Виленкин Рассказы о множествах. Рассказы о множествах 3е издание
 Скачать 9.06 Mb.
|
|
Существует ли множество самой большой мощности? Пока что самой большой мощностью, которую мы знаем, явля- ется мощность множества точек на прямой, то есть мощность кон- тинуума. Ни множество точек квадрата, ни множество точек куба не имеют большей мощности. Не является ли мощность континуу- ма самой большой? Оказывается, что нет. Более того, вообще нет множества самой большой мощности. Для любого множества A есть множество, мощность которого больше мощности A. Этим множе- ством является, например, множество B всех функций, заданных на множестве A и принимающих значения 0 и 1. Покажем сначала, что мощность множества B не меньше, чем мощность множества A. Для этого каждой точке а множества A Существует ли множество самой большой мощности? 87 поставим в соответствие функцию f a (x), принимающую в этой точке значение 1, а в остальных точках значение 0. Ясно, что разным точ- кам соответствуют разные функции. Например, если множество A состоит из трех точек 1, 2, 3, то точке 1 соответствует функция, принимающая в этой точке значение 1, а точке 2 — функция, при- нимающая в точке 1 значение 0. Эти функции не равны друг другу. Итак, мощность множества B не меньше мощности множества A. Покажем теперь, что эти мощности не равны друг другу, то есть, что нет взаимно однозначного соответствия между элементами мно- жеств A и B. В самом деле, предположим, что такое соответствие существует. Обозначим тогда функцию, соответствующую элементу a из A, через f a (x). Напомним, что все функции f a (x) принимают только два значения 0 и 1. Составим новую функцию ϕ(x), заданную равенством ϕ(x) = 1 − f x (x). Таким образом, чтобы найти значение функции ϕ(x) в некоторой точке a из A, надо найти сначала соответствующую этой точке функ- цию f a (x) и вычесть из 1 значение этой функции при x = a. Ясно, что функция ϕ(x) также задана на множестве A и принимает зна- чения 0 и 1. Следовательно, ϕ(x) является элементом множества B. Но тогда, по предположению, ϕ(x) соответствует некоторой точке b из A, а значит, ϕ(x) = f b (x). Учитывая первое равенство для ϕ(x), получаем, что для всех x из A 1 − f x (x) = f b (x). Положим в этом равенстве x = b. Мы найдем тогда, что 1 − f b (b) = f b (b) и потому f b (b) = 1 2 Но это противоречит тому, что значения функции f b (x) равны 0 и 1. Полученное противоречие показывает, что взаимно однозначного со- ответствия между множествами A и B быть не может. Итак, для любого множества A можно построить множество B большей мощности. Поэтому множества самой большой мощности не существует. Заметим, что множество B можно построить и иначе. Именно, B можно рассматривать как множество всех подмножеств множе- ства A. В самом деле, пусть C — некоторое подмножество в A. Возьмем функцию f (x), принимающую значение 1, если x ∈ C, 88 Глава II. В мире чудес бесконечного и значение 0, если x ∈ C. Ясно, что разным подмножествам соот- ветствуют различные функции. Наоборот, каждой функции f (x), принимающей два значения 0 и 1, соответствует подмножество в A, состоящее из элементов x, в которых функция принимает значение 1. Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между множеством функций, заданных на множестве A и принимающих значения 0 и 1, и множеством всех подмножеств в A. Арифметика бесконечного Мы познакомились с мощностями различных множеств. Как уже говорилось, понятие мощности является обобщением понятия чис- ла элементов конечного множества. Но над натуральными числами можно производить арифметические операции — их можно склады- вать, вычитать, умножать и т. д. Эти операции отражают некоторые операции над множествами. Например, сложение натуральных чи- сел соответствует сложению двух непересекающихся конечных мно- жеств. Если в одном множестве m элементов, а в другом n элементов, то в их сумме будет m + n элементов. Аналогично определяются операции над мощностями. Мы бу- дем при этом обозначать мощности особыми знаками, Например, мощность счетного множества обозначают ℵ 0 (ℵ — первая буква древнееврейского алфавита, называемая алеф). Мощность континуу- ма обозначают c (це готическое), мощность множества всех функций, заданных на действительной оси, — через f и т. д. Мощности можно складывать точно так же, как складывают на- туральные числа. Именно, если мощность множества A