . Но что же это означает? А это озна- чает, что на каждом шаге на до- лю остатка приходится площадь не меньше чем 16 17 . И никакой мно- гоугольной областью, площадь ко- торой меньше 16 17 , покрыть остаток не удастся. А ведь этот остаток, как и ковер Серпинского, является кривой (в смысле Кантора) — при его построении мы дырявили каждый прямоугольник и ни од- ного целого прямоугольника не оставили. Выходит, таким образом, что кривая в смысле Кантора может иметь ненулевую площадь! Области без площади Все же разобранный пример еще не слишком убедителен: полу- ченная линия сплошь состоит из точек самопересечения и не огра- ничивает никакой области. Поэтому возникает вопрос, а может ли «хорошая» кривая, не имеющая точек самопересечения, то есть Области без площади 133 замкнутая жорданова кривая без самопересечений, иметь ненуле- вую площадь? Оказывается, может! Чтобы построить такую кривую, изменим немного проводивше- еся построение. Сначала построим множество, в котором не только что целого куска плоскости, а и целого куска линии не найдешь, но площадь которого не равна нулю. Для этого надо выбрасывать не только центральные квадратики, а целые кресты, так, как изоб- ражено на рис. 62. При этом размеры крестов подберем так, чтобы площадь первого выброшенного креста была равна 8 25 , всех крестов, выброшенных на втором шаге, — 64 625 = 8 25 2 , на третьем — 8 25 3 и т. д. Тогда общая площадь выброшенных крестов будет равна сум- ме геометрической прогрессии 8 25 + 8 25 2 + 8 25 3 + . . . , то есть 8 17 . А это меньше половины площади всего квадрата. Зна- чит, на долю остатка приходится еще 9 17 площади всего квадрата. Рис. 62 Но при построении остатка мы выбрасывали целые кресты, без- жалостно кромсая квадрат. Ника- кие две точки этого остатка нель- зя соединить линией, даже лини- ей в смысле Кантора; всякая связь между его точками отсутствует. Как говорят математики, остаток является вполне несвязным мно- жеством. А площадь этого мно- жества, не содержащего ни целого куска плоскости, ни дуги кривой, отлична от нуля; никакой много- угольной областью, площадь ко- торой меньше 9 17 , это множество не накроешь. Теперь уже легко построить пример несамопересекающейся зам- кнутой кривой, имеющей ненулевую площадь. Для этого нужно со- единить полученные точки точно так же, как мы проводили кри- вую через все точки квадрата. Из-за того, что на каждом шаге мы 134 Глава III. Удивительные функции и линии выбрасывали целые кресты, получающаяся линия не имеет самопе- ресечений (этим она и отличается от кривой Пеано). Но так как она проходит через все точки множества, площадь которого по крайней мере равна 9 17 , то и площадь полученной линии по крайней мере равна 9 17 Теперь уже ничего не стоит построить область, не имеющую пло- щади. Для этого надо соединить точки A и B полученной кривой какой угодно линией, например полуокружностью. Тогда получен- ная линия Г ограничивает какую-то область G. Чему же равна ее площадь? Ответ получится разный в зависимости от того, присо- единим мы к этой области ее границу или нет — ведь сама граница имеет площадь, по крайней мере равную 9 17 . Ясно, что обычной пло- щади наша область не имеет. Такие области, не имеющие обычной площади, в математике называют неквадрируемыми. Неожиданные примеры Вероятно, после появления кривой Пеано математики были уве- рены, что знают уже все «чудовища» из мира необычайных функ- ций и линий. Однако и потом их еще не раз подводила геометриче- ская интуиция. Насколько отличаются свойства канторовых линий от свойств обычных линий, лучше всего говорит следующая история. Рис. 63 В начале XX века известный мате- матик Шёнфлис опубликовал серию работ, в которых говорилось о различ- ных свойствах кривых, границ обла- стей и т. д. При этом Шёнфлис часто опирался на «геометрическую очевид- ность». Но через несколько лет, в 1910 году, появилась короткая (всего 12 страниц) статья молодого голландско- го математика Брауэра. Она содержа- ла несколько удивительных примеров, из которых следовало, что одни ре- зультаты Шёнфлиса просто неверны, а другие, хотя и верны, но нестрого доказаны. Поистине плохую шут- ку сыграла с Шёнфлисом «геометрическая очевидность»! Области и границы 135 Чтобы показать, какие «очевидные» утверждения оказались неверными, приведем некоторые примеры Брауэра (при этом мы используем полученные позднее упрощения). Брауэр построил ограниченную область, граница которой (в обычном понимании этого слова) не являлась континуумом. Для этого он взял бутылку и начал вытягивать ее горлышко, наматывая его на окружность (рис. 63). В результате