Виленкин Рассказы о множествах. Рассказы о множествах 3е издание
 Скачать 9.06 Mb.
|
|
Возникает вопрос: все ли точки отрезка защищены получившейся пилообразной линией или остались точки, которые дождь намочит? Некоторые из таких «мокрых» точек указать легко — ими являют- ся концы защищаемых отрезков (то есть такие точки, как 1 3 , 2 3 , 1 9 , 2 9 , 7 9 , 8 9 и т. д.). Все эти точки остаются без защиты при возведении соответствующей палатки, а последующие палатки их тоже не защи- щают. Легко видеть, что таких концов будет бесконечное, но лишь счетное множество. Но оказывается, что кроме этого счетного множества «мокрых» точек найдется еще целый континуум таких точек. Чтобы описать их, удобно прибегнуть к троичной системе счисления. Как извест- но, эта система строится так же, как и десятичная, только единица высшего разряда равна не десяти, а лишь трем единицам низшего 106 Глава III. Удивительные функции и линии разряда. Поэтому в троичной системе счисления для записи чисел вместо десяти цифр применяются лишь три цифры: 0, 1 и 2. Легко научиться переводить числа из троичной системы счис- ления в десятичную. Например, число, записываемое в троичной системе так: 0,02020202. . . , в десятичной системе счисления изобра- жается бесконечной геометрической прогрессией 2 3 2 + 2 3 4 + 2 3 6 + . . . Сумма этой прогрессии равна 1 4 . Поэтому 1 4 = 0,020202. . . Теперь мы уже можем точно сказать, какие точки останутся мок- рыми после того, как все защитные палатки будут построены. Пер- вая палатка защищает точки, лежащие между 1 3 и 2 3 . Но это те самые точки, которые в троичной системе имеют запись вида 0,1. . . , где точками обозначена любая последовательность цифр 0, 1 и 2 (точно так же, как в десятичной системе счисления между точками 1 10 и 2 10 лежат все точки, десятичная запись которых начинается с цифры 1, то есть имеет вид 0,1. . . ). После первого шага мокрыми останутся точки, троичная запись которых имеет вид 0,0. . . или вид 0,2. . . Точно так же доказывается, что после возведения двух пала- ток на втором шаге мокрыми остаются лишь точки, троичная за- пись которых начинается с одной из следующих четырех комбина- ций: 0,00. . . , 0,02. . . , 0,20. . . , 0,22. . . . Итак, шаг за шагом защищаются от дождя точки, в троичную запись которых входят единицы. В кон- це концов останутся мокрыми лишь точки, которые можно записать в троичной системе счисления, не используя 1. Например, останется мокрой точка 1 4 = 0,020202. . . , точка 3 4 = 0,20202. . . и т. д. Чертова лестница 107 А теперь уже ясно, почему множество «мокрых» точек име- ет мощность континуума. Ведь это множество можно поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством бесконечных телеграмм (см. с. 78). Для этого нужно лишь каждой точке вида 0,20220200. . . поставить в соответствие бесконечную телеграмму, заменив 0 на точ- ку, а 2 на тире. При этом разным числам будут соответствовать разные телеграммы. Мы знаем, что множество бесконечных теле- грамм имеет мощность континуума. Поэтому и множество мокрых точек имеет ту же мощность. Множество точек, которые мы назвали мокрыми, впервые по- строил Кантор, и его называют канторовым множеством. Из по- строения палаток видно, что около каждой точки канторова множе- ства есть бесконечно много максимумов и минимумов пилообразной линии. Чертова лестница С тем же самым канторовым множеством связана еще одна инте- ресная функция. Она строится следующим образом. Снова разделим отрезок [0; 1] на три равные части и положим, что во всех точках средней части наша функция равна 1 2 . Потом левую и правую тре- ти снова разделим на три равные части и положим, что от 1 9 до 2 9 функция равна 1 4 , а от 7 9 до 8 9 она равна 3 4 Теперь у нас остались четыре отрезка, на которых функция еще не определена: 0; 1 9 , 2 9 ; 1 3 , 2 3 ; 7 9 , 8 9 ; 1 . Разделим каждый из них на три равные части и на каждой из средних частей положим функцию равной соответственно 1 8 , 3 8 , 5 8 , 7 8 Продолжая этот процесс, мы получим функцию, которая опре- делена во всех «сухих» точках, то есть во всех точках, не принадле- жащих канторову множеству. Ее легко определить и в точках этого множества так, чтобы она стала после этого непрерывной и неубы- вающей. График получившейся функции приближенно изображен на рис. 38. Он имеет вид лестницы с бесконечным числом ступенек (на графике изображены не все ступени). 