равна m, а мощность множества B равна n, причем A и B не пересекаются, то через m + n обозначают мощность множества A + B. Из свойств сложения множеств следует, что m + n = n + m, m + (n + p) = (m + n) + p. Однако многие правила сложения бесконечных мощностей непохо- жи на обычные правила арифметики. Но это и не удивительно, ведь свойства бесконечных множеств, как мы уже знаем, совсем непохожи на свойства конечных множеств. Например, в арифметике бесконеч- ного имеют место равенства: 1) n + ℵ 0 = ℵ 0 , 3) ℵ 0 + c = c, 5) c + f = f. 2) ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 , 4) c + c = c, Арифметика бесконечного 89 Первое из них означает, что сумма конечного и счетного мно- жеств является счетным множеством, второе — что сумма двух счет- ных множеств есть счетное множество, третье — что прибавление счетного множества к множеству мощности континуума дает мно- жество мощности континуума. Читатель легко истолкует остальные равенства. Теперь посмотрим, как умножают друг на друга бесконечные мощности. Для этого надо сначала понять, с какой операцией над множествами связано умножение натуральных чисел. Пусть A — конечное множество, состоящее из n элементов, а B — конечное множество, состоящее из m элементов. Образуем новое множе- ство A × B, элементами которого являются всевозможные пары (a; b), где a ∈ A и b ∈ B. Если обозначить элементы первого мно- жества через a 1 , . . . , a m , а второго — через b 1 , . . . , b n , то эти пары можно расположить в виде следующей таблицы: (a 1 ; b 1 ) . . . (a 1 ; b n ) (a m ; b 1 ) . . . (a m ; b n ) Отсюда ясно, что число таких пар равно mn, то есть произведению Рис. 32 чисел m и n. Перенесем эту операцию на бесконечные множе- ства. Пусть A и B — бесконечные множества. Назовем их прямым произведением множество A × B, элемен- тами которого являются всевозможные пары (a; b), где a ∈ A, b ∈ B. Например, если A — множество точек отрезка [0; 1], а B — множество точек отрезка [1; 3], то множество A × B можно изобразить точками пря- моугольника, показанного на рис. 32. В самом деле, каждой точке этого прямоугольника соответствуют ее две проекции на оси. Если мощность множества A равна m, а мощность множества B равна n, то через mn мы обозначим мощность множества A × B. Име- ют место следующие законы умножения мощностей: mn = nm, (mn)p = m(np), m (n + p) = mn + mp. Далее, справедливы равенства ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 , ℵ 0 c = c, cc = c. 90 Глава II. В мире чудес бесконечного Первое из этих равенств означает, что если A и B — счетные множе- ства, то и множество всех пар (a; b), a ∈ A, b ∈ B, счетно. Это другая формулировка утверждения, что сумма счетного множества счетных множеств является счетным множеством. А равенство cc = c означа- ет, что число точек на отрезке и в квадрате — одно и то же. Ведь c — это число точек на отрезке, а cc — число точек в прямом произведе- нии отрезка на себя, то есть число точек в квадрате. Возведение в бесконечную степень Поскольку мы уже умеем умножать мощности друг на друга, то любую мощность можно возвести в любую степень с натуральным показателем. А теперь выясним, как возводить мощности в степе- ни с бесконечным показателем, то есть выясним, что означает за- пись n m . Для этого снова надо вернуться к конечным множествам и дать описание множества, число элементов которого равно n m Это делается следующим образом. Пусть множество A содер- жит m элементов, а множество B содержит n элементов. Обозна- чим B A множество, элементами которого являются всевозможные функции, заданные на множестве A и принимающие значения в мно- жестве B. Иными словами, каждый элемент множества B A указы- вает закон, по которому элементам a из A сопоставляются элементы b = f (a) из B. Пусть, например, множество A состоит из трех чи- сел: 1, 2, 3, а множество B — из двух элементов: точки и тире. Тогда элементы множества B A состоят из «функций» вида f (1) = ·, f (2) = ·, f (3) = —, или f (1) = —, f (2) = ·, f (3) = ·. Эти «функции» можно просто задавать последовательностями точек и тире, состоя- щими из трех знаков. Легко видеть, что число таких последователь- ностей равно 8, то есть 2 3 . Именно, имеем такие последовательности: 1) · · · ; 2) · · — ; 3) · — · ; 4) · — — ; 5) — · · ; 6) — · — ; 7) — — · ; 8) — — — . Мы получили 8 = 2 3 последовательностей. Это не случайно. Если множество A состоит из m элементов, а множество B — из n эле- ментов, то B A состоит из n m элементов. Предоставляем читателю самому доказать это утверждение. А теперь мы уже можем объяснить, что значит символ n m , если m и n — бесконечные мощности. Именно, возьмем множество A мощно- сти m и множество B мощности n и обозначим через B A множество По порядку номеров... 