получилась область, огра- ниченная двумя спиралями и бутылкой. Но эта граница не является континуумом; чтобы получить континуум, надо к нашим спиралям прибавить окружность, на которую они наматываются. Если же добавить к границе окружность, то получится новое осложнение: точки границы нельзя будет соединить с точками об- ласти линиями конечной длины. Области и границы Раз мы уже заговорили об областях и границах, уточним соответ- ствующие понятия. Ведь поскольку жорданово определение линии оказалось не слишком удачным, то и определение области надо дать заново. Назовем открытым множеством на плоскости любое мно- жество, являющееся суммой кругов с отброшенными границами. В частности, дополнение до любого плоского континуума являет- ся открытым плоским множеством. Все обычные плоские области (внутренность крута, квадрата, треугольника и т. д.) являются от- крытыми множествами (на плоскости). Кроме того, они связны: любые две их точки можно соединить ломаной линией, не выходя из этой области. Эти свойства и определяют плоскую область. Плоской областью называют связное множество точек плоско- сти, являющееся суммой кругов с отброшенными границами. При этом число кругов может быть произвольным. Однако мож- но доказать, что любую область можно составить из счетного мно- жества кругов. Круг с отброшенной границей называют окрестностью его цен- тра a. Разумеется, каждая точка имеет бесконечно много окрестно- стей. Точку a на плоскости называют граничной для области G, ес- ли в любой окрестности точки a есть как точки из области G, так и точки, ей не принадлежащие (рис. 64). 136 Глава III. Удивительные функции и линии Совершенно так же определяют открытые множества, области и граничные точки областей в пространстве. Разница заключается Рис. 64 лишь в том, что вместо кругов с от- брошенной границей берут шары с от- брошенной граничной сферой. Наряду с понятием окрестности точки (на плоскости или в простран- стве) нам понадобится еще понятие относительной окрестности точки, принадлежащей некоторому множе- ству A. Так называют множество точек окрестности, принадлежащих множеству A, то есть пересечение обычной окрестности этой точки с са- мим множеством A. Например, ес- ли A линия, изображенная на рис. 65, а G — окрестность точки a, то относительной окрестностью этой точ- ки является кусок линии от точки b до точки c. Если множество A Рис. 65 Рис. 66 состоит из нескольких точек, то у каждой его точки есть относитель- ная окрестность, состоящая только из этой точки. Чтобы получить ее, надо взять обычную окрестность точки, не содержащую осталь- ных точек множества (рис. 66). Большие ирригационные работы Теперь мы расскажем о втором, еще более удивительном приме- ре Брауэра. Нарисуем карту какой-нибудь страны и сопредельных Большие ирригационные работы 137 с ней стран. Почти каждая точка границы этой страны принадле- жит двум и только двум странам: данной и одной из сопредельных. Поэтому в каждой точке границы стоят два пограничника — один из этой страны, а другой — из сопредельной. Есть на карте несколь- ко точек, где сходятся три страны (рис. 67). В таких точках стоят уже три пограничника. Но таких мест на карте — лишь конечное число. И кажется совершенно очевидным, что такие точки не могут заполнить всю границу страны, то есть что не может быть трех об- ластей (трех стран), имеющих одну и ту же общую границу. Иными словами, кажется очевидным, что три пограничника из трех разных стран не могут стоять в каждой точке границы. Рис. 67 Рис. 68 А Брауэр построил такие три области. Чтобы понять этот при- мер, представим себе, что в океане есть остров, на котором находятся два озера с пресной водой. Только в одном озере вода холодная, а в другом теплая. Теперь проведем следующие ирригационные ра- боты. В течение первых суток проведем каналы от океана и от обоих озер так, чтобы каждый из этих каналов был слепым (то есть только заливом соответствующего водоема), чтобы эти каналы нигде не со- прикасались друг с другом и чтобы в результате расстояние каждой точки суши до океанских вод, а также до вод обоих озер было мень- ше 1 километра (рис. 68). В следующую половину суток продолжим эти каналы так, что они по-прежнему остаются слепыми и не соприкасаются между со- бой, а расстояние от каждой точки суши до любого из трех каналов становится меньше чем 1 2 километра. При этом, конечно, каналы должны стать более узкими, чем ранее. В следующую четверть су- ток каналы продолжаются дальше так, чтобы каждая точка суши отстояла от любого канала меньше чем на 1 4 километра и т. д. С каж- дым шагом каналы становятся все извилистее