108 Глава III. Удивительные функции и линии Рис. 38 Впрочем, после того как мы познакомились с линиями, имею- щими бесконечно много максимумов и минимумов, лестницей с бес- конечным числом ступенек вряд ли кого удивишь. Но удивительно другое. Подсчитаем общую длину всех ступенек нашей лестницы. Первая ступень имеет длину 1 3 , две вторые — по 1 9 , следующие четы- ре ступени — по 1 27 и т. д. Таким образом, сумма длин всех ступеней выражается бесконечной геометрической прогрессией 1 3 + 2 9 + 4 27 + . . . Сумма этой прогрессии равна 1 3 1 − 2 3 = 1. Таким образом, общая длина всех ступеней равна 1. Но на этих ступеньках функция совсем не поднимается вверх, весь ее подъем Колючая линия 109 сосредоточен в точках канторова множества. А на долю этого мно- жества осталось очень «мало» точек — хотя его мощность и равна континууму, но длина равна нулю! Ведь длина всего отрезка [0; 1] равна 1, и общая длина ступенек тоже равна 1, так что на долю канторова множества остается лишь нулевая длина. Таким образом, наша функция умудряется подняться вверх на 1, хотя растет только на множестве нулевой длины и не делает нигде скачков! Не прав- да ли, удивительно? Колючая линия На протяжении многих столетий математики имели дело лишь с линиями, почти в каждой точке которых можно было провести ка- сательную. Если и встречались исключения, то только в нескольких точках. В этих точках линия как бы ломалась, и потому их называли точками излома. Линия, изображенная на рис. 39 а, имеет две точки излома, а линия, изображенная на рис. 39 б, — десять точек излома. Рис. 39 Но линии, которые мы только что построили, имеют уже беско- нечно много точек излома: линия на рис. 35 — счетное множество таких точек, а линия на рис. 37 — целый континуум точек излома. Она ломается во всех точках канторова множества, а кроме того, в вершинах всех треугольников. Однако даже линия на рис. 37 име- ет изломы на сравнительно «маленьком» множестве точек, длина которого равна нулю. В течение долгого времени никто из математиков не верил, что может существовать непрерывная линия, целиком состоящая из зуб- цов, изломов и колючек. Велико было изумление математиков, когда 110 Глава III. Удивительные функции и линии удалось построить такую линию, более того, функцию, график кото- рой был такой колючей изгородью. Первым сделал это чешский уче- ный Больцано. Но его работа осталась неопубликованной, и впервые такой пример опубликовал немецкий математик К. Вейерштрасс. Однако пример Вейерштрасса очень трудно изложить — он основан на теории тригонометрических рядов. Пример же Больцано совсем простой и очень напоминает линии, которые мы строили раньше. Мы расскажем сейчас пример Больцано с небольшими изменени- ями. Разделим отрезок [0; 1] на четыре равные части и над двумя средними частями построим равнобедренный прямоугольный тре- угольник (рис. 40 а). Получившаяся линия является графиком неко- торой функции, которую обозначим через y = f 1 (x). Рис. 40 Разделим теперь каждую из четырех частей еще на четыре рав- ные части и в соответствии с этим построим еще четыре равнобедрен- ных прямоугольных треугольника (рис. 40 б ). Мы получим график второй функции y = f 2 (x). Если сложить эти две функции, то график суммы y = f 1 (x) + f 2 (x) будет иметь вид, изображенный на рис. 40 в. Видно, что получившаяся линия имеет уже больше изломов и эти изломы гуще расположены. На следующем шаге мы снова разделим каждую часть еще на четыре