91 всех «функций», заданных на A и принимающих значения в B. Его мощность и есть n m Выше мы показали, что для любого множества A мощность мно- жества функций, заданных на A и принимающих два значения 0 и 1, больше, чем мощность самого множества A. Это значит, что для любой мощности m выполняется неравенство 2 m > m. Отметим еще, что c = 2 ℵ 0 . В самом деле, мы видели выше, что множество всех бесконечных телеграмм имеет мощность континуума. Но каждая бесконечная телеграмма есть не что иное, как функция, заданная на множестве натуральных чисел и принимающая лишь два значе- ния: точка и тире. Поэтому множество всех бесконечных телеграмм имеет мощность 2 ℵ 0 . Тем самым наше равенство доказано. По порядку номеров... Мощности множеств (или, как их еще называют, кардинальные числа) выполняют лишь половину работы натуральных чисел. Ведь натуральные числа применяются не только для того, чтобы отве- тить на вопрос «сколько?», но и для того, чтобы ответить на вопрос «какой по порядку?». Иными словами, мы говорим не только «два», «пять», «двадцать», но и «второй», «пятый», «двадцатый». А мощно- сти ничего не говорят о том, в каком порядке идут элементы. И хотя множество натуральных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество всех целых чисел, упорядочены они совсем по-разно- му. У множества натуральных чисел есть самый первый элемент, а у множества всех целых чисел первого элемента нет. Поэтому, чтобы изучить порядок расположения элементов в мно- жестве, кардинальных чисел (мощностей) недостаточно, нужны но- вые понятия. Сначала введем понятие упорядоченного множества. Говорят, что множество A упорядочено, если для любой пары его элементов определено понятие неравенства a < b, обладающее следу- ющими свойствами: 1) если a < b, то a = b; 2) если a < b и b < c, то a < c. Легко упорядочить множества всех действительных чисел, всех рациональных чисел, всех натуральных чисел и т. д. В множество всех комплексных чисел тоже можно ввести порядок. Именно, мы скажем, что a + bi < c + di, если либо a < c, либо a = c, но b < d. Например, 2 + 15i < 3 + 10i, 2 + 4i < 2 + 5i. Аналогичным образом 92 Глава II. В мире чудес бесконечного можно упорядочить множество всех многочленов. Разумеется, одно и то же множество можно упорядочить различными способами. Например, рассмотрим множество всех различных слов, входя- щих в эту книгу. Это множество можно, например, упорядочить так: взять книгу и, читая ее подряд, выписывать все встречающиеся в ней слова в том порядке, как они встречаются. В этом случае закон упорядочивания можно сформулировать так: слово A предшествует слову B, если при чтении книги подряд слово A встречается ранее слова B. Можно, однако, поступить и другим образом: считать, что сло- во A предшествует слову B, если слово A в алфавитном порядке предшествует слову B. Ясно, что эти два упорядочивания одного и того же множества окажутся различными. Говорят, что два упорядоченных множества A и B имеют один и тот же порядковый тип, если между ними можно установить вза- имно однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов. Иными словами, если a 1 ↔ b 1 и a 2 ↔ b 2 , то из a 1 < a 2 следует, что b 1 < b 2 . Например, любые два отрезка имеют один и тот же поряд- ковый тип. Отображение, показанное на рис. 28, сохраняет порядок точек. Сохраняет порядок и отображение всей прямой на промежу- ток (отрезок с отброшенными концами), изображенное на рис. 29. А вот отрезок и прямая имеют разные порядковые типы. Хотя меж- ду ними и можно установить взаимно однозначное соответствие, это соответствие обязательно нарушит порядок — ведь у отрезка есть начальная и конечная точки, а у всей прямой их нет. Вполне упорядоченные множества Даже счетное множество может быть упорядочено самыми раз- личными способами. Ведь счетными являются и множество всех на- туральных чисел, и множество всех целых чисел, и множество всех рациональных чисел. А упорядочены эти множества совсем по-раз- ному. В множестве натуральных чисел