и извилистее, все уже 138 Глава III. Удивительные функции и линии и уже. Через двое суток такой работы весь остров будет прони- зан этими тремя каналами и превратится в канторову линию. Стоя в любой точке этой линии, можно зачерпнуть, по желанию, соленой, теплой пресной или холодной пресной воды. При этом воды не сме- шиваются друг с другом. Если бы вместо океана и озер мы взяли три страны, то получили бы ту удивительную картину, о которой говорили вначале, в каждой точке границы можно поставить трех пограничников по одному от каждой страны. «Недиссертабельная» тема Мы уже говорили, что у канторова определения был один недо- статок: оно совсем не годилось для пространственных кривых. А уж что такое поверхность в пространстве — никто не знал. Эту зада- чу — выяснить, что такое пространственная кривая и поверхность в пространстве, — поставил летом 1921 года перед своим двадцати- трехлетним учеником Павлом Самуиловичем Урысоном маститый профессор Московского университета Дмитрий Федорович Егоров (как видно, он больше думал о математической значительности про- блемы, чем, как теперь иногда говорят, о диссертабельности темы: задача-то была одной из труднейших!). Вскоре Урысон понял, что задача Егорова лишь частный случай гораздо более общей проблемы: что такое размерность геометриче- ской фигуры, то есть сколько измерений она имеет, почему надо говорить, что отрезок или окружность имеют размерность 1, квад- рат — размерность 2, а куб или шар — размерность 3? Вот как вспоминал об этом периоде жизни П. С. Урысона его ближайший друг, в те годы такой же молодой аспирант, а впоследствии ака- демик, почетный президент Московского математического общества Павел Сергеевич Александров: «...Все лето 1921 года прошло в напряженных попытках най- ти настоящее определение (размерности), причем П. С. [Урысон] переходил от одного варианта к другому, постоянно строя приме- ры, показывавшие, почему тот или иной вариант надо отбросить. Это были два месяца действительно всепоглощающих размыш- лений. Наконец, в одно утро в конце августа П. С. проснулся с готовым, окончательным и всем теперь хорошо известным ин- дуктивным определением размерности... В то же утро во время купания в Клязьме П. С. рассказал мне свое определение раз- мерности и тут же, во время этого разговора, затянувшегося Индуктивное определение размерности 139 на несколько часов, набросал план всего построения теории размер- ности с целым рядом теорем, бывших тогда гипотезами, за которые неизвестно было, как и взяться, и которые затем доказывались одна за другой в течение последующих месяцев. Никогда потом я не был участником или свидетелем математического разго- вора, который состоял бы из такого сплошного потока новых Рис. 69 мыслей, как в то августовское утро. Вся набросанная тогда про- грамма полностью осуществилась в течение зимы 1921/22 года; к весне 1922 года вся теория раз- мерности была готова...». Основная идея определения размерности по Урысону заключа- ется в следующем. Чтобы отделить часть линии от всей остальной линии, обычно достаточно двух или нескольких точек (на рис. 69 часть четырехлепестковой розы, содержащая центр, отделяется от остальной розы восемью точ- ками). Но часть поверхности уже невозможно отделить от всей поверхности несколькими точками — для этого обязательно потребуется целая линия, — сколько бы точек ни взять на поверхности, их всегда можно обойти. Точно так же часть трехмерного пространства отделяется от всего остального пространства поверхностью. Все это надо было еще уточнить: на некоторых линиях для отделения части требуется бесконечно много точек, но эти точки не образуют в совокупности никакой линии. Урысону удалось точно сформулировать все нужные определения. В каком-то смысле его определения напоминали определения Евклида (оконечность ли- нии — точки, оконечность поверхности — линии). Но это сходство примерно такое же, как между греческой триерой и современным океанским лайнером. Индуктивное определение размерности Расскажем теперь точнее, как же определяется размерность геометрической фигуры по Урысону. Сначала выясним, что такое 140 Глава III. Удивительные функции и линии множество размерности нуль. Типичным нульмерным множеством является множество, состоящее из одной точки или, в крайнем слу- чае, из конечного числа точек. Но у каждой точки такого множества есть относительная окрестность с пустой границей — сама эта точка (см. рис. 66). Именно это свойство и принял Урысон за определение множества размерности нуль. Точнее говоря, это определение звучит следующим образом. Множество F имеет размерность нуль, если