части, построим 16 равнобедренных прямоугольных треугольников и прибавим соответствующую функ- цию y = f 3 (x) к функции y = f 1 (x) + f 2 (x). Продолжая этот процесс, мы будем получать все более и более изломанные линии. В пределе получится линия, у которой излом в каждой точке, и ни в одной точке к ней нельзя провести каса- тельную. Колючая линия 111 Похожий пример линии, нигде не имеющей касательной, постро- ил голландский ученый Ван-дер-Варден. Он взял равносторонний треугольник, разделил каждую его сторону на три равные части и на средних частях построил новые равносторонние треугольни- ки, смотрящие наружу. У него получилась шестиугольная звезда (рис. 41 а). Теперь каждую из двенадцати сторон этой звезды он разделил еще на три части и снова на каждой из средних частей построил правильный треугольник. Получилась еще более колючая линия, изображенная на рис. 41 б. После бесконечного числа делений Рис. 41 и построений правильных треугольников получилась линия, в каж- дой точке которой есть излом, колючка 1 Математики построили много непрерывных функций, графики которых не имели касательной ни в одной точке, и начали изучать их свойства. Эти свойства совсем не походили на свойства «добро- порядочных» гладких функций, с которыми они до тех пор имели дело. Поэтому математики, воспитанные в классических традициях, с изумлением смотрели на новые функции. Более того, виднейший представитель классического математического анализа Шарль Эр- мит так писал своему другу, голландскому математику Стильтьесу: «Я с ужасом отворачиваюсь от этой достойной сожаления язвы непрерывных функций, не имеющих производной ни в одной точке» (то есть, как мы их называли, всюду колючих линий). Известный французский ученый А. Пуанкаре писал: 1 Сейчас такую «колючую звезду» называют «снежинкой фон Коха». — Прим. ред. 112 Глава III. Удивительные функции и линии «Некогда при нахождении новых функций имелась в виду какая- нибудь практическая цель. Теперь функции изобретаются специаль- но для того, чтобы обнаружить недостаточность рассуждений наших отцов; никакого иного вывода, кроме этого, из них нельзя извлечь». Но дальнейшее развитие науки показало, что Пуанкаре был неправ. В физике встречаются линии, очень напоминающие всю- ду колючие линии Ван-дер-Вардена и других. Это — траектории Рис. 42 частиц, совершающих под удара- ми молекул броуновское дви- жение. Французский ученый Ф. Перрен сделал зарисовки дви- жения таких частиц. Он на- блюдал их положения через каждые полминуты и соединял полученные точки прямолиней- ными отрезками. В результате у него получились запутанные ломаные, вроде изображенных на рис. 42. Но не следует думать, что в действительности между отдельными наблюдениями ча- стица двигалась по прямой. Если бы Перрен наблюдал ее не через полминуты, а через полсекун- ды, то каждый прямолинейный отрезок пришлось бы заменить ломаной, столь же сложной, как и ломаные на рис. 42. И чем меньше были бы промежутки между наблюдениями, тем сложнее и «колючее» становилась бы ломаная. Американский математик Н. Винер показал, что движение броуновской частицы, настолько малой, что ее инерцией можно пренебречь, совершается по линии, нигде не имеющей касательной. Замкнутая линия бесконечной длины С линиями бесконечной длины мы встречаемся часто — беско- нечную длину имеет прямая линия, парабола, гипербола и т. д. Все эти линии уходят в бесконечность, а потому и неудивительно, что их длина бесконечна. Впрочем, нетрудно построить и линию, целиком Замкнутая линия бесконечной длины 113 лежащую в конечной части плоскости, но имеющую бесконечную длину. Для этого надо взять окружность и намотать на нее спираль с бесконечным числом оборотов вблизи окружности (рис. 43). Так как число оборотов бесконечно, а длина каждого витка больше дли- ны окружности, то длина всей спирали бесконечна. Но может ли существовать замкнутая линия бесконечной дли- ны? Обычные замкнутые линии: окружность, эллипс, кардиоида (рис. 44) — имеют конечную длину. Но длина колючей линии Ван- дер-Вардена бесконечна. Рис. 43 Рис. 44 В самом деле, периметр исходного треугольника был равен 3. После первого шага получилась звезда, периметр которой, как лег- ко подсчитать, равен 4. А на следующем шаге получилась линия, состоящая из 64 отрезков длины 1 9 . Значит, ее периметр равен 64 9 Потом получается линия длины 256 27 и т. д. Вообще, после n-го шага получается линия с периметром 3 · 4 3 n . Но при возрастании n это выражение стремится к бесконечности. Таким образом, длина линии Ван-дер-Вардена бесконечна. Существуют и другие линии бесконечной длины. Например, построим линию так. Разделим отрезок [0; 1] пополам и на левой половине построим равнобедренный треугольник высоты 1. Потом разделим пополам отрезок 1 2 ; 1 и на его левой половине 1 2 ; 3 4 построим равнобедренный треугольник высоты 1 2 . Следующий рав- нобедренный треугольник строится на отрезке 3 4 ; 7 8 и тоже имеет 114 Глава III. Удивительные функции и линии высоту 1 2 ; следующие четыре треугольника возьмем с высотой 1 4 и т. д. (рис. 45). У нас снова получается понижающаяся горная цепь, как и на с. 103. Но теперь она понижается очень медленно. Ясно, что длины Рис. 45 боковых сторон первого треугольни- ка больше 1, второго и третьего — больше 1 2 , четвертого, пятого, шесто- го, седьмого — больше 1 4 и т. д. (дли- на боковой стороны всегда больше высоты). Поэтому длина всей лома- ной не меньше, чем сумма бесконеч- ного ряда 2 + 2 2 + 2 2 + 2 4 + 2 4 + 2 4 + 2 4 + . . . Но сумма чисел в каждой скобке рав- на 2, а число скобок бесконечно. По- этому сумма ряда равна бесконечности. Значит, и длина нашей линии бесконечна. Математический ковер Рассказывают, что однажды Екатерина Вторая спросила како- го-то генерала, в чем разница между мортирой и гаубицей. Рас- терявшийся генерал ответил: «А видишь ли, государыня-матушка, мортира-то она особь статья, а гаубица — особь статья». Пример- но столь же содержательный ответ можно получить, если спросить далекого от математики человека, в чем разница между линией, по- верхностью и телом. Более того, он удивится, как можно спрашивать о столь очевидных вещах. Ведь всякому ясно, что линия, поверх- ность и тело — совсем разные вещи, и никто не назовет окружность поверхностью или сферу линией. Но еще один остроумный шахматный гроссмейстер сказал, что разница между мастером и начинающим шахматистом состоит в том, что начинающему все ясно в позиции, где для мастера все полно тайны. Так же обстоит дело и с нашим вопросом. Конечно, относительно таких геометрических фигур, как квадрат или окруж- ность, ни у кого не возникает сомнений, линии они или поверхности. Математический ковер 115 Но в ходе развития науки после открытий Кантора появилось много самых причудливых геометрических фигур, относительно которых не только школьник, но и умудренный знаниями профессор ма- тематики не сразу ответит, что это такое — линия, поверхность или тело. Вот некоторые из этих фигур. Возьмем отрезок [0; 1], разделим его пополам и восставим в середине отрезка перпендикуляр длины 1 2 Рис. 46 Теперь каждую из поло- вин разделим снова пополам и в каждой новой точке деле- ния проведем перпендикуляр, но теперь уже длины 1 4 Дальше снова разделим по- лучившиеся отрезки пополам и проведем в точках деления перпендикуляры длины 1 8 . По- сле пятого шага получим фигуру, изображенную на рис. 46. Но мы не ограничимся пятью шагами, а повторим нашу операцию беско- нечно много раз. В результате получится некоторая геометрическая фигура. Так вот, чем же она является, линией или поверхностью? Ведь мы провели бесконечно много перпендикуляров. Не сольют- ся ли они и не заполнят ли маленький кусок поверхности около отрезка [0; 1]? Ответ на этот вопрос не слишком легок. А вот другой пример. Возьмем квадрат со стороной 1, разделим его на 9 равных частей и выкинем среднюю