есть самый первый элемент (число 1), а ни во множестве всех целых чисел, ни во множестве всех рациональных чисел первого элемента нет. С другой стороны, во множествах натуральных и целых чисел можно указать пары элементов, между которыми нет других элементов этих множеств (например, числа 5 и 6), а во множестве всех рациональных чисел между любыми двумя элементами лежит бесконечно много других элементов того же множества. Вполне упорядоченные множества 93 Чтобы хоть как-нибудь разобраться в этом разнообразии упоря- дочений, Г. Кантор выделил особый класс упорядоченных множеств, некоторые свойства которых весьма напоминали свойства множества натуральных чисел. Если во множестве натуральных чисел выбрать любое непустое подмножество, то среди его элементов обязательно окажется самый меньший, самый левый. Множества, обладающие таким свойством, Г. Кантор назвал вполне упорядоченными. Ины- ми словами, упорядоченное множество A называют вполне упорядо- ченным, если любое его непустое подмножество имеет первый эле- мент. Как мы уже говорили, самым простым вполне упорядоченным множеством является множество натуральных чисел. Его можно изобразить точками 1, 2, 3, . . . на луче (0; ∞). Но отображение прямой на промежуток, изображенное на рис. 29, сохраняет поря- док точек. При этом луч (0; ∞) переходит в промежуток (0; 1). Поэтому вместо точек 1, 2, 3, . . . можно брать точки на промежутке (0; 1). Мы получим бесконечное множество точек a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . , приближающихся к точке 1 (см. рис. 33 а). а) б ) Рис. 33 Рассмотрим теперь точку 1. Эту точку уже невозможно зануме- ровать обычными числами — мы истратили их на нумерацию точек a 1 , . . . , a n , . . . Чтобы занумеровать и эту точку, нам понадобится новое число, не являющееся натуральным. Так как точка 1 лежит за всеми точками a 1 , . . . , a n , . . . , которые уже занумерованы с помо- щью обычных чисел, то это новое число назовем «трансфинитным» (от латинских слов trans — через, finitus — конечный). Принято обозначать трансфинитное число, сразу идущее за всеми натураль- ными числами 1, 2, 3, . . . , через ω. Поэтому точку 1 обозначим a ω Множество A всех точек a 1 , . . . , a n , . . . , a ω также является вполне упорядоченным (подумайте, почему!). 94 Глава II. В мире чудес бесконечного А теперь возьмем и сдвинем получившееся множество A вперед на 1. При этом точка a 1 перейдет в точку a 1 = a 1 + 1, точка a 2 — в точку a 2 = a 1 + 1 и т. д. В результате получится множество B, состоящее из точек a 1 , . . . , a n , . . . , a ω . Нетрудно проверить, что мно- жество A + B вполне упорядочено. Постараемся занумеровать его элементы. Точки множества A мы уже умеем нумеровать. А точка a 1 идет сразу после точки a ω (см. рис. 33 б ). Поэтому ее естествен- но занумеровать трансфинитным числом ω + 1, то есть положить a 1 = a ω+1 . Точно так же следующую точку, то есть a 2 , естественно за- нумеровать трансфинитным числом ω + 2 и т. д. А точку a ω , которая идет за всеми точками a ω+1 , . . . , a ω+n , . . . , занумеруем трансфинит- ным числом 2ω: a ω = a 2ω Читатель, вероятно, уже догадался, что мы теперь сдвинем точ- ки множества A на 2 вправо и получим новые точки, которые на- до нумеровать трансфинитными числами 2ω + 1, . . . , 2ω + n, . . . , 3ω. Продолжая таким же путем, мы получим вполне упорядоченное мно- жество, состоящее из точек, нумеруемых трансфинитными числами вида kω + n, где k и n — натуральные числа. Но на этом построение трансфинитных чисел не заканчивается. Ведь у нас снова получилось множество, расположенное на всем луче (0; ∞). При этом на каждом отрезке [n; n + 1] этого луча есть беско- нечно много точек нашего множества. Отобразим снова луч (0; ∞) на промежуток (0; 1). Мы получим множество точек, приближаю- щихся к точке 1. Чтобы теперь занумеровать точку 1, понадобится новое трансфинитное число, которое обозначают через ω 2 . А даль- ше строят трансфинитные числа ω 2 + 1, . . . , ω 3 , . . . , ω n , . . . и даже ω ω Есть и такое трансфинитное число: ω ω ω ω · · · но мы не будем подробнее останавливаться на этих вопросах. Непонятная аксиома Мы уже говорили, что некоторые множества можно упорядочи- вать различными способами. А можно ли вообще упорядочить любое множество, и если можно, то всегда ли удается из данного множества получить вполне упорядоченное? Над этой