любая его точка имеет сколь угодно малую относительную окрестность с пустой границей. В большинстве случаев удается установить, что множество имеет размерность нуль, построив для каждой точки сколь угодно малую обычную окрестность, граница которой не содержит ни одной точ- ки множества F (в этом случае граница относительной окрестности наверняка пуста). Но есть нульмерные множества, лежащие в трех- мерном пространстве, для точек которых такие обычные окрестно- сти построить нельзя. Слова «сколь угодно малую» добавлены в это определение по сле- дующей причине. Если бы их не было, то, например, для любо- го квадрата мы могли бы взять настолько большой круг, что весь квадрат очутился бы внутри этого круга и ни одна точка квадрата не попала бы на границу круга. И, не будь в определении этих слов, получилось бы, что размерность квадрата равна нулю, а не двум, как должно быть на самом деле. Не только конечные, но и многие бесконечные множества име- ют нулевую размерность. Возьмем, например, множество, состоя- щее из точек на оси, имеющих координаты 0, 1, 1 2 , 1 3 , . . . , 1 n , . . . Ясно, что у любой точки этого множества есть сколь угодно малая окрестность, граница которой не содержит точек этого множества. Единственное сомнение может вызвать точка 0. Но если взять ее окрестность с радиусом α, где α — иррациональное число, то ни од- на из точек множества не попадет на границу этой окрестности. Нульмерно и множество Q точек на прямой с рациональными ко- ординатами. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять в качестве окрестности точки α на Q промежуток с центром в этой точке, длина которого иррациональна. Нульмерным является и канторово множество (см. с. 107), и множество, полученное из квадрата выбра- сыванием крестов (см. с. 132), и многие другие множества. Работу надо не рецензировать, а печатать! 141 Можно строить аналогичным образом и нульмерные множества не только на плоскости, но и в пространстве (при этом, конечно, окрестность точки понимается как окрестность в пространстве). Определив множества размерности нуль, Урысон перешел к од- номерным множествам, то есть линиям. Здесь уже нет маленьких окрестностей с пустой границей (см. рис. 69). Однако для обыч- ных линий граница окрестности пересекается с самой линией лишь в нескольких точках. А множество, состоящее из конечного числа точек, имеет размерность нуль. Обобщая это замечание, Урысон сле- дующим образом определил множества размерности единица. Множество F имеет размерность единица, если оно не явля- ется нульмерным, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна. Оказалось, что не только все обычные линии (окружности, отрез- ки прямых, эллипсы и т. д.) имеют размерность единица по Урысону, но и все канторовы линии имеют ту же размерность. Поэтому можно было определить понятие не только плоской, но и пространственной линии: Линией называется континуум размерности единица. А теперь было уже ясно, как определять поверхности, трехмер- ные тела и вообще множества любой размерности. Поскольку Уры- сон дает сначала определение размерности 0, затем с помощью этого определения — определение размерности 1, затем точно так же — определение размерности 2 и т. д., введенное Урысоном общее опре- деление размерности называют индуктивным. Работу надо не рецензировать, а печатать! Урысон доказал много интереснейших теорем, связанных с вве- денным им понятием размерности. Но одной самой главной теоре- мы ему никак не удавалось доказать: не получалось доказательство того, что самый обычный куб имеет размерность 3. После длитель- ных усилий он нашел замечательный выход из положения, придумав новое определение размерности. Мы не будем детально излагать это определение, а поясним его на простейших фигурах. Если взять отрезок или окружность, то их можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая точка принадлежит не более чем двум кусочкам (рис. 70). При этом надо брать кусочки вместе с их границами (то есть конечными точками). Квадрат уже 142 Глава III. Удивительные функции и линии так разбить нельзя. На первый взгляд кажется, что при разбиении квадрата на куски всегда будут точки, принадлежащие четырем Рис. 70 частям (рис. 71 а). Но если уложить ча- сти так, как кладут кирпичи на стройке, то удается добиться, чтобы каждая точка принадлежала не более чем трем различ- ным частям (рис. 71 б ). Точно так же у куба есть разбиение на маленькие па- раллелепипеды, при котором каждая точ- ка принадлежит не более чем четырем параллелепипедам. Именно это свойство и принял Урысон за новое определение размерности. Фигу- ра называется