часть (оставив сто- роны выбрасываемого квадратика). После этого разделим каждый из оставшихся квадратов снова на девять равных квадратиков еще меньшего размера и снова выкинем центральные квадратики. Еще один шаг приведет к фигуре, изображенной на рис. 47 (здесь за- штрихованы выброшенные квадратики). Ясно, что фигура на рис. 47 является еще поверхностью. Но мы не остановимся на третьем шаге и будем бесконечно много раз делить квадратики на девять равных частей, после чего выбрасывать среднюю часть. В конце концов у нас получится некоторая геометрическая фигура, которую называют ковром Серпинского по имени придумавшего ее польского ученого. Эта фигура похожа на ткань, сотканную сумасшедшим ткачом. Вдоль и поперек идут нити основы и утка, сплетаясь в очень сим- метричные и красивые узоры. Но сама получившаяся ткань весьма 116 Глава III. Удивительные функции и линии Рис. 47 Рис. 48 Евклид отказывает в помощи 117 дырява — ни одного целого куска в ней нет, каждый самый малень- кий квадратик подвергался вырезанию центральной части. И совсем неясно, чем является этот ковер — линией или поверхностью? Ведь, с одной стороны, он не содержит ни одной целой части, а потому вряд ли является поверхностью, а с другой — образующие его ни- ти сплелись в настолько сложный узор, что вряд ли кто-нибудь без колебаний назовет ковер Серпинского линией. Во всяком случае, на- рисовать эту «линию» было бы невозможно. А ковер Серпинского — не самая сложная из геометрических фигур. Вместо квадрата мы могли бы взять куб, разделить его на 27 равных кубиков и выбросить центральный кубик вместе с шестью прилегающими к нему кубиками. После этого разделим каждый оставшийся кубик еще на 27 частей и продолжим операцию вы- брасывания (на рис. 48 изображено тело, остающееся после двух выбрасываний). Проделаем эту операцию бесконечно много раз. Чем является оставшаяся после всех выбрасываний геометрическая фигура — линией, поверхностью или телом? Евклид отказывает в помощи Когда перед математиками прежних времен вставал сложный геометрический вопрос, они в первую очередь отправлялись смот- реть, что написано об этом у Евклида. Ведь на протяжении почти двух тысячелетий Евклид был эталоном математической строгости и энциклопедией геометрической мудрости. Не зря даже философы, стремясь обезопасить себя от упреков в нестрогости рассуждений, прибегали к языку Евклида и формулировали свои утверждения как аксиомы, леммы и теоремы. Но как раз по интересующему нас вопросу у Евклида написано нечто совсем невнятное. Первые строки книги Евклида «Начала» гласят следующее. 1. Точка есть то, что не имеет частей. 2. Линия же длина без ширины. 3. Оконечность же линии — точка. 4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. 5. Оконечность же поверхности — линия. 6. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо. 7. Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или ка- ких-нибудь границ. 118 Глава III. Удивительные функции и линии Нет, как хотите, а это — что угодно, но не строгие математические определения. Человек, не знающий, что такое точка, линия, поверх- ность, вряд ли почерпнет полезные для себя сведения из этих «опре- делений», напоминающих ответ растерявшегося генерала («Линия — это особь статья, а поверхность — особь статья»). И уж во всяком случае из этих определений не удастся узнать, что такое ковер Сер- пинского — линия или поверхность, есть ли у него только длина без ширины или и длина, и ширина. Но во времена Евклида таких сложных фигур, как ковер Серпин- ского, не знали, а для простых фигур определения были не слишком нужны: всякий и так мог увидеть, где на чертеже линия, а где — поверхность. Впрочем, и сам Евклид, по-видимому, чувствовал, что с определениями основных понятий у него не все ладно. Во вся- ком случае, приведя эти определения в начале книги, он потом начисто о них забыл и ни разу на протяжении всего труда ими не воспользовался. |