задачей работали многие математики — ведь из положительного решения следовало бы, что Непонятная аксиома 95 любое множество можно перенумеровать с помощью трансфинитных чисел. Неожиданно простое и короткое решение опубликовал в 1904 го- ду Цермело: ему удалось доказать, что всякое множество можно вполне упорядочить (Г. Кантор предугадал этот ответ еще в 1883 го- ду). Однако доказательство Цермело понравилось далеко не всем математикам. Дело в том, что это доказательство опиралось на од- но утверждение, которое ему самому, да и другим математикам, казалось далеко не очевидным. Это утверждение, названное впослед- ствии аксиомой выбора или аксиомой Цермело, заключается в сле- дующем. Представьте себе, что перед вами лежат несколько кучек яблок. Ясно, что можно выбрать по одному яблоку из каждой кучки и сло- жить их в новую кучку. Казалось бы, то же самое можно сделать и в случае, когда каждая кучка содержит бесконечно много яблок, а самих кучек тоже бесконечно много. В этом и состоит аксиома выбора: Если дано бесконечное множество бесконечных множеств, то из каждого множества можно выбрать по одному элементу, не указывая заранее закона выбора. Вот в этих-то последних словах все дело — аксиома выбора при- водит к совершенно неконструктивным доказательствам: удается, например, доказать, что не может быть, чтобы множество нельзя было упорядочить, но никакого конкретного способа упорядочения из этого доказательства не извлекается. Долгие годы математики пользовались аксиомой выбора, считая ее совершенно очевидной. Но когда над ней стали глубже задумываться, она стала казаться все более и более загадочной. Многие из теорем, доказанных с помощью аксиомы выбора, совершенно противоречили наглядности. Поэтому один из видных математиков Бертран Рассел так высказался об этой аксиоме: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься в нее, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же перестаешь понимать, что же она означает». Тем не менее большинство математиков спокойно пользуется в своих исследованиях аксиомой выбора. В последнее время удалось доказать, что с аксиомой выбора дело обстоит так же, как и с континуум-гипотезой, то есть что эта аксиома не противоречит остальным аксиомам теории множеств и не выво- дима из них. 96 Глава II. В мире чудес бесконечного Из одного яблока — два Расскажем об одном из самых удивительных следствий аксиомы выбора. Вам, вероятно, приходилось наблюдать, как работает на эст- раде ловкий фокусник. Вот он показал зрителям пустой мешочек, потом опустил туда шарик, а вынул . . . два; опустив два шарика, он вынимает четыре, опустив четыре, вынимает восемь. Конечно, все понимают, что здесь нет никаких чудес, а только, как говорится, «ловкость рук». Но в теории множеств такие чудеса бывают. Возьмем самое обычное яблоко и разрежем его любым образом на четыре части. Кажется ясным, что если взять только две из этих частей, то из них нельзя составить целое яблоко (точно так же, как, съев половину апельсина, нельзя составить из оставшихся долек це- лый апельсин). Ловкость рук... Однако математикам удалось так разбить шар на четыре равные части, что из двух частей можно составить целый шар того же ра- диуса, ничего к ним не прибавив, а только двигая их, как твердые тела. Из двух других частей можно составить второй точно такой же шар. Таким образом, из одного шара получилось два равных ему шара. Жаль, что эта проблема решена только теоретически, иначе из одного яблока можно было бы сделать два таких же яблока, потом Конечные разбиения 97 четыре, потом восемь и т. д. Конечно, практическое решение задачи и невозможно — оно противоречило бы закону сохранения материи. Такое разбиение шара на четыре части и основано как раз на ак- сиоме выбора. О других, также весьма странных следствиях этой аксиомы мы не будем сейчас говорить. Конечные разбиения Читатель, вероятно, помнит из курса геометрии, что такое рав- носоставленные фигуры. Две фигуры X и Y называют равносостав- ленными, если их можно разбить на фигуры X 1 , . . . , X m и Y 1 , . . . , Y m соответственно — так, что фигуры X 1 и Y 1 одинаковы, фигуры X 2 и Y 2 одинаковы, . . . , фигуры X m и Y m одинаковы. Например, ясно, что квадрат со стороной a и равнобедренный прямоугольный тре- угольник с основанием 2a равносоставлены (рис. 34). Рис. 34 Но с точки зрения теории множеств это определение