имеющей размерность n, если ее можно разбить на сколь угодно малые замкнутые части так, чтобы ни одна точка не принадлежала n + 2 различным частям, но при любом достаточно мелком раз- биении найдутся точки, принадлежащие n + 1 различным частям. Используя это определение размерности, Урысон доказал, что раз- мерность квадрата равна 2, куба — 3 и т. д. А потом он показал, что это определение равносильно первоначально данному. а) б ) Рис. 71 Построенная Урысоном теория размерности произвела глубокое впечатление на весь математический мир. Об этом ярко говорит следующий эпизод. Во время заграничной командировки Урысон сделал доклад о своих результатах в Гёттингене. До прихода наци- стов к власти Гёттингенский университет был одним из основных Работу надо не рецензировать, а печатать! 143 математических центров. После доклада руководитель гёттинген- ской математической школы знаменитый Давид Гильберт сказал, что эти результаты надо опубликовать в журнале «Mathematische Annalen» — одном из главных математических журналов того вре- мени. Через несколько месяцев Урысон снова делал доклад в Гёт- тингене, и Гильберт спросил у редактора «Mathematische Annalen» Рихарда Куранта, напечатана ли уже работа Урысона. Тот отве- тил, что работа рецензируется. «Но я же ясно сказал, что ее надо не рецензировать, а печатать!» — воскликнул Гильберт. После столь недвусмысленного заявления статья была немедленно напечатана. В течение трех лет продолжалась не имеющая равных по глу- бине и напряженности научная деятельность Урысона (за это время он опубликовал несколько десятков научных работ). Трагический случай оборвал его жизнь — он утонул 17 августа 1924 года, купа- ясь во время шторма в Бискайском заливе. За день до смерти он закончил очередную научную работу. После смерти П. С. Урысона остались многочисленные чернови- ки и наброски неопубликованных результатов. Его ближайший друг (и соавтор по многим работам) Павел Сергеевич Александров, отло- жив на некоторое время свои исследования, подготовил эти работы к печати, сделав тем самым и эти результаты Урысона достояни- ем всех математиков. В настоящее время теория размерности стала важной главой математики. Заключение Бесконечные множества обладают необычными свойствами. По мере изучения этих свойств математикам пришлось все более и более оттачивать свои рассуждения, все более подробно анализи- ровать свои доказательства, и в ходе этого процесса возникла новая важная отрасль математики — математическая логика. Долгое вре- мя считали, что теория множеств и математическая логика — это абстрактные науки, не имеющие никаких практических приложе- ний. Но когда были созданы электронные вычислительные машины, то оказалось, что вопросы программирования на этих машинах тесно связаны с методами математической логики, и многие иссле- дования, казавшиеся оторванными от жизни, приобрели важнейшее практическое значение (так часто бывает в истории науки — еще в начале тридцатых годов нашего века в иных книгах можно было прочесть: «Уран практического значения не имеет»). В настоящее время теория множеств является одной из основ таких областей математики, как функциональный анализ, тополо- гия, общая алгебра и т. д. Ведутся глубокие исследования и в самой теории множеств. Эти исследования связаны с самыми основами математики. В их ходе выяснилось, что тот «наивный» подход к по- нятию множества, о котором говорилось в этой книге, далеко не все- гда достаточен, что весьма плодотворным является аксиоматический подход к теории множеств. Но все эти исследования далеко выходят за рамки намеченного нами плана книги. Примеры и упражнения 1. Множество A состоит из целых чисел, делящихся на 4, множе- ство B — из целых чисел, делящихся на 10, и множество C из целых чисел, делящихся на 75. Из каких чисел состоит множество ABC? 2. В библиотеке есть книги по разным отделам науки и искус- ства. Обозначим множество всех книг в библиотеке через A, а мно- жество всех математических книг (не только в данной библиотеке) — через B. Охарактеризуйте множество A — B. 3. Пользуясь правилами алгебры множеств, упростите выра- жение (A + B + C)(A + B) − [A + (B − C)]A. 4. Множество A состоит из точек M (x; y) плоскости, для кото- рых |x| 4, |y| 4, множество B — из точек плоскости, для которых x 2 + y 2 25, и множество C — из точек плоскости, для которых x > 0. Изобразите множество AB − C. 5. Докажите равенства а) (A − B) − C = (A − C) − (B − C); б) (A − B) + (B − C) + (C − A) + ABC = A + B + C. 6. Докажите включения а) AC + BD ⊂ (A + B)(C + D); б) (B − C) − (B − A) ⊂ A − C; в) A − C ⊂ (A − B) + (B − C). |