не столь уж ясно. Ведь при разрезании фигуры мы как бы удваиваем точ- ки, лежащие на линии разреза: из каждой такой точки получаются две точки — по одной в каждой части. И на самом деле, разбиение квадрата ABCD и треугольника EF G на рис. 34 не годится в смыс- ле теории множеств: после разрезания треугольника и складывания из полученных частей квадрата точки катетов EF и F G сливаются и дают одну диагональ AC квадрата, зато точки высоты F H «раз- дваиваются» и дают стороны квадрата AB и CD. Поэтому в теории множеств равносоставленность фигур надо определять по-другому. Назовем фигуры X и Y равносоставлен- ными, если их можно разбить на конечное множество попарно непересекающихся частей X = X 1 ∪ X 2 ∪ . . . ∪ X m , Y = Y 1 ∪ Y 2 ∪ . . . ∪ Y m 98 Глава II. В мире чудес бесконечного так, что X 1 и Y 1 одинаковы, X 2 и Y 2 одинаковы, . . . , X m и Y m оди- наковы. Оказывается, что и с этой точки зрения квадрат ABCD равносо- ставлен с треугольником EF G. Однако теперь доказать это утвер- ждение гораздо труднее. Читатель, желающий познакомиться с этим доказательством, может найти его в книге В. Серпинского «О теории множеств», изд-во «Просвещение», 1966, с. 49–52. Польские математики С. Банах и А. Тарский доказали, что необ- ходимым и достаточным условием того, чтобы два плоских много- угольника были равносоставлены в смысле теории множеств, явля- ется равенство их площадей. Казалось бы естественным ожидать, что для многогранников таким условием является равенство их объе- мов. Однако это совсем не так. С помощью теоремы выбора С. Банах и А. Тарский доказали, что любые два (ограниченных) многогранни- ка равносоставлены в смысле теории множеств, даже если их объемы различны. Более того, они доказали, что шар равносоставлен в этом смысле с кубом и вообще любые два ограниченных тела равносо- ставлены. Разумеется, как и в случае разбиения шара, о котором мы говорили выше, равносоставленность шара и куба доказывается лишь с помощью операции произвольного выбора. Указать конкрет- ный способ разбиения здесь невозможно. В предлагаемом же разби- ении получаются очень уж «чудные» части: у них нет объемов, они, как говорят математики, неизмеримы. Глава III. Удивительные функции и линии, или прогулки по математической кунсткамере Как развивалось понятие функции Большинство математических понятий прошло долгий путь раз- вития. Первоначально они возникали как обобщение каких-то на- глядных представлений, повседневного опыта. Постепенно из этих наглядных представлений путем отбрасывания частного и случай- ного выкристаллизовывались точные математические определения. Но часто оказывалось, что эти определения охватывают не толь- ко те объекты, изучение которых привело к формулировке данного определения, но и многие объекты, о которых раньше и не думали. Начиналось изучение этих новых объектов, переход к абстракции более высокого уровня, а потом на этой базе — расширение первона- чально введенных определений. При этом в математические понятия вкладывался все более и более широкий смысл, они охватывали все более и более широкий круг объектов, получали все более разнооб- разные приложения. Какой большой путь прошло, например, понятие числа от до- исторических времен, когда умели считать лишь «один, два, много», до наших дней! Натуральные числа, дроби, отрицательные числа, комплексные числа, кватернионы, гиперкомплексные числа... И надо сказать, что не всегда новое обобщение того или иного понятия с вос- торгом встречалось всеми математиками. Например, долгое время не только комплексные, но даже отрицательные числа не признава- лись многими учеными за настоящие. Сложный путь прошло и понятие функции. Идея зависимости некоторых величин восходит, по-видимому, к древнегреческой науке. Но там величины имели лишь геометрическую природу. Даже Нью- тон, один из основателей математического анализа, при рассмот- рении зависимых величин использовал геометрический язык. Хотя фактически понятием функции пользовались уже Ферма и Декарт, 100 Глава III. Удивительные функции и линии сам термин «функция» возник лишь в 1694 году в работах немецкого ученого Лейбница, делящего с Ньютоном заслугу создания мате- матического анализа. Однако у Лейбница понятие функции имело очень узкий смысл и касалось только некоторых отрезков, зави- сящих от положения точки на кривой: ординаты, подкасательной и поднормали, радиуса кривизны и т. д. Таким образом, и Лейб- ниц оставался в круге геометрических представлений. Только ученик Лейбница И. Бернулли дал в 1718 году определение функции, сво- бодное от геометрических образов: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Следующий шаг в развитии понятия функции связан с именем гениального ученика И. Бернулли петербургского академика Лео- нарда Эйлера. В своем «Дифференциальном исчислении» он опреде- ляет функцию так: «Величины, зависящие от других так, что с из- менением вторых меняются и первые, принято называть их функ- циями». Однако понятие функции у Эйлера и математиков его времени было связано с возможностью выразить функцию формулой. С точ- ки зрения математиков XVIII века запись x, если x < 0, x 2 , если x 0 определяла не одну, а две функции. Вскоре выяснилось, что дело обстоит значительно сложнее. Ре- шая задачу о колебании струны, Д. Бернулли получил ответ в виде так называемого тригонометрического ряда. Мы не будем сейчас го- ворить, что это такое, а скажем лишь, что форма струны задавалась единой формулой (хотя и содержавшей бесконечно много членов). Ту же самую задачу о колебаниях струны решил французский ученый Даламбер. Решение Даламбера имело совсем иной вид, чем у Бернулли, и могло задаваться различными формулами для разных значений аргумента. Перед математикой XVIII века возникло казавшееся неразреши- мым противоречие: для одной и той же задачи получилось два от- вета, причем один выражался для всех значений аргумента одной и той же формулой, а другой — несколькими формулами. Из-за это- го решение Д. Бернулли было подвергнуто сомнению: думали, что он нашел не все решения задачи, а лишь решения, выражающиеся Как развивалось понятие функции 101 одной формулой. Возник ожесточенный спор, в котором приняли участие все крупнейшие математики XVIII века — Эйлер, Далам- бер и др. По сути дела, спор шел о понятии функции, о связи между функциональной зависимостью и возможностью выразить эту зави- симость формулой. Окончательное решение вопроса было получено в начале XIX века, когда французский ученый Ж. Фурье показал, что сумма бесконечного ряда, состоящего из тригонометрических функций, может на различных участках выражаться различными формулами. После этого он дал новое определение функции, под- черкнув в нем, что главным является задание значений функции, а совершается ли это задание некоторой единой формулой или нет, несущественно. Результаты Фурье были уточнены немецким математиком Ди- рихле, который показал, что графиком суммы тригонометрического ряда может быть любая, произвольно проведенная линия. Требу- ется лишь, чтобы число максимумов и минимумов на этой линии было конечным, и линия не поднималась бесконечно высоко. Ди- рихле же уточнил определение функции, данное Фурье, и придал ему тот вид, которым пользуются и сейчас (близкое определение несколько ранее Дирихле дали Лакруа, Лобачевский и некоторые другие математики). Определение Дирихле: «Переменная величи- на y называется функцией переменной величины x, если каждому значению величины x соответствует единственное определенное зна- чение величины y». В дальнейшем к словам «каждому значению величины x» доба- вили слова «принадлежащему некоторому множеству» (ведь функ- ция не обязательно определена для всех значений x). Это определение было чрезвычайно общим, в нем ни слова не го- ворилось о том, что функция должна задаваться одной и той же формулой на всем отрезке, где она определена. Более того, она мог- ла совсем не задаваться какой-то формулой, а определяться словами. Например, сам Дирихле рассмотрел такую функцию: f (x) = 0, если x — иррациональное число, 1, если x — рациональное число. С точки зрения математиков XVIII века, это определение не за- давало никакой функции, ведь не было дано формулы, по кото- рой можно вычислить эту функцию. Тем не менее это определение 102 Глава III. Удивительные функции и линии полностью задает функцию. (Теперь она называется функцией Ди- рихле.) Из него совершенно ясно, что, например, f 3 4 = 1, f ( √ 2) = 0. По сути дела, определение Дирихле (с указанным уточнением) было окончательным для числовых функций числового аргумен- та. Дальнейшее развитие состояло в том, что стали рассматривать функции, заданные на произвольных множествах и принимающие значения также на произвольных множествах. Именно, пусть даны два множества A и B, и пусть каждому элементу a множества A поставлен в соответствие элемент b множества B. Тогда говорят, что задана функция на множестве A со значениями в множестве B. В столь общей формулировке понятие функции сливается с поняти- ями соответствия, отображения, преобразования. Например, с этой точки зрения площадь треугольника есть функ- ция, заданная на множестве всех треугольников и принимающая зна- чения в множестве положительных чисел. А вписанная в треуголь- ник окружность есть функция, заданная на множестве всех тре- угольников со значениями в множестве окружностей. Но мы не бу- дем становиться здесь на столь общую точку зрения и ограничимся функциями, заданными на числовых множествах и принимающими числовые значения. Джинн выходит из бутылки Определение Дирихле позволило строить функции с самыми при- чудливыми свойствами. Если раньше для построения функции с ка- ким-нибудь необычным свойством надо было долго комбинировать различные формулы, то теперь дело упростилось. Появилась воз- можность строить и изучать различные функции, не думая о том, существует ли единая формула, выражающая изучаемую функцию. И за последние полтора столетия были построены функции, свой- ства которых совершенно отличаются от свойств «добропорядоч- ных» функций. Наверное, сам Дирихле не думал, что могут быть такие «уроды». Необычной является уже сама функция Дирихле, о которой говорилось выше. Ведь на самом маленьком отрезке оси абсцисс бесконечно много и рациональных чисел, и иррациональных чисел. Но функция Дирихле для рациональных чисел равна единице, а для Джинн выходит из бутылки 103 иррациональных — нулю. Поэтому, когда x пробегает ось абсцисс, то значение функции все время прыгает от 0 к 1 и обратно. Постро- ить график этой функции совершенно невозможно, потому что эта функция во всех точках разрывна. Но и среди непрерывных функций есть функции с неожиданны- ми свойствами. Например, может ли непрерывная функция иметь на конечном отрезке бесконечно много максимумов и минимумов? На первый взгляд это совершенно невозможно. Ведь функция долж- на успеть опуститься из точки максимума в точку минимума, потом опять подняться в точку максимума и т. д. Как же ей сделать все это на конечном отрезке? Тем не менее оказалось, что такие странные функции существуют, причем построить их совсем нетрудно. Построим такую функцию на отрезке [0; 1]. Для этого разде- лим отрезок пополам и построим на левой половине равносторонний треугольник. Теперь разделим оставшуюся правую половину снова на две равные части и на части 1 2 ; 3 4 построим второй равносторон- ний треугольник. Выполним описанную операцию бесконечно много раз. У нас получится горная цепь, состоящая из бесконечного числа вершин, постепенно опускающаяся к точке 1 (рис. 35). Примем по- лученную ломаную за график функции f (x). Тогда функция будет определена в каждой точке отрезка [0; 1], за исключением крайней правой точки 1. В этой точке положим f (1) = 0. Рис. 35 Так как при приближении к точке 1 высоты вершин стремят- ся к нулю, полученная нами функция непрерывна во всех точках отрезка [0; 1]. А число максимумов и минимумов на этом отрезке бесконечно велико! Математику XVIII века, чтобы построить такую странную функ- цию, понадобилось бы долго комбинировать различные функции, 104 Глава III. Удивительные функции и линии прежде чем он догадался бы, что функция f (x) = x cos π x , если x = 0, 0, если x = 0 имеет бесконечно много максимумов и минимумов на отрезке [0; 1] (рис. 36). Рис. 36 Но функции с бесконечным числом максимумов и минимумов бы- ли лишь началом неприятностей, ожидавших математиков. Джинн только начал выходить из бутылки. Мокрые точки У функции, которую мы построили в предыдущем пункте, есть лишь одна точка, около которой бесконечно много максимумов и ми- нимумов, а именно точка 1. Сейчас мы построим другую функцию, у которой таких точек будет куда больше. Предположим, что на отрезок [0; 1] оси абсцисс падает сверху дождь. Для защиты от дождя поступим следующим образом. Раз- делим отрезок [0; 1] на три равные части и возведем над средней частью палатку в форме равностороннего треугольника. Она защи- тит от дождя все точки средней части (кроме точек 1 3 и 2 3 — концов этой части). Теперь каждую из оставшихся двух частей снова разде- лим на три равные части и защитим средние части палатками той же |